WirtschaftsingenieurwesenFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.WI-WMT-P12–031220Datum20.12.2003

(1)

Studiengang

Wirtschaftsingenieurwesen

Fach

Wirtschaftsmathematik

Art der Leistung

Prüfungsleistung

Klausur-Knz.

WI-WMT-P12–031220

Datum

20.12.2003

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

· Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

· Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

· Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

· Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

· Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Anzahl Aufgaben: – 6 – HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: – 100 – Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

WI-WMT-P12–031220 Seite 1/2

Aufgabe 1 insg. 16 Punkte

Frau H. legt bei ihrer Hausbank 15 000 € für den Zeitraum von 15 Jahren an.

1.1 Auf welchen Betrag ist das Kapital in diesem Zeitraum bei einfacher Verzinsung mit 6 % p.a.

angewachsen?

4 Pkte 1.2 Auf welchen Betrag ist das Kapital in diesem Zeitraum unter Berücksichtigung von

Zinseszinsen mit 6 % p.a. angewachsen?

5 Pkte 1.3 Wie viel Euro müsste Frau H. bei einer Verzinsung mit 6 % p.a zusätzlich zu ihrem Anfangs-

kapital von 15 000 € jeweils nachschüssig am Jahresende einzahlen, damit sich auf ihrem Konto nach Ablauf von 15 Jahren 40 000 € befinden?

7 Pkte

Aufgabe 2 insg. 15 Punkte

Herr F. möchte am 01.01.2004 einen Kredit über 80 000 € aufnehmen. Er wird diese Schuld mittels Ratentilgung bei einem Zinssatz von 8 % über fünf Jahre begleichen.

Stellen Sie den Tilgungsplan der Ratenschuld für Herrn F. in folgender Form auf:

Jahr Restschuld S_j_-₁ (zu Beginn des Jahres) in €

Zinsen Z_j in €

Tilgung T_j in €

Annuität A_j in € 1

2 3 4 5

Aufgabe 3 insg. 17 Punkte

Bestimmen Sie die Inverse A^-¹der Matrix

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ -

=

2 3 1

4 1 2

1 2 1 A

und überprüfen Sie Ihr Ergebnis.

(3)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Aufgabe 4 insg. 12 Punkte

Bestimmen Sie für die nachfolgend dargestellte Abbildung das Kontrollmaß x, wenn folgende Größen gegeben sind:

°

=45

a , a=16mm, d=30mm.

Aufgabe 5 insg. 18 Punkte

Das Unternehmen von Herrn M. produziert die beiden Produkte P₁ und P₂. x₁ bezeichne die Anzahl der produzierten Einheiten von P₁ und x₂ die Anzahl der produzierten Einheiten von P₂.

Bestimmen Sie das Maximum der Produktionsfunktion

(

x1,x2

)

5x1x2 20x1 10x2

P = + +

unter der Nebenbedingung, dass sich die Kosten für die Produktion von x₁ und x₂ insgesamt auf 94 GE

(Geldeinheiten) belaufen. Die Kosten für die Produktion einer Einheit von P₁ betragen 3 GE und die Kosten für die Produktion einer Einheit von P₂ betragen 5 GE.

Aufgabe 6 insg. 22 Punkte

Gegeben ist die Differentialgleichung x

y y

y¢¢+ ¢-12 = 3-6 .

6.1 Nennen Sie den Typ der Differentialgleichung und beschreiben Sie die Zusammensetzung der Lösung.

3 Pkte 6.2 Geben Sie mindestens eine Lösung der Differentialgleichung an. 19 Pkte

(4)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-P12–031220

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 20.12.2003

Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-P12 – 031220

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

· Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht ges- tattet.

· Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

· Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

· Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weite- ren Abzug.

· Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

· Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

· Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

· Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

07. Januar 2004

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen ein Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrenleiter anzuzeigen.

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/03, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1 vgl. SB 2, Kap. 1.2, 1.3 und 2.4 insg. 16 Punkte

1.1 Einfache Verzinsung (Formelsammlung, 8.1) 4 Pkte

Nach SB 2, Gl. 1.2 beträgt das Kapital am Ende der n-ten Zinsperiode

(

ⁿ ⁱ

)

K

K_n = ₀1+ × , wobei i die Zinsrate oder Zinssatz bezeichnet. (2 Pkte) Einsetzen von K₀ =15000€ ; n=15 und i=0,06 liefert

(

¹ ¹⁵ ⁰^,⁰⁶

)

000

15 =15 × + ×

K € (1 Pkt)

00 , 500

15 =28

K €. (1 Pkt)

Bei einfacher Verzinsung wächst das Kapital auf 28 500,00 € an.

