BetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.BW-WMT-P12–060610Datum10.06.2006

Studiengang Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. BW-WMT-P12–060610

Datum 10.06.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestan- den.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 6 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

65 69,5 3,0 befriedigend

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BW-WMT-P12–060610 Seite 1/2

Aufgabe 1 insg. 14 Punkte

Ein Unternehmen kennt für ein wichtiges Produkt

• die Absatz-Preisfunktion (Nachfragefunktion) p= p(x)=43−0,2x und

• die Gesamtkostenfunktion K(x)=0,3x² +3x+750 (p>0 Preis; x>0 abgesetzte Menge).

1.1 Bestimmen Sie diejenige Stückzahl, bei der minimale Stückkosten k(x) entstehen. 7 1.2 Bestimmen Sie diejenige Stückzahl, bei der ein maximaler Gewinn G(x) entsteht. 7

Aufgabe 2 insg. 28 Punkte

Gegeben ist die reelle Funktion

2 2 4 )

( x

x x

f = − .

Mit Hilfe einer Kurvendiskussion sollen wesentliche Eigenschaften dieser Funktion ermittelt werden.

2.1 Geben Sie den Definitionsbereich von f(x) an. 1

2.2 Untersuchen Sie f(x) hinsichtlich Nullstellen und ggf. Polen. 7

2.3 Untersuchen Sie f(x) hinsichtlich Symmetrie und Monotonie. 6

2.4 Bestimmen Sie (falls vorhanden) lokale Extrema und Wendepunkte von f(x). 6

2.5 Untersuchen Sie das Verhalten von f(x) im Unendlichen. 4

2.6 Skizzieren Sie den Verlauf von f(x) in Intervall

[

^−4;4

]

^{. 4}

Aufgabe 3 insg. 14 Punkte

Lösen Sie mit Hilfe des GAUßschen Algorithmus das folgende lineare Gleichungssystem (LGS):

4 4

3 5

3 3

2

2 0 3

2

3 2

1

4 3

2 1

4 2

4 3

2 1

= +

+

−

−

= +

− +

=

−

= +

− +

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

.

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 4 insg. 17 Punkte

Mit Hilfe des NEWTON-Verfahrens lässt sich näherungsweise eine Nullstelle der Gleichung 1 2

, 0 ln

2 )

(x x x x

f = − +

bestimmen.

4.1 Zeigen Sie, dass x₀=2,5 ein geeigneter Startwert für die Iterationen des NEWTON-Verfahrens ist.

9

4.2 Führen Sie mit dem Startwert x₀=2,5 zwei Iterationen des Newton-Verfahrens durch und ver- gleichen Sie die erhaltenen Ergebnisse.

8

Hinweis:

Als Startwert ist in der Regel ein x₀ geeignet, für das 1 )

(

) ( ) (

0 2 0

0 <

′

⋅ ′′

x f

x f x

f gilt.

Es st zweckmäßig, die Berechnungen mit 4 Nachkommastellen durchzuführen.

Aufgabe 5 insg. 13 Punkte

Gegeben sind die Funktionen ^f

( )

^{x =(x−4)2 und g}

( )

^{x =−x2 +16 mit D}

( ) ( )

^{f =D g =R.}

Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den Schnittpunkten der Graphen beider Funktionen liegt.

Aufgabe 6 insg. 14 Punkte

Gegeben ist die Funktion f(x,y) von 2 unabhängigen Variablen

) 2 ,

( xy

y x

f = , mit ^D(f)=

{

^{(x,y) x∈R,x>0 und y∈R, y>0}

}

^.

Ermitteln Sie die Extremwerte der Funktion f(x,y) unter der Nebenbedingung

2 2

2 y c

x + = (c∈R,konst.). Hinweis:

Wenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe die LAGRANGE-Methode an.

