StudiengangBetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.BB-WMT-P11-061202 / BW-WMT-P12–061202Datum02.12.2006

(1)

Studiengang Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. BB-WMT-P11-061202 / BW-WMT-P12–061202

Datum 02.12.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 7 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-P11-061202 / BW-WMT-P12–061202 Seite 1/2

Aufgabe 1 9 Punkte

Ein Unternehmen, dass nur einen Artikel produziert, hat die Kostenfunktion K(x)=0,2x² +2x+20 sowie die Preis-Absatz-Funktion p(x)=32−0,3x.

Bei welcher Ausbringungsmenge x erzielt das Unternehmen den maximalen Gewinn? (Es wird ein vollständiger Absatz der hergestellten Artikel vorausgesetzt.)

Aufgabe 2 10 Punkte

Berechnen Sie aus der Gesamtkostenfunktion

( )

^x ⁼ ³^x⁵⁺^x

(

²^x⁺¹

)

³ ⁺ ^x⁺_x¹⁻^e² ^⋅^ln

(

³^x⁺¹

)

K ^x

die Grenzkostenfunktion K′(x).

Aufgabe 3 16 Punkte

Gegeben sei die Absatz-Preisfunktion (Nachfragefunktion) 10 5

) 500

( −

= +

= p x x

p (p>0 Preis, x>0 abgesetzte Menge).

Die Elastizität des Absatzes bezüglich des Preises ε_x,_p gibt (näherungsweise) an, um wie viel Prozent sich der Absatz eines Produktes ändert, wenn sich der Preis um 1 % ändert.

Bestimmen Sie zunächst die Preis-Absatzfunktion x=x(p) und ermitteln Sie damit die Elastizität des Absatzes bezüglich des Preises ε_x,_p^.

Aufgabe 4 20 Punkte

Gegeben seien die Matrizen

















−

=

4 1 0

0 2 1

3 5 2

A und















 −

= 2 4 3 c b a

B mit a,b,c∈R.

Bestimmen Sie für die Matrix B die Elemente a, b und c so, dass

















−

=

⋅

12 2

11 3

20 12 B

A .

Hinweis:

Veranschaulichen Sie sich das Prinzip der Matrixmultiplikation mit dem Schema von FALK.

(3)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 5 13 Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des GAUß-Algorithmus den Lösungsvektor xr des linearen Gleichungssystems Axr=br,

mit 













= 8 6

3 2

2 2

A und

















−

= 2 1 0 br

.

Aufgabe 6 16 Punkte

Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der Funktionen ^f

( )

^x ⁼ ^x³⁻^x^und^g

( )

^x ⁼ ⁻^x³⁺^x²^im

Intervall

[ ]

⁰^,² begrenzt wird.

Aufgabe 7 16 Punkte

Die Zahl 100 ist so in 3 reelle Summanden (sämtlich von Null verschieden) zu zerlegen, dass das Produkt der Summanden maximal wird.

Geben Sie das maximale Produkt an.

Hinweise:

1. Lösen Sie diese Aufgabe durch ein Ihnen bekanntes Verfahren zur Extremwertbestimmung von Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher.

2. In einer endlichen Summe _n

n i

i a a a

a = + + +

∑

=

...

1

2

1 werden die zu summierenden Elemente a_i als Summanden bezeichnet.

(4)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW BB-WMT-P11-061202 / BW-WMT-P12–061202

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 02.12.2006

Betriebswirtschaft

BB-WMT-P11-061202 / BW-WMT-P12-061202

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 20. Dezember 2006

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (Tel. 040/35094- 311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/06, Wirtschaftsmathematik, BB/BW HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 5, Kap. 3.3

9 Punkte

Für die Gewinnfunktion gilt:

( ) ( ) ( )

^x ^E ^x ^K ^x

G = − , wobei ^E

( )

^x die Erlösfunktion ist. 1

Die Erlösfunktion ergibt sich zu:

( ) ( )

^x ^p ^x ^x

(

³² ⁰^,³^x

)

^x ³²^x ⁰^,³^x²

E = ⋅ = − = − 2

Daraus folgt für die Gewinnfunktion:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 30 5

, 0

20 2 2 , 0 3 , 0 32

2

2 2

− +

−

=

+ +

−

=

−

=

x x

x x x

x x K x E x G

2 Bildung der 1. Ableitung von ^G

( )

^x ^:

30 )

( =− +

′ x x

G 1

Maximum liegt vor für G′(x)=0 und G′′<0: 30 30

0 0

)

