StudiengangBetriebswirtschaftFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.BB-WMT-P11-070616 / BW-WMT-P12–070616Datum16.06.2007

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, BB/BW BB-WMT-P11-070616 / BW-WMT-P12–070616 Studiengang Betriebswirtschaft

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. BB-WMT-P11-070616 / BW-WMT-P12–070616

Datum 16.06.2007

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten HFH-Taschenrechner

Anzahl Aufgaben: – 7 – Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Höchstpunktzahl: – 100 –

Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, BB/BW HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 1 18 Punkte

1.1 Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion

2 1

e ^x

y= ⁻ , ^D⁼

{

^x^∈^R ^x^≠⁰

}

^.

5

1.2 Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion

( )

^u ⁼^ln_u^u₊₁

k , ^D⁼

{

^u^∈^R ^u^>⁰

}

^.

13

Aufgabe 2 20 Punkte

Für ein bestimmtes Produkt sind die Gesamtkostenfunktion ^K

( )

^x und die Erlösfunktion ^E

( )

^x gegeben durch

( )

^x ^x ^x ^x

K 245 12

2

7 ₃ ₂

+

−

= und ^E

( )

^x ⁼ ₄¹^x⁴⁻⁴¹₂ ^x³⁺¹¹⁵^x²⁺¹²^x^.

Berechnen Sie

2.1 diejenige Stückzahl, bei der minimale Stückkosten entstehen. 6

2.2 die Warenmenge, bei der ein maximaler Gewinn erwirtschaftet wird. 14

Aufgabe 3 13 Punkte

3.1 Gegeben seien die Matrizen

















=

182 171

162 155

149 142

D und

















=

18 19

18 15

d c

F mit c,d∈R.

Bestimmen Sie für die Matrix F die Elemente c und d so, dass

















= +

=

200 190

180 170

160 160 F D

G .

4

3.2 Gegeben seien die Matrizen



 



=

1 3 2 1

4 4 a b

A und

















= 2 1

8 7

7 6

6 5

B .

Bestimmen Sie für die Matrix A die Elemente a und b so, dass 

 



=

⋅

= 39 46

70 B 57

A

C .

9

Hinweis:

(3)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, BB/BW HFH Hamburger Fern-Hochschule

BB-WMT-P11-070616 / BW-WMT-P12–070616 Seite 2/2

Aufgabe 4 9 Punkte

Bestimmen Sie mit Hilfe des GAUß-Algorithmus den Lösungsvektor xr des linearen Gleichungssystems Axr=br,

mit 













= 8 6

3 2

2 2

A und

















−

= 3 1 0 br

.

Aufgabe 5 8 Punkte

Die Grenzkosten einer Unternehmung betragen

( )

^x ^x ^x

K′ =40e^x +300 ² −24 , wobei x∈R,x>0.

Bestimmen sie die Gesamtkostenfunktion ^K

( )

^x , wenn die fixen Kosten K_f =400 betragen.

Aufgabe 6 14 Punkte

Wie groß ist der Flächeninhalt A (in Flächeneinheiten FE) des Flächenstücks, das im Intervall

[ ]

²^,⁵ ^zwischen

dem Graphen der Funktion

2 3 2

) 1

(x = x²−x−

f und der x-Achse liegt.

Aufgabe 7 18 Punkte

Für zwei Produkte P und ₁ P ist der Zusammenhang zwischen den Absatzmengen ₂ x₁ und x₂ sowie ihren Preisen p₁ und p₂ gegeben durch die Nachfragefunktionen

2 1 2

1

1(p, p ) 50 2p p

x = − − und x₂(p₁, p₂)=60−p₁−3p₂. Bei welcher Kombination der Preise p₁ und p₂ wird der Erlös

2 2 1 2 1 2 1 1 2

1, ) ( , ) ( , )

(p p x p p p x p p p

E = ⋅ + ⋅

maximal?