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft BW-WMT-P12–060610

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 10.06.2006

Betriebswirtschaft BW-WMT-P12 – 060610

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

65 69,5 3,0 befriedigend

60 64,5 3,3 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

50 54,5 4,0 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 28. Juni 2006

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040/35094- 311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 4, Kap. 4 und SB 5, Kap. 3.3

insg. 14 Punkte

1.1 Stückkostenfunktion (Formelsammlung 16.13):

x x x K

k ( )

)

( = 1

x x x

x x x

k 750

3 3 , 750 0 3 3 , ) 0

( = ² + + = + + 1

Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind k′(x)=0 und k′′(x)>0.

2

3 750 , 0 )

(x x

k′ = − 1

2500 750

3 , 750 0

3 , 0

0 ^{2 2}

2 ⇒ = ⇒ =

−

= x x

x 1

50 2500= +

=

x Stck. 1

3

) 1500 (x x

k′′ = 1

> ⇒

′′ = 0

50 ) 1500 50

( ₃

k Minimum 1

1.2 Die Gewinnfunktion G(x) bestimmt sich (vgl. Formelsammlung 16.13) zu )

( ) ( )

(x E x K x

G = − , mit der Erlösfunktion E(x)=x⋅p(x). 1

Damit ist

2 2

, 0 43 ) 2 , 0 43 ( )

(x x x x x

E = ⋅ − = − . 1

(

^{0,3 3 750}

)

^{0,5 40 750}

2 , 0 43 ) ( ) ( )

(x =E x −K x = x− x² − x² + x+ =− x²+ x−

G 1

Gewinnmaximum:

Bedingungen für die Maxima von G(x) sind G′(x)=0 und G′′(x)<0. 750

40 5

, 0 )

(x =− x²+ x− G

40 )

( =− +

′ x x

G 1

40 40

0=−x+ ⇒ x= Stck. 1

1 ) ( =−

′′ x

G 1

< ⇒

−

′′(40)= 1 0

G Maximum 1

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BW-WMT-P12–060610 Seite 2/7

Lösung 2

vgl. SB 4, Kap. 2 und SB 5, Kap. 3.5

insg. 28 Punkte

2.1 Definitionsbereich:

=R

D \

{ }

^{0 1}

2.2 Nullstellen:

Für 0x≠ folgt

4 4

4 0

0= ²₂− ⇒ =x²− ⇒ x²= x

x 1

2

;

2 ₀₂

01= x =−

x 1

Pole:

Bei 0x= hat f(x) eine Definitionslücke. Es sind die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der Stelle x=0 zu betrachten

2 2

2 4

4 1 )

( x x

x x

f = − = − (für x≠0)

−∞

=

−

= + +

+ → →

→0 0 0 2

lim 4 1 lim ) (

lim f x x

x x

x 2

−∞

=

−

= − −

− → →

→0 0 0 2

lim 4 1 lim ) (

lim f x x

x x

x 2

Bei 0x= existieren der links- und rechtsseitige Grenzwert , damit hat f(x) an dieser Stelle einen Pol.

1

2.3 Symmetrie:

) 4 ( )

( 4 ) ) (

( 2

2 2

2

x x f

x x

x x

f = − =

−

−

= −

− 2

Die Funktion f(x) ist eine gerade Funktion (axialsymmetrisch zur y-Achse). 1 Monotonie:

2 2

2 4

4 1 )

( x x

x x

f = − = − (für x≠0)

3

) 8 (x x

f′ = 1

0 ) ( <

′ x

f für ^x∈

(

^−∞,0

)

^⇒ monoton fallend auf dem Intervall I =(−∞,0) 1 0

) ( >

′ x

f für ^x∈

( )

^{0,∞ ⇒} monoton wachsend auf dem Intervall I =(0,∞) 1

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2.4 Extrema:

Bedingungen für die Extrema von f(x) sind f′(x)=0 und f ′′(x)≠0.