( = ⇒ =− + ⇒ =

′ x x x

G 2

Da 0G′′(x)=−1< für alle x, folgt, dass die Gewinnfunktion für x=30 ein Maximum annimmt. 1

Lösung 2

vgl. SB 5, Kap. 3.1 – 3.5

10 Punkte

Unter Anwendung der Differentiationsregeln (vgl. Formelsammlung, 18.3) erhält man für die einzelnen Terme

( )

³ ⁵ ¹⁵ ⁴

d

d x x

x = 1

( )

(

² ¹

)

¹

⁽

² ¹

⁾

³

⁽

² ¹

⁾

²

⁽

² ¹

^{) (}

⁸ ¹

⁾

d

d ₃ ₃ ₂ ₂

+ +

=

⋅ +

⋅ + +

⋅

=

+ x x x x x

x

x x 3

( )

2 2

1 1

1 d

d

x x

x x x

x

x  = ⋅ − + ⋅ = −



 



 +

2

( )

(

^e ^ln³ ¹

)

²^e ^ln

⁽

³ ¹

⁾

^e ₃ ³ ₁

d

d ₂ ₂ ₂

⋅ + + +

⋅

= +

⋅ x x x

x

x x

x

( )

^



 





+ + +

= 3 1

1 3 3 ln 2 e²

x x

x 3

Summation liefert die gesuchte Grenzkostenfunktion K′(x)

( ) ( ) ( ) ( )

^



 





+ + +

−

− + +

+

′ =

1 3 1 3 3 ln 2 1 e

1 8 1 2

15 ²

2 4 2

x x x x

x x x

K ^x 1

(6)

Lösung 3

vgl. SB 4, Kap. 2.4 und SB 5, Kap. 3.6

16 Punkte

1. Bildung von x=x(p): 10 5 ) 500

( −

= +

=p x x p

10 5 500 −

= + p x

500 ) 10 )(

5

(p+ x+ =

1

5 10 500

= +

+ p

x 1

5 10 500 −

= +

x p 1

5 10 450 5

) 5 ( 10 5 10 500 5 500

+

= − +

− +

= + + −

= p

p p

x p 2

5 10 ) 450

( +

= −

= p

p p x x

2. Elastizität ε_x,_p^:

Elastizität des Absatzes bezüglich des Preises bestimmt sich zu (Formelsammlung 20.7):

p p x

p

p x

x = ⋅

) (

, '

ε ^. ₂

5 10 ) 450

( +

= − p p p x

Bildung der 1. Ableitung über Quotientenregel:

10 10

450− ⇒ ′=−

= p g

g 1

1

5 ⇒ ′=

+

= p h

h 1

2

2 ( 5)

) 10 450 ( ) 5 )(

10 ) (

(

' +

−

− +

= −

− ′

′ −

= p

p p

h h g h p g

x 2

)2

5 ( ) 500 (

' +

= − p p

x . 1

p p p

p p p x

p

p x

x ⋅

− +

+

= −

⋅

= ( 5) (450 10 ) ) 5 )(

500 ( )

( ) ( '

, 2

ε ₂

) 10 450 )(

5 (

, p 500 p

p p

x + −

= −

ε ₁

) 45 )(

5 (

, p 50 p

p p

x + −

= −

ε ₁

(7)

Lösung 4

vgl. SB 6, Kap. 1.4 und 2

20 Punkte

FALKsches Schema der Matrixmultiplikation:

12 2

11 3

20 12 4 1 0

0 2 1

3 5 2

2 4 3

−

− c b a

3

Aus dem Schema von Falk lässt sich das folgende Gleichungssystem mit den Unbekannten a, b und c ab- leiten:

12 3 5

2a+ b+ c= (I)

3 2 =−

− b

a (II)

2 4 = + c

b (III)

2 2 2 Alternative 1: Lösung durch Substitution (11 Punkte)

Aus (II) folgt unmittelbar:

3 2 −

= b

a 2

Einsetzen in (I) ergibt 18 3 9

12 3 5 ) 6 4 (

= +

= + +

−

c b

b 2

Somit folgt b

c=6−3 1

Einsetzen in (III) liefert

2 22 11

2 12 24

2 ) 3 6 ( 4

=

−

=

−

=

− +

=

− +

b b b b

b b

4

Mit 2b= erhält man aus obigen Ansätzen c=0 und a=1. Als Lösungsvektor ergibt sich somit

















