WirtschaftsingenieurwesenFachMathematik / WirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202Datum01.12.2006

(1)

Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Mathematik / Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202

Datum 01.12.2006

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Anzahl Aufgaben: – 6 – HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: – 100 – Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI HFH Hamburger Fern-Hochschule

WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202 Seite 1/4

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben 1 und 2 sind nur von den Studierenden des Studienganges Wirtschaftsingenieurwesen zu bearbeiten. Studierende des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fach- richtungen bearbeiten bitte anstelle dieser Aufgaben die Aufgaben W1 und W2 am Ende der Aufgabenblätter.

Aufgabe 1

nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

10 Punkte

Für eine Annuitätenschuld von 80.000,00 € werden 10 Jahre lang Annuitäten von jeweils 8.000,00 € zurückge- zahlt. Für diese 10 Jahre ist ein Jahreszinssatz von 7 % vereinbart. Danach erhöht das Kreditinstitut den Zinssatz auf 8 %.

Wie hoch muss die neue Annuität sein, damit die Restschuld nach weiteren 10 Jahren (bei einem Jahreszinssatz von dann 8 %) getilgt ist.

Aufgabe 2

nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

20 Punkte

Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag über 200.000,00 € ab. Bis zur Zuteilung in 8 Jahren sollen ein- schließlich anfallender Zinsen 40 % der Bausparsumme eingezahlt sein.

2.1 Welcher konstante Betrag muss vierteljährlich vorschüssig 8 Jahre lang eingezahlt werden bei einem jährlichen Guthabenzinssatz von 2,5 %?

9

Hinweis:

Berechnen Sie zur Lösung dieser Teilaufgabe in einem ersten Schritt die (nachschüssige) Jahres- ersatzrate.

2.2 Nach der Zuteilung wird ein Darlehen über 120.000,00 € ausgezahlt. Die Verzinsung erfolgt jährlich zu einem nominellen Jahreszinssatz von 4,5 %. Wann ist das Darlehen getilgt bei einer jährlichen (nachschüssigen) Annuität in Höhe von 10.000,00 €?

6

2.3 Bestimmen Sie die Annuität im letzten Jahr. 5

Aufgabe 3 15 Punkte

Gegeben ist die folgende Matrix















 −

=

1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

α α

A .

3.1 Bestimmen Sie die zu A transponierte Matrix A^T. 2

3.2 Berechnen Sie A⋅A^T und fassen Sie die erhaltenen Terme soweit wie möglich zusammen. 11 3.3 Was können Sie aus dem Ergebnis von Teilaufgabe 3.2 über die inverse Matrix A⁻¹ sagen? 2

(3)

Aufgabe 4 20 Punkte

Zwei Treibräder mit den Radien R=40cm und r=25cm sollen durch einen straff gespannten Treibriemen ver- bunden werden (s. Bild). Der Abstand ihrer Mittelpunkte A bzw. B beträgt d =100cm. Für die Bestimmung der Länge des Treibriemens sind der Abstand CD und der Winkel ϕ wichtige Kenngrößen.

Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Kenntnisse zu trigonometrischen Funktionen den Abstand CD und die Größe des Winkels ϕ^.

Hinweis:

Bestimmen Sie zuerst den Winkel ϕ und anschließend den Abstand CD .

Aufgabe 5 20 Punkte

Lösen Sie die Differentialgleichung 1

4

9 = ² + −

′′+ y x x

y .

B S D r R

C

A d

(4)

Aufgabe 6 15 Punkte

Der Flächeninhalt des unten skizzierten Dreiecks wird für gegebene Werte von b, c und α nach der Formel α

α⁾ ⁰^,⁵ ^sin ,

,

D(

D =A b c = ⋅b⋅c⋅ A

berechnet.

Im konkreten Fall seien die Seiten b=5cm, cmc=8 und der Winkel α =30°^gegeben.

C

A B

b a

c

α β

γ

6.1 Berechnen Sie die exakte Änderung ∆A_D der Fläche A_D, wenn b, c und α wie folgt verändert werden:

% +2

=

∆b , ∆c=−3% , ∆α =−1°^.

