WirtschaftsingenieurwesenFachMathematik / WirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.WB-WMT-P11–070616 / WI-WMT-P12–070616Datum16.06.2007

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Klausuraufgaben, PL 06/07, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI WB-WMT-P11–070616 / WI-WMT-P12–070616 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Mathematik / Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung

Klausur-Knz. WB-WMT-P11–070616 / WI-WMT-P12–070616

Datum 16.06.2007

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Anzahl Aufgaben: – 6 – HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: – 100 – Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

(2)

Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 06/07, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI HFH Hamburger Fern-Hochschule

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben 1 und 2 sind nur von den Studierenden des Studienganges Wirtschaftsingenieurwesen zu bearbeiten. Studierende des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fach- richtungen bearbeiten bitte anstelle dieser Aufgaben die Aufgaben W1 und W2 am Ende der Aufgabenblätter.

Aufgabe 1

nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

16 Punkte

Ein Handwerker möchte von seinem 63. Geburtstag an 20 Jahre lang eine monatliche nachschüssige Rente von 2.000,00 € ausgezahlt bekommen.

Welchen Betrag muss er dafür 30 Jahre lang bis zu seinem 63. Geburtstag vierteljährlich vorschüssig einzahlen?

Sowohl in der Anspar- als auch in der Auszahlungszeit wird das Konto jährlich mit 5,5 % verzinst.

Aufgabe 2

nur für Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

18 Punkte

Ein Bauherr nimmt zur Finanzierung seines Hauses ein Hypothekendarlehen über 200 000,00 € auf. Der Zinssatz beträgt 8 % und für das erste Jahr wird eine Tilgung von 1 % vereinbart. Es handelt sich um eine Annuitätentil- gung (Annuitätenkredit).

2.1 Berechnen Sie die Laufzeit der Hypothek. 6

2.2 Erstellen Sie den Tilgungsplan (Restschuld zu Beginn des Jahres, Zinsen, Tilgung, Annuität) für das 27., 28., und 29. Jahr.

12

Aufgabe 3 16 Punkte

Das nebenstehende Bild zeigt ein aus drei Zweigen beste- hendes elektrisches Netzwerk mit den vier Ohmschen Wi- derständen

Ω

= Ω

=1 , ₂ 2 , ₃ 3 und ₄ 5

1 R R R

R

sowie den beiden Spannungsquellen mit den Quellenspan- nungen

V 20 und

V

10 ₂

1= _q =

q U

U

Die drei Zweigströme I₁,I₂ undI₃ genügen folgendem linearen Gleichungssystem:

2 3 3 2 2

1 2

1 4 1

3 2 1

) 2

(

0

q

U I R I R

U I R I R R

I I I

= +

−

= +

+

−

= + +

Berechnen Sie (unter Vernachlässigung der Einheiten) mittels der gegebenen Werte für die Widerstände und Quellenspannungen die Stärke der drei Ströme I₁,I₂ undI₃.

(3)

WB-WMT-P11–070616 / WI-WMT-P12–070616 Seite 2/3

Aufgabe 4 19 Punkte

Durch die drei Vektoren:

















−

= 2 0 1

a ,

















= 0

5 0

b und

















= 1 0 2 c

wird ein so genanntes Parallelflach aufgespannt.

4.1 Bestimmen Sie die geometrische Form dieses Parallelflachs, indem Sie die Längen der Vektoren und die Winkel zwischen den Vektoren berechnen.

14 4.2 Bestimmen Sie das Volumen des Parallelflachs mit Hilfe des Spatprodukts der Vektoren. 5

Aufgabe 5 16 Punkte

Lösen Sie die Differentialgleichung

2 2

1 1

x y y y x

−

⋅ −

′= .

Aufgabe 6 15 Punkte

Die Herstellungsmenge eines Produktes ist von den Einsatzmengen x und y zweier Faktoren F₁ und F₂ abhän- gig. Die Abhängigkeit ist durch die folgende Produktionsfunktion gegeben:

2 2 3 2,5 10

4 440 ) ,

(x y x y x xy y

F = + + − + −

Bestimmen Sie, für welche Faktormengenkombination sich ein Maximum der Produktionsfunktion ergibt.

(4)

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben W1 und W2 sind ausschließlich nur von den Studierenden des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen zu bearbeiten.

Aufgabe W1

nur für Sonderstudiengang Technik

16 Punkte

Berechnen Sie das bestimmte Integral

∫

π 0

d sin e^x x x. Hinweis:

Wenden Sie zur Bestimmung der Stammfunktion die partielle Integration an.