(4)

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 16.06.2007

Betriebswirtschaft

BB-WMT-P11-070616 / BW-WMT-P12-070616

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 04. Juli 2007

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab-

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/07, Wirtschaftsmathematik, BB/BW HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 5, Kap. 2

18 Punkte

1.1

2 1

e ^x y= ⁻

Anwendung der Kettenregel auf ^e ²

( )

⁽ ⁽ ⁾⁾

1

x f g x k

y= ⁻^x = = : 1

Innere Funktion:

3 3 2

2

2 2 ) 1 (

)

( x f x x x

x x

f =− =− ⁻ ⇒ ′ = ⁻ = 1

Äußere Funktion: ^g

( )

^f ⁼^e^f ^⇒ ^g^′

( )

^f ⁼^e^f ¹

( ) ( ) ( )

₃

1 3

e 2

2 e 2

x x x

f f g x k

y ^f ^x

−

=

⋅

′ =

′ ⋅

′ =

′= 2

1.2 ^f

( )

^u ⁼^ln_u^u₊₁

1. Ableitung

Anwendung der Kettenregel auf

( )

₁ g1⁽f⁽u⁾⁾ u

u u

k =

= + : 1

Innere Funktion:

) 1

( = +

u u u f

Ableitung innere Funktion über Quotientenregel: ₂ h

h g h f g′ − ′

′= 1

1 ) ( )

(u =u ⇒ g′u =

g ; h(u)=u+1 ⇒ h′(u)=1 2

2

2 ( 1)

1 )

1 (

1 ) 1 ( ) 1

( = +

+

⋅

− +

= ⋅

′ u u

u u u

f 2

Äußere Funktion: ^g1

( )

^f =^ln ^f ⇒ ^g1′

( )

^f = ¹_f 1

( ) ( ) ( )

₍ ¹ ₁₎

) 1 (

1 1 1 ) 1 (

1 1

2 1 2

= +

⋅ + + + =

⋅

′ =

′ ⋅

′ =

u u u

u f f f g u

k 2

2. Ableitung:

Anwendung der Quotientenregel:

h2

h g h k g′ − ′

′′= 0

) ( 1

)

(u = ⇒ g′u =

g ; h(u)=u(u+1)=u² +u ⇒ h′(u)=2u+1 2

( )

² ² ⁽ ¹⁾²

1 2 )

1 (

) 1 2 ( 1 ) 1 ( ) 0

( ⋅ +

− + + =

+

⋅

− +

= ⋅

′′ u u

u u

u

u u

k 2

(6)

Lösung 2

vgl. SB 4, Kap. 4 und SB 5, Kap. 3

20 Punkte

2.1 Minimierung der Stückkosten:

Division der Gesamtkostenfunktion K(x)durch x ergibt die Stückkostenfunktion ^k

( )

^x ^:

( ) ( )

x

x x x

x x x K

k

12 2 245

7 ₃ ₂

+

= −

= 2

( )

^x ⁼ ⁷₂^x²⁻²⁴⁵^x⁺¹²

k . 1

Bedingungen für die Minima dieser Funktion sind ^k^′

( )

^x ⁼⁰^und^k^′′

( )

^x ^> ⁰^.

Die Berechnung ergibt

( )

⁼ ⁷ ⁻²⁴⁵ ⁼ ⁰

′ x x

k ⇒ x=35 mögliche Extremstelle! 2

( )

⁼ ⁷^>⁰

′′ x

k ⇒ Minimumstelle bei x=35 1

Bei 35 Stück sind die Stückkosten minimal.

2.2 Maximaler Gewinn:

Die Gewinnfunktion^G

( )

^x errechnet sich (vgl. Formelsammlung, 16.13) nach

( )

^x ^E

( ) ( )

^x ^K ^x

G = − . 1

Einsetzen von ^E

( )

^x ^und ^K

( )

^x ^liefert

( )

^



 



 − +

− + +

−

= x x x x x x x

x

G 245 12

2 12 7 2 115

41 4

1 ₄ ₃ ₂ ₃ ₂

2

( )

^x ₄¹^x⁴ ²⁴^x³ ³⁶⁰^x²

G = − + . 1

Bedingungen für die Maxima dieser Funktion sind ^G^′

( )

^x ⁼ ⁰ ^und ^G^′′

( )

^x ^< ⁰^.

Die Berechnung ergibt

( )

⁼ ³⁻⁷² ²⁺⁷²⁰ ⁼ ⁰

′x x x x

G ⇒ ^x

(

^x² ⁻⁷²^x⁺⁷²⁰

)

⁼ ⁰ ²

Mögliche Extremstellen sind damit x₁=0 und die Lösungen der quadratischen Gleichung 0

720

2 −72x+ =

x .