6

6.2 Die Änderung ∆A_D der Fläche A_D kann näherungsweise in Abhängigkeit der Einzeländerungen b

b=d

∆ , ∆c=dc und ∆α =^dα über das totale Differential bestimmt werden.

Ermitteln Sie für die gegebenen Zahlenwert den Näherungswert dA_D ≈∆A_D der Flächenände- rung mit Hilfe des totalen Differentials.

9

Hinweis:

Rechnen Sie für diesen Aufgabenteil Grad in Bogenmaß um (wird nur für die Änderung ∆α be- nötigt).

(5)

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben W1 und W2 sind ausschließlich nur von den Studierenden des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen zu bearbeiten.

Aufgabe W1

nur für Sonderstudiengang Technik

15 Punkte

Bestimmen Sie von der Funktion ) e e ( 3 )

( ²

3 2

x x

x f y

−

⋅

=

= mit D=R

die Nullstellen und Extremwerte.

Aufgabe W2

nur für Sonderstudiengang Technik

15 Punkte

2.1 Bestimmen Sie eine Stammfunktion von

x x x

f ₂

sin 1 ) cos

( = + .

8

2.2 Welcher Flächeninhalt wird vom Graphen der Funktion f(x) und der positiven x-Achse im In- tervall

[

0,x01

]

eingeschlossen? x₀₁ bezeichne die erste Nullstelle von f(x) auf der positiven x-Achse.

7

Hinweis:

Bestimmen Sie zunächst die Nullstelle x₀₁ von f(x).

(6)

Korrekturrichtlinie, PL 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI WB-WMT-P11–061202 / WI-WMT-P12–061202

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung

Mathematik / Wirtschaftsmathematik am 02.12.2006 Wirtschaftsingenieurwesen

WB-WMT-P11 – 061202 / WI-WMT-P12 – 061202

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 20. Dezember 2006

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (040/35094-311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

(7)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/06, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 3, Kap. 2.3

10 Punkte

Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität (Formelsammlung 10.2):

1 1

−

⋅ −

−

⋅

= q

A q q S

S_j ^j ^j . 1

Mit S=80.000,00€ , 1,07 1+100=

= p

q , A=8.000,00€ und j=10 ergibt sich 2

€ 52 , 840 . 07 46

, 0

1 07 , 00 1 , 000 . 8 07 , 1 00 , 000 .

80 ¹⁰ ¹⁰

10= ⋅ − ⋅ − =

S . 2

Annuität für gegebene Schuld und Laufzeit (Formelsammlung 10.2):

1 1

−

⋅ −

⋅

= ⁿ _n

q q q S

A . 1

Mit 52S=46.840, € , 1,08 1+100=

= p

q und n=10 ergibt sich 2

62 , 1 6980 08

, 1

08 , 08 0

, 1 52 , 840 .

46 ¹⁰ ₁₀ =

⋅ −

⋅

=

A €. 2

Lösung 2

vgl. SB 2, Kap. 2.2 und SB 3, Kap. 1.1 / 2.3

20 Punkte

2.1 40 % von 200.000,00 € sind 80.000,00 €, dies ist der Rentenendwert. 1 Berechnung der Jahresersatzrate (nachschüssige Rate) nach Formelsammlung 9.1:

1 1

−

⋅ −

= q

r q R

n

n mit r=r_E. 1

Einsetzen von Rn =80.000,00€ , 1,025 1+100=

= p

q und n=8 ergibt 1

025 , 0

1 025 , 00 1

, 000 . 80

8

E ⋅ −

=r . 1

Umstellen der Gleichung liefert 39 , 157 . 1 9

025 , 1

025 , 0 00 , 000 . 80

E 8 =

−

= ⋅

r €. 2

Umrechnung in eine vierteljährliche vorschüssige Rate (Formelsammlung 9.4) mit m=4 und 025

, 100=0

= p

i :

1

13 , 254 . 2 ) 1 4 2 ( 025 , 4 0

39 , 157 . 9 )

1 2 (

E =

+

⋅ +

= +

⋅ +

= i m m

r r €.