Aufgabe W2

nur für Sonderstudiengang Technik

18 Punkte

Der so genannte aperiodische Schwingungsfall tritt ein, wenn ein schwingungsfähiges (mechanisches oder elektromagnetisches) System infolge zu großer Dämpfung (Reibung) zu keiner echten Schwingung mehr fähig ist, sondern sich asymptotisch der Gleichgewichtslage nähert. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem Kriechfall.

Bestimmen Sie für die Kriechfunktion x x

x

f( )=(2−10 )⋅e⁻³

die Nullstellen und Extremwerte sowie die Art des Extremas.

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Korrekturrichtlinie, PL 06/07, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI WB-WMT-P11–070616 / WI-WMT-P12–070616

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung

Mathematik / Wirtschaftsmathematik am 16.06.2007 Wirtschaftsingenieurwesen

WB-WMT-P11 – 070616 / WI-WMT-P12 – 070616

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 04. Juli 2007

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (040/35094-311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 06/07, Mathematik/Wirtschaftsmathematik, WB/WI HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 2; Kap. 2.2/2.3 und SB 3, Kap. 1.1

16 Punkte

Es ist zunächst der Barwert der Rente zu bestimmen, die im Alter gezahlt werden soll. 1 Der Rentenbarwert einer nachschüssigen Rente bestimmt sich zu (Formelsammlung 9.1):

1 1

0 −

⋅ −

= q

q q

R r_n ⁿ . 1

Da unterjährige Rentenzahlung ist für die Rate r die jahreskonforme Ersatzrate r_E für nachschüssige

Zahlungen zu verwenden: 1



 + −

= ( 1)

E 2i m

m r

r (Formelsammlung 9.4). 1

Mit i=0,055, 00r=2.000, € und m=12 (Monate) ergibt sich 00 , 605 . 24 2 11

055 , 12 0 000 . 2 ) 1 2(

E =



⋅ +

=

 

 + −

= i m

m r

r €. 2

Mit 20n= (Jahre) und q=1,055 folgt für den Rentenbarwert 16 , 039 . 055 294

, 0

1 055 , 1 055 , 1

605 . 24 1

1 ²⁰

0 = 20 ⋅ − =

−

⋅ −

= q

q q R r

n

n €. 2

Dies ist der Rentenendwert für die vorschüssigen Einzahlungen. 1

Der Rentenendwert bestimmt sich zu (Formelsammlung 9.2):

1 1

E −

⋅ −

⋅

= q

q q r R

n

n . 1

Da unterjährige Rentenzahlung ist die jahreskonforme Ersatzrate r_E für vorschüssige Zahlungen zu verwenden.

1

Umstellen nach r_E und Einsetzen von R_n =294.039,16 €, n=30 (Jahre) und q=1,055 liefert 70

, 847 . ) 3 1 055 , 1 ( 055 , 1

055 , 0 16 , 039 . 294 ) 1 (

) 1 (

E 30 =

−

⋅

= ⋅

−

⋅

−

= ⁿ⋅ _n q q

q

r R €. 2

Diese Ersatzrate ist abschließend in vierteljährliche vorschüssige Zahlungen (Raten r) umzurechnen.

Für die Ersatzrate r_E gilt (Formelsammlung 9.4):



 + +

= ( 1)

E 2i m

m r

r . 1

Umstellen nach r und Einsetzen von i=0,055 und m=4 (Vierteljahre) ergibt:

96 , 929 2 5

055 , 4 0

70 , 847 . 3 2 1

E =

⋅ +

=



 + +

=

) i(m m

r r €.

2

(7)

Lösung 2

vgl. SB 3, Kap. 2.3

18 Punkte

2.1 Zinsen im 1. Jahr:

00 , 000 . 16 08 , 0 00 , 000 .

0 200

1=S ⋅i= ⋅ =

Z € 1

Tilgung im ersten Jahr:

00 , 000 . 2 01 , 0 00 , 000 .

0 200

1=S ⋅i= ⋅ =

T € 1

Annuität: A=Z₁+T₁=18.000,00€ 1

Laufzeit des Annuitätenkredits (Formelsammlung 10.2):

q T n A

log log

log − ₁

= . 1

Einsetzen von A, T₁ und q=1,08 liefert 55 , 08 28

, 1 log

00 , 000 . 2 log 00 , 000 . 18

log − =

=

n . 2

Damit beträgt die Laufzeit 29 Jahre.