3

) 8 (x x

f′ = 1

0 ) ( ≠

′ x

f für alle x∈D ⇒ es existieren keine Extrema 2

Wendepunkte:

Bedingungen für die Wendepunkte von f(x) sind f ′′(x)=0 und f ′′′(x)≠0.

4

) 24

(x x

f ′′ =− 1

0 ) ( ≠

′′ x

f für alle x∈D ⇒ es existieren keine Wendepunkte 2

2.5 Verhalten im Unendlichen:

2 2

2 4

4 1 )

( x x

x x

f = − = − (für x≠0)

1 0 4 1

lim 1 lim ) (

lim = − ₂ = − =

∞

→

∞

→

∞

→ f x x

x x

x 2

1 0 4 1

lim 1 lim ) (

lim = − ₂ = − =

−∞

→

−∞

→

−∞

→ f x x

x x

x 2

2.6 Funktionsverlauf:

Wertetabelle (ausgewählte Werte aus dem Intervall

[

^−4;4

]

^):

x −4 −3 −2 −1 −0,5 0,5 1 2 3 4

) (x

f 0,75 0,56 0 −3 −15 −15 −3 0 0,56 0,75

Skizze:

4

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BW-WMT-P12–060610 Seite 4/7

Lösung 3

vgl. SB 6, Kap. 2

insg. 14 Punkte

Bilden der erweiterten Matrix ( ,bv) A :





















−

−

−

−

−

4 0 4 1 1

3 5 3 3 2

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

. 1

Umformung in eine obere Dreiecksmatrix:

I IV

2I III 4 0 4 1 1

3 5 3 3 2

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

+

 −



















−

−

−

−

−

II 3 IV

II III 4 1 1 3 0

3 3 3 1 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

−

 +



















−

−

−

−

2

3 : 2 4 1 0 0

1 2 3 0 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1





















−

−

−

−

2

III - 2 IV 4

1 0

0 3

1 3 1 2 0 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1





















−

−

−

−

1





















−

−

−

−

3 5 3 0 10 0 0

3 1 3 1 2 0 0

2 1 0 1 0

0 1 3 2 1

(obere Dreiecksmatrix ist erreicht !) 1

Rückrechnung liefert:

2 1 3

5 3

10x4 =− ⇒ x4 =− 1

3 0 1 3 1 3

2

3 3

4

3+ x =x − =− ⇒ x =

x 2

2 2 3

2

1 2

2 4

2 −x =x + = ⇒ x =

x 2

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

2 0 5

2 5 2

0 1 3 3

2 _{2 3 4 1 1 1}

1+ x − x +x =x + − − =x + = ⇒ x =−

x 2

Als Lösungsvektor ergibt sich:





















−

−

=

12 2352

xv 0

Hinweis:

Zur Bildung der oberen Dreiecksmatrix sind unterschiedliche Alternativen möglich. Die Punkte sind ent- sprechend zu verteilen.

Lösung 4

vgl. SB 5, Kap. 3.7

insg. 17 Punkte

4.1 Überprüfung, ob Startbedingung für das NEWTON-Verfahren (vgl. Formelsammlung 19.1) gilt:

) 1 (

) ( ) (

0 2 0

0 <

′

⋅ ′′

x f

x f x

f .

Bestimmung der Ableitungen:

1 2

, 0 ln

2 )

(x x x x

f = − +

x x x

f 2 1 0,2 )

(

' = − + 2

2 2

2 2 , 0 2 , 2 0 )

(x x x

f ′′ =− + = − 2

Einsetzen von x₀ =2,5:

0424 , 0 5 , 2 1 , 0 5 , 2 5 , 2 ln 2 ) 5 , 2

( = − + ⋅ ²=−

f 1

3 , 0 5 , 2 2 , 0 5 1 , 2 ) 2 5 , 2

( = − + ⋅ =

′

f 1

12 , 5 0 , 2 2 2 , 0 ) 5 , 2

( = − 2 =−

′′

f 1

1 0565 , ) 0

3 , 0 (

) 12 , 0 ( ) 0424 , 0 (

2− = <

⋅

− 1

Damit ist x₀=2,5 ein geeigneter Startwert. 1

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/06, Wirtschaftsmathematik, Betriebswirtschaft HFH Hamburger Fern-Hochschule