1

Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen liefert 12

24 36 720 36

36 ² ₂

3 ,

2 = ± − = ± ⇒ x =

x und x₃=60. 2

Da bei einer Stückzahl von 0 keine Produktion stattfindet, ist der Wert x₁=0 wirtschaftlich nicht von Interesse!

(7)

Bestimmung der Art der Extrema x₂ und x₃:

( )

⁼ ³ ²⁻¹⁴⁴ ⁺⁷²⁰

′′ x x x

G 1

( )

¹² ⁼ ³^⋅¹²²⁻¹⁴⁴^⋅¹²⁺⁷²⁰ ⁼ ⁻⁵⁷⁶ ^< ⁰

′′

G Maximalstelle 2

( )

⁶⁰ ⁼ ³^⋅⁶⁰²⁻¹⁴⁴^⋅⁶⁰⁺⁷²⁰ ⁼ ²⁸⁸⁰ ^> ⁰

′′

G Minimum 2

Der Maximalgewinn ist bei 12 Stück zu verzeichnen.

Lösung 3

vgl. SB 6, Kap. 1.3 und Kap. 1.6

13 Punkte

3.1

















=

182 171

162 155

149 142

D ,

















=

18 19

18 15

d c

F ,

















= +

=

200 190

180 170

160 160 F D G

Die Elemente an gleicher Position werden jeweils addiert: 2

18 142 160 160

142+c= ⇒ c= − = 1

11 149 160 160

149+d= ⇒ d= − = 1

3.2



 



=

1 3 2 1

4 4 a b

A ,

















= 2 1

8 7

7 6

6 5

B , 



 



=

⋅

= 39 46

70 B 57

A C

Schema von Falk:

46 39

70 57 1 3 2 1

4 4

2 1

8 7

7 6

6 5

b a

1

Aus dem Schema folgt:

57 1 4 7 6 5

4⋅ +a⋅ +b⋅ + ⋅ = 70 2 4 8 7 6

4⋅ +a⋅ +b⋅ + ⋅ =

2

Umformen liefert 2 Gleichungen mit den Unbekannten a und b:

33 7

6a+ b= (I)

38 8

7a+ b= (II)

1

Aus (I) folgt:

6 7 33 b

a= − 1

(8)

Einsetzen in (II) liefert 38 8 6 7

7

33 ⋅ + =



 



 − b b 1

228 48 ) 49 231

( − b + b= 1

3 228

231−b= ⇒ b= 1

Somit ist

6 2 21 33 6

7

33− = − =

= b

a 1

Lösung 4

vgl. SB 6, Kap. 2.2

9 Punkte

Bildung der erweiterten Matrix

( )

^A^,^b^r ^:

( )

_^^













−

=

3 1 0 8 3 2 6 2 2 ,br

A . 1

Ausführung elementarer Zeilenoperationen (Umformung in eine Dreiecksmatrix):

















−

⇒ −

 −















−

3 1 0 8 1 2 6 0 2 I

II 3 1 0 8 3 2 6 2 2

2

















−

⇒ −

 −















−

3 1 0 2 1 2 0 0 2 3I

III 3 1 0 8 1 2 6 0 2

2

















−

⇒ −

 −















−

1 1 0 0 1 2 0 0 2 2II

III 3 1 0 2 1 2 0 0 2

(Dreiecksmatrix) 2

Aus der 3. Zeile ergibt sich ein Widerspruch, das LGS ist nicht lösbar. 2

Lösung 5

vgl. SB 5, Kap. 1 und SB 7, Kap. 1.1

8 Punkte

Die Grenzkosten sind die 1. Ableitung der Kostenfunktion, also

∫

^′ ⁺

= K x x C x

K( ) ( )d . 1

(

^x ^x

)

^x ^C

x

K⁽ ⁾=

∫

⁴⁰^e^x +³⁰⁰ ²−²⁴ ^d + ¹

C x x x

K( )=40e^x +100 ³+12 ² + 3

(9)

Mit 400K_f =K(0)= folgt

360

40 e

40 ) 0 (

400 ⁰

=

+

= +

=

= C

C C

K

2 Somit ist

360 12

100 e

40 )