2.2 Restschuld zu Beginn des 27. Jahres (nach Zahlung von 26 Annuitäten), vgl. Formelsammlung 10.2:

1

26 1

0 26

26 −

− −

⋅

= q

Aq q S

S . 1

Mit 00S₀=200.000, €, 00A=18.000, € und q=1,08 ergibt sich 17 , 091 . 08 40

, 0

1 08 , 0001 . 18 08 , 1 000 .

200 ²⁶ ²⁶

26 = ⋅ − − =

S € 2

Damit ergibt sich folgender Tilgungsplan (in Euro) für die Annuitätentilgung:

Jahr Restschuld zu Beginn des Jahre

Zinsen, fällig am Ende des Jahres

Tilgung fällig am Ende des Jahres

Annuität

j S_j₋₁ Z_j T_j A

27 40.091,17 3.207,29 14.792,71 18.000,00 2

28 25.298,46 2.023,88 15.976,12 18.000,00 3

29 9.322,34 745,79 9.322,34 10.068,13 4

Die Zahlenwerte ergeben sich unter Berücksichtigung von:

08 ,

1⋅0

= j₋

j S

Z für j=27,28,29 und S_j =S_j₋1−T_j für j=27,28

j

j Z

T =18.000,00− für j=27,28 und T₂₉=S₂₈ sowie A₂₉ =Z₂₉+T₂₉.

(8)

Lösung 3

vgl. SB 6, Kap. 2.2

16 Punkte

Einsetzen der Zahlenwerte R₁=1Ω,R₂ =2Ω,R₃=3Ω undR₄ =5Ω sowie V

20 und

V

10 ₂

1= _q =

q U

U führt zum linearen Gleichungssystem:

20 3 2

10 2

6

0

3 2

2 1

3 2 1

= +

−

= +

−

= + +

I I

I I I

. 3

Matrixschreibweise:

















−

=















⋅















−

20 10 0 3

2 0

0 2 6

1 1 1

3 2 1

I I I

.

Lösung des LGS mittels GAUß-Algorithmus (Bilden der erweiterten Matrix und entsprechende Umfor- mungen der erweiterten Matrix):

+ ⇒

















−

− II 6I

20 10 0 3 2 0

0 2 6

1 1 1

















− 20

10 0 3 2 0

6 8 0

1 1 1

2

 ⇒















− :2 20

10 0 3 2 0

6 8 0

1 1 1

















− 20

5 0 3 2 0

3 4 0

1 1 1

2

⇒ +

 −















−

II III ) 2 ( 20

5 0 3 2 0

3 4 0

1 1 1

















−

− 45 5 0 3 0 0

3 4 0

1 1 1

2

⇒

 −















−

− 45 :( 3) 5 0 3 0 0

3 4 0

1 1 1

















− 15

5 0 1 0 0

3 4 0

1 1 1

2 Die Koeffizientenmatrix hat „Dreiecksgestalt“, Ermittlung der Lösung durch Rückrechnung:

A

3=15

I 1

− ⇒

= +45 5

4I₂ I₂ =−12,5A 2

= ⇒ +

−12,5 15 0

I1 I₁=−2,5A 2

Hinweis:

Es sind auch andere Umformungen im GAUß-Algorithmus möglich. Die Punkte sind dann entsprechend zu verteilen.

Zur Beachtung:

Die negativen Werte in der Lösung resultieren aus einem Fehler in der Aufgabenstellung. Die erste Glei- chung müsste korrekterweise I₁+I₂ −I₃=0 lauten, als Lösung ergibt sich dann I₁=2,5A, I₂ =2,5A und I₃ =5A.

(9)

Lösung 4

vgl. SB 8, Kap. 4.5 / 4.6

19 Punkte

4.1 Beträge der Vektoren gemäß Formelsammlung 14.2:

2 2

2 y z

x a a

a + +

=

a . 1

5 ) 2 ( 1 2

0 1

2 =

− +

⇒ =

















−

= a

a 1

( )