BW-WMT-P12–060610 Seite 6/7

) (

) (

1 1 1

2 f x

x x f

x = − ′ 1

0011 , 0 ) 6413 , 2 ( 1 , 0 6413 , 2 6413 , 2 ln 2 )

(x₁ = − + ⋅ ² =−

f 1

2855 , 0 6413 , 2 2 , 0 6413 1 , 2 ) 2

( ₁ = − + ⋅ =

′ x

f 1

6451 , 2855 2 , 0

) 0011 , 0 6413 ( ,

2 =2 − − =

x 1

Die zweite Näherung kann bereits als eine Lösung der Gleichung angesehen werden (keine Ände-

rung mehr in den ersten beiden Nachkommastellen). 2

Lösung 5

vgl. SB 7, Kap. 4.1.2

insg. 13 Punkte

Schnittpunkte der Funktionen durch Gleichsetzen:

16 )

4

(x− ²=−x²+ 16 16

8 ²

2 − x+ =−x +

x 1

0 8

2x²− x= 1

0 ) 4 (

2x x− = 1

Schnittpunkte der Funktionen sind x₁=0 und x₂ =4. 1

Flächeninhalt (Formelsammlung 20.5):

( ) ( )

[ ]

∫

⁻

=

4 0

dx x g x f

A 1

( )

[ ]

∫

^{− + − − +}

=

4 0

2

2 8 16) 16 d

(x x x x

A 1

[ ]

∫

⁻

=

4 0

2 8 d

2x x x

A 1

4 0 2 3 4 3

2 

 −

= x x

A 2











 ⋅ − ⋅

−

⋅

⋅ −

= ^{3 2 3} 4 0²

3 0 4 2

3 4 4

A 2 2

3 64 3 64 3

192 3 64 128 3

128− = − = − =

=

A 2

Der Flächeninhalt zwischen beiden Funktionen beträgt 3 64 FE.

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Lösung 6

vgl. SB 9, Kap. 1.4.2.2

insg. 14 Punkte

Die Extremwerte der Funktion f(x,y) unter der gegebenen Nebenbedingung können unter Verwendung der LAGRANGE-Methode (Formelsammlung 16.9) ermittelt werden.

Mit der Funktion

) 2 ,

( xy

y x

f = und der Nebenbedingung 0

) ,

(x y =x²+ y² −c² =

g 1

lautet die LAGRANGE-Funktion ) , ( ) , ( ) , ,

(x y f x y g x y

L λ = +λ 1

) 2 (

) , ,

( xy x² y² c²

y x

L λ = +λ + − ^{. 1}

Zur Bestimmung der Extremwerte werden die partiellen Ableitungen gebildet und Null gesetzt:

0 2 2

) , ,

( = y + x=

y x

L_x λ λ ^{(I) 1}

0 2 2

) , ,

( = x + y=

y x

L_y λ λ ^{(II) 1}

0 ) (

) , ,

(x y = x²+ y² −c² =

L_λ λ ^{(III) 1}

Aus (I) folgt:

x y

−4

λ= ^{(IV) 1}

Einsetzen in (II) ergibt:

4 0 2 2 2

2

2 =

−

=

+ x

y y x

x λ ¹

2 2 2

2

4 0 4 4

4 x y

x y x

x − = ⇒ = (V) 2

Einsetzen in (III) ergibt

0 ) (

)

(x²+ y² −c² = x²+x² −c² = 1

2 2

2 ^{2 2 2 2} c

c x x c

x = ⇒ = ⇒ = 2

Mit (V) folgt:

2 2

2 2 c

c y

y = ⇒ = 1

Damit ergibt sich ein Extremwert bei



 c c