1.2 Zinseszinsen (Formelsammlung, 8.2) 5 Pkte

Nach SB 2, Gl. 1.7 beträgt das Kapital am Ende der n-ten Zinsperiode unter Berücksichtigung von Zinseszinsen

n K qn

K = ₀× , wobei q=1+i den Aufzinsungsfaktor bezeichnet. (2 Pkte) Einsetzen von K₀ =15000€ ; n=15 und q=1,06 liefert

15 =15000×1,0615

K € (2 Pkte)

37 , 948

15 =35

K €. (1 Pkt)

Bei der Berücksichtigung von Zinseszinsen wächst das Kapital auf 35 948,37 € an.

1.3 Sparkassenformel Kapitalaufbau (Formelsammlung, 9.3) 7 Pkte

Wird dem Anfangskapital K₀ über n Jahre jährlich nachschüssig die Rate r hinzugefügt, so gilt für den Kontostand E_n nach n Jahren (vgl. SB 2, Gl. 2.19)

1 1

0 -

× - +

×

= q

r q q K

E_n ⁿ ⁿ , wobei q=1+i den Aufzinsungsfaktor bezeichnet. (2 Pkte) Umstellen nach r liefert die jährliche Rate

1 ) 1

( ₀

-

× -

= _n ⁿ _n

q q q K E

r . (2 Pkte)

Einsetzen von En =40000€ ; K₀ =15000€ ; n=15 und q=1,06 liefert

1 06 , 1

1 06 , ) 1 06 , 1 000 15 000 40

( 15

15

-

× -

=

r € (2 Pkte)

07 ,

=174

r €. (1 Pkt)

Frau H. müsste jeweils am Jahresende 174,07 € einzahlen.

(6)

WI-WMT-P12–031220 Seite 2/7

Lösung 2 vgl. SB 3, Kap. 2.2 insg. 15 Punkte

Die Formeln der Ratentilgung sind SB 3, Seite 14 zu entnehmen (vgl. Formelsammlung 10.1):

Tilgung:

n

T = S⁰ mit S₀ Anfangsschuld, n Zahl der Tilgungsjahre ( 16000 5

000

80 =

=

T €)

Restschuld: S_j =S₀ - j×T (nach Zahlung der j-ten Annuität) Zinsen: Z_j =S_j ×i mit Zinssatz i

Annuität: A_j =T+Z_j.

Mit diesen Beziehungen ergibt sich folgender Ratenplan:

Jahr Restschuld S_j_-₁ (zu Beginn des Jahres) in €

Zinsen Z_j in €

Tilgung T_j in €

Annuität A_j in €

1 80 000 6 400 16 000 22 400

2 64 000 5 120 16 000 21 120

3 48 000 3 840 16 000 19 840

4 32 000 2 560 16 000 18 560

5 16 000 1 280 16 000 17 280

Hinweis zur Bewertung:

Je richtigem Wert der Spalten für Z_j und A_j 1 Pkt, max. 10 Pkte; je richtigem Wert der Spalten für

-1

Sj und T_i 0,5 Pkte, max. 5 Pkte.

Lösung 3 vgl. SB 6, Kap. 2.4 insg. 17 Punkte

Bildung der erweiterten Matrix

( )

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ -

=

1 0 0 2 3 1

0 1 0 4 1 2

0 0 1 1 2 1 E

A, und

Überführung der erweiterten Matrix

(

^A,^E

)

durch elementare Matrixoperationen in

( )

^E,^A^-¹ ^{, vgl.}

Formelsammlung 13.2.

(2 Pkte)

Zur Beachtung:

Hier sind unterschiedliche Lösungswege zur Umformung der erweiterten Matrix möglich. Die Punkte sind dann sinngemäß zu verteilen (max. 12 Pkte für die Umformungen).