⁵ ⁵

0 5

0 2

=

⇒ =

















= b

b 1

5 1 2 1

0 2

2 + =

⇒ =

















= c

c 1

Bestimmung der Winkel zwischen den Vektoren über das Skalarprodukt der Vektoren, vgl. For- melsammlung 14.3:

b a

b b a

a b

a ⋅

= ⋅

⇒ ∠

∠

⋅

=

⋅ cos ( , ) cos ( , ) 1

z z y y x

xb a b a b

a + +

=

⋅b

a 1

°

=

∠

= ⇒

⋅ =

⋅

− +

⋅ +

= ⋅

⋅

= ⋅

∠ 0 ( , ) 90

5 0 5

5

0 ) 2 ( 5 0 0 ) 1

, (

cos a b

b a

b b a

a 2

°

=

⇒ ∠

=

⋅ =

⋅

− +

⋅ +

= ⋅

⋅

= ⋅

∠ 0 ( , ) 90

5 0 5

5

1 ) 2 ( 0 0 2 ) 1

, (

cos a c

c a

c c a

a 2

°

=

⇒ ∠

=

⋅ =

⋅ +

= ⋅

⋅

= ⋅

∠ 0 ( , ) 90

5 0 5

5

1 0 0 5 2 ) 0

, (

cos b c

c b

c c b

b 2

Die Beträge (Längen) der Vektoren sind gleich und die Winkel zwischen den Vektoren sind jeweils 90° (die Vektoren stehen jeweils senkrecht aufeinander), damit handelt es sich um einen

Würfel. 2

4.2 Spatprodukt von 3 Vektoren, vgl. Formelsammlung 14.3:

z y x

c c c

b b b

a a a

=

⋅

×b c a )

( . 1

Damit ist

1 0 2

0 5 0

2 0 1

Würfel

−

=

V . 1

(10)

Berechnung der Determinante über die SARRUS-Regel (Formelsammlung 12.2) bzw. über Kom- ponentendarstellung Spatprodukt (Formelsammlung 14.3):

5 5 5 4 5 ) 0 0 5 4 ( 0 0 5 1 0 2

0 5 0

2 0 1

= +

= + +

−

− + +

=

−

=

V . 3

Lösung 5

vgl. SB 8, Kap. 7.2.1

16 Punkte

2 2

1 1

x y y y x

−

⋅ −

′=

Umformung liefert die Form

y y x

y x ²

2

1 1

⋅ −

= −

′ , d. h. Form y′=g(x)⋅h(y) und damit Lösung durch Trennung der Variablen (Formelsammlung 21.2):

1

∫

_h^d₍^y_y₎ ⁼

∫

^g⁽^x⁾^d^x^.

Mit ₂

) 1

( x

x x

g = − und

y y y h

1 2

)

( = − folgt

∫

₁₋^y_y2 ^d^y⁼ ₁₋^x_x2^d^x. 1

Bestimmung der Integrale durch Integration mittels Substitution 1 x2

z= − , x

x

z 2

d

d =− ,

x x z

2 d d

=− 3

C x C

z z z x

z z x x x

x =− =− + =− − +

⋅ −

− =

∫ ∫

∫

₁ 2^d ₍ ^d₂ ₎ ₂¹ ^d ¹₂^ln ¹₂^ln(¹ ²⁾ . 3

Auf analoge Weise erhält man:

C y y y

y =− − +

∫

₁− 2^d ₂¹^ln(¹ ²⁾ . 1

Damit ergibt sich (unter Zusammenfassung der Integrationskonstanten):

C x

y = − +

− ) ln(1 ) 1

ln( ² ² 1

Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert:

C x

y − +

− ⁾ = ^ln(¹ ⁾

1

ln( ² e ²

e 2

( )

^x ^C

y 1 e

1− ² = − ² 2

Umformung liefert:

x C

y=± 1−(1− ²)e . 2

(11)

Lösung 6

SB 9, Kap. 1.4.1

15 Punkte

Bestimmung der partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung von F(x,y):

2 2 3 2,5 10

4 440 ) ,

(x y x y x xy y

F = + + − + − 1

y x y

x

F_x( , )=4−2 +3 1

y x y

x

F_y( , )=10+3 −5 1

5 ) , (

3 ) , (

2 ) , (

−

=

−

= y x F

y x F

yy xy xx

3 Bestimmung der stationären Punkte durch Nullsetzen der partiellen Ableitungen 1. Ordnung (notwendige Bedingung: 0F_x(x,y)=F_y(x,y)= ):

0 5 3 10

0 3 2 4

=

− +

= +

−

y x

y

x 1

Man kann die erste Gleichung nach x umstellen und in die zweite Gleichung einsetzen:

2 2 3 +

= y

x (I) 1

0 5 ) 2 2 (3 3

10+ y+ − y= 1

2 32 16 0

5 2 6

10+ 9 + − = ⇒ = y ⇒ y=

y

y 2

Einsetzen in (I) liefert: x=50. 1

Es ist die hinreichende Bedingung F_xx(x,y)⋅F_yy(x,y)−F_xy(x,y)²>0 für den stationären Punkt )

32 , 50 (

F zu prüfen:

1

0 1 3 ) 5 )(

2 ( ) 32 , 50 ( ) 32 , 50 ( ) 32 , 50

( ⋅ _yy − _xy ²= − − − ²= >

xx F F

F 1

Da die hinreichende Bedingung erfüllt ist und F_xx(50,32)=−2<0, liegt für die Mengenkombination )

32 , 50 (

F ein lokales Maximum vor.