(x = + x³+ x²+

K ^x . 1

Lösung 6

vgl. SB 7, Kap. 4.1.1

14 Punkte

Zunächst muss man die Nullstellen der Funktion ^f

( )

^x ⁼₂¹^x² ⁻^x⁻₂³ bestimmen:

Aus 0

2 3 2

1 ₂

=

−

−x

x folgt

0 3

2 −2x− =

x . 1

Anwendung der (p, q)-Formel liefert:

( )

₍ ₃₎ ₁ ₁ ₃ ₁ ₂

4 2 2

2 ²

2 ,

1 =− − ± − − = ± + = ±

x . 2

Als Nullstellen ergeben sich x₁=−1 und x₂ =3, wobei x₁ nicht im betrachteten Intervall liegt und da- her nicht weiter von Bedeutung ist.

1

Für den gesuchten Flächeninhalt gilt dann (vgl. Formelsammlung, 20.5):

( )

^d ⁵

( )

^d ^.

3 3

2

∫

⁺

= f x x f x x

A 2

Integration von ^f

( )

^x ^:

x x x x

x

x 2

3 2 d 6

2 3 2

1 ₂ ³ ²

−

=



 



 − −

∫

³

Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt ergibt:

5 3 2

3 3 2 2

3

2 3 2 6 2

3 2

6 









 − −

 +









 − −

= x x x

x x

A x 2



 



 − −

−



 



 − −

+



 



 − −

−



 



 − −

= 2

9 2 9 2 9 2 15 2 25 6 3 125 3 2

4 2 9 2 9 2

A 9 2

6 37 6 32 6

5 + =

−

=

A . 1

Der Flächeninhalt beträgt 6 37 FE.

(10)

Lösung 7

vgl. SB 9, Kap. 1.4.1

18 Punkte

Die Erlösfunktion E(p₁, p₂) ergibt sich wie folgt:

. 3 60 2

2 50

3 60

2 50

) 3 60

( 2

50 (

) , ( )

, ( ) , (

22 2 2

2 1 1 1

22 2 1 2 2 2 1 1 1

2 2 1 1

) 2 1

2 2 1 2 1 2 1 1 2 1

p p p

p p p p p p p p

p p p p

p p

p p p x p p p x p p E

− +

−

=

−

− +

−

=

⋅

−

− +

⋅

−

=

⋅ +

⋅

=

3 Bestimmung der partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung von E(p₁, p₂):

2 1 2 4

1 50 p p

E_p = − − , E_p₂ =−2p₁+60−6p₂ 2

1 4

1p =−

Ep , Ep₂p₂ =−6 , Ep₁p₂ =Ep₂p₁ =−2. 3 Bestimmung der stationären Punkte durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen 1. Ordnung:

0 2 4

50 ₁ ₂

1 = − p − p =

E_p (I) 1

0 6 60

2 ₁ ₂

2 =− p + − p =

E_p (II) 1

Aus (I) folgt durch Umformen:

1 2 25 2p

p = − . (III) 1

Einsetzen in (II) liefert:

. 9 0 10 90

0 12 150 60 2

0 ) 2 25 ( 6 60 2

1 1 1 1

1 1

=

= +

−

= +

− +

−

=

−

⋅

− +

−

p p p p

p p

3 Einsetzen in (III) liefert schließlich p₂ =7. Ein stationärer Punkt ist damit P(9,7). 1 Anschließend wird untersucht, ob die Bedingung E_p₁_p₁(p₁,p₂)⋅E_p₂_p₂(p₁,p₂)−E_p₁_p₂²(p₁,p₂)>0 für den Punkt P(9,7) erfüllt ist:

1

0 20 ) 2 ( ) 6 ( ) 4 ( ) 7 , 9 ( )

7 , 9 ( )

7 , 9

( ₂ ₂ ₁ ₂² ²

1

1_p ⋅ _p _p − _p _p = − ⋅ − − − = >

p E E

E . 1

Da die Bedingung erfüllt ist und E_p₁_p₁ =−4<0 gilt, liegt in P(9,7) ein (lokales) Maximum von )

, (p₁ p₂

E vor. 1

Bei der Preiskombination p₁=9 GE und p₂ =7 GE wird somit der Erlös maximal.