=













 0 2 1 c b a

. 2

Alternative 2: Lösung mittels GAUß-Algorithmus (11 Punkte) Umformungen der erweiterten Matrix:

















−

 =















−

2 3 6 4 1 0

0 2 1

5 , 1 5 , 2 1 2 : 2

3 12 4 1 0

0 2 1

3 5 2

2

(8)

















−

=

 −















−

2 9 6 4 1 0

5 , 1 5 , 4 0

5 , 1 5 , 2 1 I II 2

3 6 4 1 0

0 2 1

5 , 1 5 , 2 1

2

Vertauschung der 2. und 3. Zeile liefert:

















−

− 9

2 6 5 , 1 5 , 4 0

4 1 0

5 , 1 5 , 2

1 2

















=

 +















−

− 0

2 6 5 , 16 0 0

4 1 0

5 , 1 5 , 2 1 4,5II III 9 2 6 5 , 1 5 , 4 0

4 1 0

5 , 1 5 , 2 1

2

Durch „Rückrechnen“ mittels der erhaltenen Dreiecksmatrix ergibt sich:

0 0

5 ,

16 c= ⇒ c=

2 2

0 4

2 4

⇒ =

=

⋅ +

= +

b b

c b

1 6

0 5 , 1 2 5 , 2

6 5 , 1 5 , 2

⇒ =

=

⋅ +

= + +

a a

c b a

3

Der Lösungsvektor ist damit

















=













 0 2 1 c b a

.

Lösung 5

vgl. SB 6, Kap. 2.2

13 Punkte

Bildung der erweiterten Matrix

( )

^A^,^b^r ^:

( )

_^^













−

=

2 1 0 8 3 2 6 2 2 ,br

A . 1

Ausführung elementarer Zeilenoperationen (Umformung in eine Dreiecksmatrix):

















−

⇒ −

 −















−

2 1 0 8 1 2 6 0 2 I

II 2 1 0 8 3 2 6 2 2

3

















−

⇒ −

 −















−

2 1 0 2 1 2 0 0 2 3I

III 2 1 0 8 1 2 6 0 2

3

(9)

















⇒ −

 −















−

0 1 0 0 1 2 0 0 2 2II

III 2 1 0 2 1 2 0 0 2

(Dreiecksmatrix) 3

Somit ergibt sich 1 0 2 2

2 2 1

−

=

= +

x x x

1

Einsetzen von x₂ =−1 in die obere Gleichung ergibt x₁=1. 1

Als Lösungsvektor ergibt sich somit



 





= − 1

xr 1 . 1

Lösung 6

vgl. SB 7, Kap. 4 und Kap. 5.1.2

16 Punkte

Bestimmung der Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) durch Gleichsetzen

2 3

3 x x x

x − = − + 1

⇔ ^x

(

²^x²⁻^x⁻¹

)

⁼ ⁰ ^⇒ ^x¹ ⁼ ⁰ ¹

Lösen der quadratischen Gleichung 0 2 1 2

2− x − =

x liefert

2 1 16

1 4 1

3 ,

2 = ± +

x 4

3 4 1±

= ⇒ x₂ = −0,5 und x₃ = 1. 2

Der Schnittpunkt x₂ =−0,5 liegt außerhalb des Integrations-Intervalls

[ ]

⁰^,² und bleibt damit unberück- sichtigt.

1

Berechnung der Fläche:

( ) ( )

[ ] ∫ [ ( ) ( ) ]

∫

⁻ ⁺ ⁻

=

2 1 1

0

d

dx f x g x x

x g x f

A 2

x x x x x x x x g x

f( )− ( )= ³ − −(− ³+ ²)=2 ³ − ² − 1

[ ] ∫ [ ]

∫

⁻ ⁻ ⁺ ⁻ ⁻

=

2 1

2 1 3

0

2

3 d 2 d

2x x x x x x x x

A 1

2 1 2 3 1 4

0 2 3 4

2 1 3 1 2 1 2

1 3 1 2

1 



−

 +

 

 − −

= x x x x x x

A 2



 



 ⋅ − ⋅ − ⋅

−



 



 ⋅ − ⋅ − ⋅

+

−



 



 ⋅ − ⋅ − ⋅

= 1

2 1 1 3 1 1 2 2 1

2 2 1 3 2 1 2 0 1 2 1 1 1 3 1 1 2

1 ₄ ₃ ₂

A 3

(10)

Lösung 7

vgl. SB 9, Kap. 1.4

16 Punkte

Hinweis:

Je nach Lösungsansatz ist eine Extremwertbestimmung einer Funktion f(x, y) bzw. f(x,y,z) vorzunehmen. Im Folgenden wird je eine Lösungsmöglichkeit vorgestellt. Andere Lösungen sind entsprechend sinngemäß zu bewerten.