1

(12)

Lösung W1

SB 7, Kap. 2.3 und 3.2

16 Punkte

Bestimmung der Stammfunktion mittels partieller Integration:

∫

^g^⋅^h^′^d^x⁼^g^⋅^h⁻ ^g ^⋅′^h^d^x ¹

x

x g x

x

g( )=e ⇒ ′( )=e 1

x x

h x

x

h′( )=sin ⇒ ( )=−cos 1

∫

ê^x^sin^x^d^x⁼⁻ê^x^cos^x⁻ ê^x⁽⁻^cos^x⁾^d^x⁼⁻ê^x^cos^x⁺ ê^x^cos^x^d^x ²

Nochmalige partielle Integration für

∫

^e^x^cos^x^d^x^:

x

x g x

x

g( )=e ⇒ ′( )=e 1

x x

h x

x

h′( )=cos ⇒ ( )=sin 1

∫

ê^x^cos^x^d^x⁼ê^x^sin^x⁻ ê^x^sin^x^d^x ²

Damit ist

∫

ê^x^sin^x^d^x⁼⁻ê^x^cos^x⁺ê^x^sin^x⁻ ê^x^sin^x^d^x⁼ê^x^(sin^x⁻^cos^x⁾⁻ ê^x^sin^x^d^x ²

Umstellen liefert

) cos (sin e d sin e

2

∫

^x x x= ^x x− x ¹

) cos (sin 2e d 1 sin

e^x x x= ^x x− x

∫

¹

Einsetzen der Integrationsgrenzen:

2 e 1 2 ) 1 1 0 ( 2e ) 1 1 0 ( 2e ) 1 0 cos 0 (sin 2e ) 1 cos (sin 2e d 1 sin

e ⁰ ⁰

0

+

=

−

− +

=

−

− π

= ^π ^π ^π

π

∫

^x ^x ^x ^. ³

Lösung W2

SB 5, Kap. 2 und 3.3

18 Punkte

x x

x

f( )=(2−10 )⋅e⁻³

Für die Überprüfung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen bei Extrema sind die 1. und 2. Ableitung von f(x) erforderlich; Bestimmung der Ableitungen jeweils mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel; Produktregel: f′=g′h+gh′

1. Ableitung:

10 ) ( )

10 2 ( )

(x = − x ⇒ g′ x =−

g 1

x x

x h x

x

h( )=e⁻³ ⇒ ′( )=e⁻³ ⋅(−3)=−3e⁻³ (Kettenregel) 1

x x

x

x x x x

x

f′( )=(−10)⋅e⁻³ +(2−10 )⋅(−3e⁻³ )=−10e⁻³ −6e⁻³ +30 e⁻³ =(−16+30 )e⁻³ 3

(13)

2. Ableitung:

30 ) ( )

30 16 ( )

(x = − + x ⇒ g′ x =+

g 1

x x

x h x

x

h( )=e⁻³ ⇒ ′( )=e⁻³ ⋅(−3)=−3e⁻³ (Kettenregel)

x x

x

x x x x

x

f′( )=30⋅e⁻³ +(−16+30 )⋅(−3e⁻³ )=30e⁻³ +48e⁻³ −90 e⁻³ =(78−90 )e⁻³ 3 Nullstellen:

0 e ) 10 2

( − x ⋅ ⁻³^x = 0 ) 10 2

( − x = (da e⁻³^x ≠0 für alle x∈R) 1

5

=1

x 1

Extremwerte:

notwendige Bedingung ist f′(x)=0 1

x x

x

f′( )=(−16+30 )⋅e⁻³ 0 e ) 30 16

(− + x ⁻³^x = 0 ) 30 16

(− + x = (da e⁻³^x ≠0 für alle x∈R) 1

15

= 8

x 1

hinreichende Bedingung ist f ′′(x)≠0 1

x x

x

f ′′( )=(78−90 )⋅e⁻³

> ⇒

≈

⋅

=

⋅



 



 − ⋅

=



 



′′ ⁻

− ⋅

0 6 e

30 15 e

8 78 90

15

8 ₁₅³⁸ ₁₅²⁴

f lokales Minimum bei

15

= 8

x 3