I III

III I 2 1 0 0 2 3 1

0 1 0 4 1 2

0 0 1 1 2 1

- -

×

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ

- Þ II 2 I

1 0 1 1 1 0

0 1 0 4 1 2

1 0 2 0 1 1

×

÷ +

÷÷ ø ö çç

ç è æ

- -

-

(4 Pkte)

(7)

II III 3 1 0 1 1 1 0

2 1 4 4 3 0

1 0 2 0 1 1

+

×

÷ -

÷÷ ø ö çç

ç è æ

-

- -

Þ ₃¹

(

^II ⁴ ^III

)

5 1 7 1 0 0

2 1 4 4 3 0

1 0 2 0 1 1

×

÷ -

÷÷ ø ö çç

ç è æ

- - -

(4 Pkte)

II I 5 1 7 1 0 0

6 1 8 0 1 0

1 0 2 0 1

1 -

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ

- - -

-

Þ ÷÷÷

ø ö çç

ç è æ

- - -

-

5 1 7 1 0 0

6 1 8 0 1 0

7 1 10 0 0 1

(4 Pkte)

Überprüfung des Ergebnisses durch Matrixmultiplikation. Es muss gelten AA^-¹=E. Anwendung der Schemas von FALK liefert:

1 0 0 2 3 1

0 1 0 4 1 2

0 0 1 1 2 1

5 1 7

6 1 8

7 1 10

-

- - -

-

. (3 Pkte)

Die Inverse der Matrix A lautet demnach

÷÷

÷ ø ö çç

ç è æ

- - -

-

- =

5 1 7

6 1 8

7 1 10 A 1

Lösung 4 vgl. SB 8, Kap. 1.2 insg. 12 Punkte

Anwendung der trigonometrischen Funktionen (hier: Sinus) im rechtwinkligen Dreieck, vgl. Formelsammlung 16.9.

Aus der obigen Skizze folgt b d

= ×

= Hypothenuse 2 te Gegenkathe

sina2 (I) (3 Pkte)

(8)

WI-WMT-P12–031220 Seite 4/7

d b a

x 2

+1 +

= (II) (2 Pkte)

Umstellen von (I) liefert

sin 2 2× a

= d

b .

(2 Pkte)

Einsetzen in (II) ergibt d d a

x 2

1 sin 2 2

+

× +

= a .

(2 Pkte) Mit den Werten aus der Aufgabenstellung erhält man das Kontrollmaß

mm 2 30 1 2 sin 45 2

mm mm 30

16 × ° + ×

+

=

x (2 Pkte)

mm 20 ,

=70

x (1 Pkt)

Lösung 5 vgl. SB 9, Kap. 1.4.2 insg. 18 Punkte

Das Maximum der Produktionsfunktion P(x₁,x₂) unter einer Nebenbedingung kann unter Verwen- dung der LAGRANGE-Methode (vgl. Formelsammlung, 16.9) oder durch Variablensubstitution (vgl.

SB 9, Kap. 1.4.2.1) berechnet werden.

Variante 1: LAGRANGE-Methode

³ ²⁰

)

⁰

5

94-3× l- - l- = . (2 Pkte)

(9)

Daraus folgt:

0 30 600- l =

=20

l (2 Pkte)

Mit l=20 erhält man aus (IV) und (V) die Werte für die Variablen x₁ und x₂:

(

³ ²⁰ ²⁰

)

⁸

5 1

2 = × - =

x ; x1 = ¹₅

(

⁵×²⁰-¹⁰

)

= ¹⁸. (4 Pkte)

Das Maximum der Produktionsfunktion P(x₁,x₂) unter der o.g. Nebenbedingung wird damit bei einer Produktion von x₁ = 18ME und x₂ = 8ME (Mengeneinheiten) erzielt.

Variante 2: Variablensubstitution Nebenbedingung

(

x1^,x2

)

= ⁹⁴-³x1-⁵x2 =⁰

g (2 Pkte)

Auflösen nach x₂ liefert (alternativ kann auch nach x₁ aufgelöst werden):

1 2 94 3

5x = - x (2 Pkte)

Einsetzen in die Produktionsfunktion P(x₁,x₂) liefert

( )

188 108

3

6 188 20

3 94

3 94 2 20 ) 3 94 (

10 20 5

,

2 1 1

1 2 1

1 1

2 1 2 1 2

1

+ +

-

=

- + + -

=

-

× + + -

=

+ +

=

x x

x x x

x x

x P

Damit hängt die Funktion P(x₁,x₂) nur noch von x₁ ab, sie wird nachfolgend mit ˆ( ) x1

P bezeichnet.