2

(8)

2.2 Tilgungsdauer nach Formelsammlung 10.2:

q T n A

log log

log − ₁

= , T₁ Tilgung im ersten Jahr 1

Zinsen von p=4,5% im ersten Jahr der Tilgung bezogen auf Darlehensumme von 00

, 000 .

=120

S €:

00 , 400 . 5 045 , 0 00 , 000 . 100 120

1= ⋅ p = ⋅ =

S

Z €. 2

Tilgung im ersten Jahr bei einer Annuität von A=10.000,00€:

00 , 600 . 4 00 , 400 . 5 00 , 000 .

1 10

1=A−Z = − =

T €. 2

Damit folgt für die Tilgungsdauer

64 , 045 17

, 1 log

00 , 600 . 4 log 00 , 000 . 10

log − =

=

n . 1

Es müssen 17 Jahre lang die volle Annuität gezahlt werden und im 18. Jahr ein Rest.

2.3 Annuität im letzten Jahr (Anwendung der Formeln aus 10.2) mit n^*=17 und 0,045 100=

= p

q : 1

15 , 188 . 045 6 , 0

1 045 , 00 1 , 000 . 10 045 , 1 00 , 000 . 1 120

1 ₁₇ ¹⁷

* *

− =

⋅

−

⋅

− =

⋅ −

−

⋅

= q

A q q S

T_r ⁿ ⁿ € 2

47 , 278 045 , 0 15 , 188 . 6 ) 1

( − = ⋅ =

⋅

=T q

Z_r _r € 1

62 , 466 . 6 47 , 278 15 , 188 .

6 + =

= +

= r r

r T Z

A € 1

Lösung 3

vgl. SB 6, Kap. 1 und SB 8, Kap. 1.5

15 Punkte

3.1















 −

=

1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

α α

A

















−

=

1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

T α α

α α

A 2

3.2 Anwendung des FALKschen Schemas der Matrixmultiplikation:

1 0

0 1

0 0

0 cos

sin cos

sin cos sin 0 sin cos

0 cos sin cos sin cos

sin 0

cos sin

1 0

0

0 sin

cos

0 cos

sin

2 2

α α

α α α α α

α

α α α α α

α α

α

α α

+

−

− +

−

9

(je 1 Punkt pro richtig berechnetem Element von A⋅A^T im FALKschen Schema)

(9)

Mit 1sin²α +cos²α = und Zusammenfassen folgt 1

E A

A =

















=















−

⋅













 −

=

⋅

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

1 0 0

0 sin cos

0 cos sin

T α α

α α

. 1

3.3 Aus A⋅A^T =E (Einheitsmatrix) folgt A⁻¹=A^T (A^T ist die inverse Matrix). 2

Lösung 4

vgl. SB 8, Kap. 1

20 Punkte

1. Bestimmung des Winkels ϕ^:

Sei x die Länge der Strecke SB . Anwendung des Sinussatzes (Formelsammlung 16.9) auf die rechtwinkligen Dreiecke ∆BDS und ∆ACS liefert:

∆BDS:

x x r 25

sinϕ= = ^(I) ²

∆ACS:

x x

d R

= +

100

sinϕ 40 ^(II) ²

Gleichsetzung von (I) und (II) liefert:

x x

25 100

40 =

+ . 1

Auflösen nach x ergibt:

cm.

67 , 15 166 2500

2500 15

25 2500 40

) 100 ( 25 40

=

+

=

+

=

x x

3

B S D r R

C

A d

(10)

Damit ist

15 , 100 0

15 15 2500

sin = = 25 = =

x

ϕ r ^undϕ=arcsin0,15=8,627°^. ₂

Hinweis:

Die gleichen Lösungen für x und ϕ erhält man alternativ, wenn in (I) oder (II) nach x aufgelöst wird und der Ausdruck dann in (II) bzw. (I) eingesetzt wird. Die Punkte sind dann entsprechend zu vergeben.