Alternative 1: Extremwertbestimmung einer Funktion f(x,y) Die Summanden sind x, y und 100−x−y (mit x≠0 und y≠0).

Gesucht ist das Maximum der Funktion

2

100 2

) 100

( )

,

(x y x y x y xy x y xy

f = ⋅ ⋅ − − = − − . 1

Bestimmung der partiellen Ableitungen:

2 2

100 ) ,

(x y y xy y

f_x = − − 1

xy x

x y

x

f_y( , )=100 − ²−2 1

y y x

f_xx( , )=−2 0,5

x y x

f_yy( , )=−2 0,5

y x y

x

f_xy( , )=100−2 −2 . 1

Notwendige Bedingung für Extremwert: f_x(x,y)= f_y(x,y)=0. 1 0

2

100y− xy−y² = 0 2 100x−x²− xy=

Division der 1. Gleichung durch y und der 2. Gleichung durch x liefert:

0 2

100− x−y= (I) 0,5

0 2

100−x− y= . (II) 0,5

Aus (I) folgt y=100−2x. 1

Einsetzen in (II) ergibt 0 ) 2 100 ( 2

100−x− − x = . 1

Auflösen nach x liefert 3

=100

x und weiter 0,5

3 100 3

2 100 100− ⋅ =

=

y . 0,5

Mit 3

=100

x und

3

=100

y folgt für den dritten Summanden gleichfalls der Wert 3 100.

(11)

Hinreichende Bedingung für Extremwert:

0 ) , ( ) ,

(x y = f x y =

f_x _y und f_xx(x,y)⋅ f_yy(x,y)− f_xy(x,y)² >0. 1

3 200 3

2 100 3 )

,100 3

(100 =− ⋅ =−

fxx 0,5

3 ) 200 3 ,100 3

(100 =−

fyy 0,5

3 100 3

2 100 3 2 100 100 3 )

,100 3

(100 = − ⋅ − ⋅ =−

fxy 1

Einsetzen der Werte:

9 0 30000 3

100 3

200 3

200 ²

2  = >



 



−

−



 



−

⋅



 



−

=

− xy yy

xxf f

f , also liegt ein Extremum vor. 1

Weil 0

3 ) 200 3 ,100 3

(100 =− <

fxx liegt ein lokales Maximum vor. 1

Das maximale Produkt ist damit

04 , 037 27 37

10 3 100 3

100 3

100 ⁶

≈

=



 



⋅



 



⋅



 



 1

Alternative 2: Extremwertbestimmung einer Funktion f(x,y,z) Die Summanden sind x, y und z (mit x≠0, 0y≠ und z≠0).

Gesucht ist das Maximum der Funktion z

y x z y x

f( , , )= ⋅ ⋅ 1

unter der Nebenbedingung 2

0 100 )

,

(x y =x+y+z− =

g .

Die Extremwerte der Funktion f(x,y,z) unter der gegebenen Nebenbedingung können unter Verwen- dung der LAGRANGE-Methode (Formelsammlung 16.9) ermittelt werden.

Die LAGRANGE-Funktion lautet:

) , , ( ) , , ( ) , , ,

(x y z f x y z g x y z

L λ = +λ 1

) 100 (

) , , ,

(x y z =xyz+ x+ y+z−

L λ λ ^. 2

Zur Bestimmung der Extremwerte werden die partiellen Ableitungen gebildet und Null gesetzt:

=0 +

=^yz λ

L_x (I) 1

=0 +

=^xz λ

L_y (II) 1

=0 +

=^xy λ

L_z (III) 1

0 ) 100

( + + − =

= x y z

L_λ . (IV) 1

Aus (I) folgt λ=−yz^. 1

(12)

Einsetzen in (II) und (III) liefert y x yz

xz− =0 ⇒ = 1

z x yz

xy− =0 ⇒ = . 1

Mit (IV) folgt

3 . 100 100 3

0 ) 100 (

=

− + +

x x x x x

1

Damit ist dann

3

=100

=z

y . 1

Das maximale Produkt ist damit

04 , 037 27 37

10 3 100 3

100 3

100 ⁶

≈

=



 



⋅



 



⋅



 



 . 1