(2 Pkte) (2 Pkte) (2 Pkte)

Um das Maximum von Pˆ(x₁) zu bestimmen, wird die erste Ableitung P¢ˆ (x₁) bestimmt und Null gesetzt:

. 0 108 6

) ˆ (

1

1 =- + =

¢ x x

P (2 Pkte)

Daraus folgt: x₁=18. (2 Pkte)

Da ˆ ( ) 6 0

1 =- <

¢¢ x

P für alle x₁, liegt in x₁=18 ein Maximum vor. (2 Pkte)

Unter Verwendung der Nebenbedingung erhält man:

40 54 94 18 3 94 3 94

5x₂ = - x₁= - × = - = . Somit ergibt sich

5 8

2 =40 =

x . (2 Pkte)

Das Maximum der Produktionsfunktion P(x₁,x₂) unter der o.g. Nebenbedingung wird damit bei einer Produktion von x₁ = 18ME und x₂ = 8ME (Mengeneinheiten) erzielt.

(10)

WI-WMT-P12–031220 Seite 6/7

Lösung 6 SB 8, Kap. 7.3 insg. 22 Punkte

6.1 Beschreibung der Dgl 3 Pkte

x y

y

y¢¢+ ¢-12 = 3-6 entspricht einer inhomogenen linearen Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Lösung y setzt sich als Summe der Lösung der homogenen Dgl y_h und einer partikulären Lösung y_p der inhomogenen Dgl zusammen: y = y_h +y_p.

(3 Pkte)

6.2 Lösung der Dgl (Formelsammlung, 21.3) 19 Pkte

Schritt 1: Lösung der homogenen Dgl (Normalform y¢¢+a₁y¢+a₀y=0) 0

12 =

¢-

¢¢+y y

y (I)

Ansatz: y = e^kx (1 Pkt)

Bilden der 1. und 2. Ableitung: y¢ = k×e^kx ; y¢¢ = k²e^kx (2 Pkte) Einsetzen in (I) und Division durch e^kx führt zur charakteristischen Gleichung

0

2+k-12 = k

bzw. in der Produktform

(

^k⁺⁴

) (

^× ^k^-³

)

⁼⁰^.

(2 Pkte)

Produktform bzw. Anwendung der p,q-Formel liefert die Lösungen:

1=-4

k ; k₂=3. (2 Pkte)

Betrachtung der Diskriminante D=a₁² -4a₀ mit a₁=1 und a₀ =-12. Da D=1-(-12)=13>0 ergibt sich die Lösung der homogenen Dgl zu.

x k x

k C

C

y_h = ₁×e ¹ + ₂×e ²

x

x C

C

y_h = ₁×e^-⁴ + ₂×e³

(

C1,C2^Î^R

)

. (2 Pkte)

Schritt 2: Ansatz für eine partikuläre Lösung

Die Störfunktion h(x)=3-6x ist ein Polynom ersten Grades. Als Ansatz ist ebenfalls ein Polynom ersten Grades zu wählen:

x B B

y_p = ₀ + ₁ . (2 Pkte)

Schritt 3: Einsetzen in die Ausgangsgleichung Bilden der 1. und 2. Ableitung des Ansatzes:

1

p B

y¢ = ; y_p¢¢ = 0. (2 Pkte)

Einsetzen in die inhomogene Dgl ergibt:

(

^B ^B ^x

)

^x

B 12 3 6

0+ ₁- ₀+ ₁ = -

x x

B B

B 12 ) 12 3 6

( ₁- ₀ - ₁ = - (2 Pkte)

(11)

Schritt 4: Koeffizientenvergleich 6

12 ₁ = -

- B Þ

2

1=1

B (1 Pkt)

3 ) 12

(B₁- B₀ = Þ

24

0=- 5

B (1 Pkt)

Damit haben wir eine partikuläre Lösung:

x

y 2

1 24

p=- 5 + . (1 Pkt)

Schritt 5: Lösung der inhomogenen Dgl

Nach Teilaufgabe 6.1 ergibt sich eine Lösung der inhomogenen Dgl y¢¢+y¢-12y=3-6x zu:

24 5 2 e 1

e ⁴ ₂ ³

1× + × + -

=C ^- C x

y ^x ^x . (1 Pkt)