2. Bestimmung des Abstandes CD : Aus der Skizze folgt:

DS CS

CD= − . 1

Die Streckenlängen y =DS und z=CS bestimmen sich durch Anwendung des Cosinussatzes (Formel- sammlung 16.9) auf die rechtwinkligen Dreiecke ∆BDS und ∆ACS:

∆BDS:

x

= y ϕ

cos 2

67 , 627 166 , 8

cos y

= ⇒ y=166,67⋅cos8,627=164,78cm 2

∆ACS:

x z

= +

cosϕ 100 ²

67 , 266 67 , 166 627 100

, 8

cos z z

+ =

= ⇒ z=266,67⋅cos8,627=263,65cm 2 Damit ist

cm 87 , 98 78 , 164 65 , 263 DS

CS

CD= − =z−y= − = . 1

Lösung 5

vgl. SB 8, Kap. 7.3

20 Punkte

1. Schritt: Bestimmung der Lösung y_h der homogenen Dgl y′′+9y=0

Ansatz y=e^kx und Lösung der charakteristischen Gleichung 1

0

2+9=

k . 1

2 9

,

1 =± −

k 1

Da für die Diskriminante D<0 gilt, gibt es zwei zueinander konjugiert komplexe Lösungen k₁=3i und i

2=−3

k . 1

Der Ansatz für die Lösungsgesamtheit der homogene Dgl lautet (Formelsammlung 21.3, Fall D<0):

) sin cos

( ₁ ₂

δ A x A x

e

y= ⁻ ^x ω + ω . 1

(11)

Mit 0

2

1 =

= a

δ ^und ⁹ ³

2

1 2

0  = =



 



−

= a

ω a ^folgt ²

x A x A

y_h = ₁cos3 + ₂sin3 . 1

2. Schritt: Bestimmung einer speziellen Lösung y_p

Störfunktion 1h(x)=x² +4x+ ist Polynom 2. Grades, daher Ansatz

0 2 1

2

p B x B x B

y = + + . 2

1 2 p 2B x B

y′ = + 1

2 p 2B

y′′ = 1

Einsetzen in die Ausgangs-Dgl y′′+9y=x²+4x−1: 1

4 )

( 9

2B₂+ B₂x²+B₁x+B₀ =x²+ x− 1

1 4 2

9 9

9B₂x²+ B₁x+ B₀+ B₂ = x²+ x− 1

Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem:

1 2

9 4 9

1 9

2 0 1 2

−

= +

=

= B B B B

1

Daraus erhält man die Lösung 9

2 =1 B

9

1= 4

B 3

81

0 =−11

B .

Somit ist

81 11 9 4 9 1 ₂

− +

= x x

y_p . 1

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist somit 81

11 9 4 9 3 1 sin 3

cos ₂ ²

1 + + + −

=A x A x x x

y , mit A1,A2∈R. 1

Lösung 6

SB 9, Kap. 1.3.3

15 Punkte

6.1 Ausgangsfläche:

2 D =0,5⋅5⋅8⋅sin30°cm2=10cm

A 1

Fläche mit den Änderungen ∆b=+2% , ∆c=−3% , ∆α =−1°^:

(12)

neue Werte:

cm 1 , 5 1 , 0 5

%

~ 2

= +

=b

b 1

cm 76 , 7 24 , 0 8

%

~=c−3 = − =

c 1

°

=

°

−

°

=

°

−

= 1 30 1 29

~ α

α ₁

2 Dneu =0,5⋅5,1⋅7,76⋅sin29°cm2=9,593cm

A 1

Exakte Flächenänderung:

2 2

D 2 Dneu

D = − =9,593cm −10cm =−0,407cm

∆A A A (die Fläche wird kleiner). 1

6.2 totales Differential (nach Formelsammlung 18.5):

α ^dα d

d

d ∂

+ ∂

∂ +∂

∂

=∂ A

c c b A b

A A 1

Umrechnung Grad in Bogenmaß:

180 360

1°= 2π = π 1

Bildung der partiellen Ableitungen:

α sin 5 , 0 ⋅ ⋅

∂ =

∂ c

b

A 1

α sin 5 , 0 ⋅ ⋅

∂ =

∂ b

c

A 1

α ⁼⁰^,⁵^⋅ ^⋅ ^⋅^cosα

∂

∂A b c

1 Mit den Änderungen ∆b=db=0,1cm , ∆c=dc=−0,24cm und

1 180 d =− °=− π

=

∆α α ^(siehe

Teilaufgabe 6.1) folgt:

cm2

2 , 0 cm 1 , 0 ) 30 sin cm 8 5 , 0 ( d ) sin 5 , 0 (

d = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° ⋅ =

∂

∂ b c b

b

A α ₁

cm2

3 , 0 cm ) 24 , 0 ( ) 30 sin cm 5 5 , 0 ( d ) sin 5 , 0 (

d = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ° ⋅ − =−

∂

∂ c b c

c

A α ₁

cm2

0,302 ) 180

30 cos cm 8 cm 5 5 , 0 ( d ) cos 5

, 0 (

d =−



 



− π

⋅

°

⋅

=

⋅

∂ =

∂α α ^b ^c α α

A 1

Somit ergibt sich als Näherungswert der Flächenänderung über das totale Differential:

2 2 0,402cm cm

) 302 , 0 3 , 0 2 , 0 ( d d

d

d = − − =−

∂ + ∂

∂ +∂

∂

=∂ α

α c A c b A b

A A . 1

Hinweis:

Alternativ kann diese Aufgabe auch durch Anwendung des linearen („Fehler“)-

Fortpflanzungsgesetzes (Formelsammlung 22.3) gelöst werden – Bestimmung der absoluten Messabweichung ∆A_D. Die Punkte sind dann entsprechen zu vergeben.

(13)

Lösung W1

SB 5, Kap. 3.5

15 Punkte

Nullstellen:

) e e (

3 ²

3 2

x x

y

−

⋅

=

) e e ( 3

0 ²

3 2

x

x −

−

⋅

= 1

2 3

2 e

e

x

x −

−

= 1

2 3 2

x x = −

− 1

=0

x 1

Extrema:

Bilden der 1. und 2. Ableitung (Beachtung der Kettenregel):

















+

−

′=

−

2 3

2 e

2 e 3 2 3 1

x x

y 2

















−

′′=

−

2 3

2 e

4 e 9 4 3 1

x x

y 2

Notwendige Bedingung für Extremwerte ist y′=0.

0 2e

e 3 2

3 1 ²

3

2 =

















+

−

−x x

⇒ ²

3 2 3e e

x

x −

−

= 1

















=













 ⁻ ⁻

2 3 2 ln 3e e

ln

x x

1

2 3 3 2 ln

x x = −

− 1

3

=ln

x 1

Hinreichende Bedingung für Extremwerte ist y′=0 und y′′≠0.

0 866 , 0 ) 433 , 0 1443 , 0 ( 27 3 1 4 9 3 1 4 3 1 4 3

3 9 4 3 1

4e e 9

4 3 1 ) 3 (ln

2 3 2

1

3 2 ln 3 3

2ln 1

<

−

=

−

=



 



 ⋅ − ⋅

=















⋅

−

⋅

=

















−

′′ =

−

y

3

(14)

Lösung W2

SB 7, Kap. 2.4 / 4.1.1

15 Punkte

2.1 Stammfunktion:

C x x x x

F +

=

∫

₁+^cos_sin ^d )

( 2 1

Substitution z=sinx 1

x x z cos d

d = ⇒

x x z

cos

d = d 2

Somit ist

).

arctan(sin arctan

1 d 1

cos dz 1

d cos sin 1

cos

2 2 2

x z

z z z x x x

x x

= + =

= + ⋅ + =

∫

3

Eine Stammfunktion (für C=0) ist F(x)=arctan(sinx). 1 2.2 Flächenberechnung:

Bestimmung der ersten Nullstelle x₀₁: sin 0

1 cos

2 =

+ x

x (1+sin²x)≠0fürallex∈D 1

0

cosx= 1

2

= π

x 1

Fläche nach Formelsammlung 20.5:

∫

π

=²

0

d ) (x x f

A , gilt wegen f(x)≥0 für



 π

∈ 0, 2

x 1

) 0 arctan(sin 2)

arctan(sin )

arctan(sin sin d

1

cos ₂

0 2

0 2 = = π −

=

∫

+ ^π

π

x x x

A x 2

785 , 0 0 arctan 1

arctan − =

= FE 1

Hinweis:

Bei der Berechnung der arctan-Werte in der letzten Zeile ist für die Argumente Bogenmaß zu verwenden.