WirtschaftsingenieurwesenFachWirtschaftsmathematikArt der LeistungPrüfungsleistungKlausur-Knz.WI-WMT-P12–051203Datum03.12.2005

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-P12–051203 Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen

Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Prüfungsleistung Klausur-Knz. WI-WMT-P12–051203

Datum 03.12.2005

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtsführenden zur Verfügung gestellte Papier, und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Bögen) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtsführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei, und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notie- ren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich diese bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufas- sen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei nummerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genannten Hilfs- mittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungs- versuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Hilfsmittel :

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Anzahl Aufgaben: – 6 – HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: – 100 – Vorläufiges Bewertungsschema:

Punktzahl

von bis einschl. Note

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

70 74,5 2,7 befriedigend

55 59,5 3,7 ausreichend

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

Viel Erfolg!

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Klausuraufgaben, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben 1 und 2 sind nur von den Studierenden des Studienganges Wirtschaftsingenieurwesen zu bearbeiten. Studierende des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fach- richtungen bearbeiten bitte anstelle dieser Aufgaben die Aufgaben W1 und W2 am Ende der Aufgabenblätter.

Aufgabe 1

nur für Studiengang Wirtschaftsing.-wesen

insg. 20 Punkte

Ein Lottogewinn von 200.000,00 € wird 8 Jahre lang mit p=4% p.a. angelegt (Verzinsung mit Zinseszins.).

Der Gewinner möchte nach Ablauf der 8 Jahre jeweils 12 Jahre lang den gleichen Betrag abheben, so dass nach der letzten Abhebung das Kapital aufgebraucht ist (gleichbleibende Verzinsung mit p=4% p.a. wird vorausge- setzt).

1.1 Wie hoch ist die jährliche vorschüssige Rente? 10 Pkte

1.2 Wie hoch kann die Rente bei monatlicher (vorschüssiger) Entnahme sein? 10 Pkte Hinweis:

Berechnen Sie zur Lösung der Aufgabe 1.2 in einem erstem Schritt die nachschüssige Jahresersatzrate.

Aufgabe 2

nur für Studiengang Wirtschaftsing.-wesen

insg. 16 Punkte

Ein Vater will seinen Sohn beim Bau eines Eigenheimes unterstützen, indem er ihm aus seiner privaten Altersvor- sorge 185.000,00 € bereitstellt. Er vereinbart mit dem Sohn eine Rückzahlung der Summe in 4 Jahren durch gleich große jährliche Tilgungsraten. Damit sein Kapital sich nicht entwertet, verlangt er außerdem 2,3 % Zinsen jährlich (mittlere Teuerungsrate).

Stellen Sie den Tilgungsplan für diese Ratentilgung gemäß nachstehender Vorlage auf.

Jahr j Restschuld S_j₋₁ (zu Beginn des Jahres)

Zinsen Z_j Tilgung T_j Annuität A_j

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WI-WMT-P12–051203 Seite 2/3

Aufgabe 3 insg. 17 Punkte

Gegeben sei die Matrix

















−

=

3 2 0

1 1 0

5 2 2

A .

3.1 Bestimmen Sie die inverse Matrix A⁻¹ von A. 12 Pkte

3.2 Zeigen Sie durch eine geeignete Rechnung, dass Ihre Lösung aus Teilaufgabe 3.1 richtig ist. 5 Pkte

Aufgabe 4 insg. 15 Punkte

Zwei Kräfte F₁=120kN und F₂=85kN schließen einen Winkel β =116° ein (siehe Skizze).

Berechnen Sie die Resultierende F dieser Kräfte und die Winkel α^undγ , die F mit den beiden anderen Kräften einschließt (siehe Skizze).

γ β

α F

F

F₁

2

Aufgabe 5 insg. 12 Punkte

Die Brennweite f einer Linse wird gemessen, indem man 2 Linsenstellungen ermittelt, die ein scharfes Bild eines Objektes auf einer Leinwand liefern. Ist d der Abstand der beiden Linsenstellungen und e der Abstand Objekt – Leinwand, so kann man die Brennweite mit folgender Formel ermitteln:

) 4 (

) 1 ,

( ²

e e d d

e f

f = = ⋅ − .

Im Rahmen einer Messreihe werden für die Messgrößen e und d folgende Messergebnisse (Mittelwerte) ermittelt:

cm 2 ,

=16 e

cm 1 ,

=45

d .

Die Messunsicherheiten werden angegeben mit u(e)=0,3cm und u(d)=0,5cm.

Berechnen Sie die kombinierte Standardunsicherheit u(f) mit Hilfe des quadratischen Fehlerfortpflanzungsge- setzes. Geben Sie das Ergebnis mit 2 Nachkommastellen an.

(4)

Aufgabe 6 insg. 20 Punkte

Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung x

e y y

y′′+3 ′+2 = ^x +sin . Hinweis:

Bitte verwenden Sie zur Bestimmung der partikulären Lösung y_p der inhomogenen Dgl den Ansatz x

C x B A

y_p = e^x + sin + cos .

Bitte beachten Sie:

Die Aufgaben W1 und W2 sind ausschließlich nur von den Studierenden des Sonderstudienganges Technik für Absolventen wirtschaftswissenschaftlicher Fachrichtungen zu bearbeiten.

Aufgabe W1

nur für Sonderstudiengang Technik

insg. 20 Punkte

Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente der Funktion y=x⋅e^x. Hinweis:

Unter einer Wendetangente versteht man eine Gerade, die durch den Wendepunkt einer Funktion geht und im Wendepunkt denselben Anstieg wie die Funktion im Wendepunkt hat.

Aufgabe W2

nur für Sonderstudiengang Technik

insg. 16 Punkte

Bestimmen Sie das Integral x

x x² 2 1d

∫

⁻ ^.

Hinweis:

Verwenden Sie zur Lösung die Substitution z=2x−1.

(5)

Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-P12–051203

Korrekturrichtlinie zur Prüfungsleistung Wirtschaftsmathematik am 03.12.2005

Wirtschaftsingenieurwesen WI-WMT-P12 – 051203

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor, wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summari- sche Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stoßen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen als den in der Korrekturrichtlinie angegebenen Lö- sungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung des betreffenden Teilschrittes führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weitergerechnet, so erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebende Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in das Formular „Klausurergebnis“ (Ergebnisliste) ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Bewertungsschema zugrunde zu legen:

Punktzahl Note

von bis einschl.

95 100 1,0 sehr gut

90 94,5 1,3 sehr gut

85 89,5 1,7 gut

80 84,5 2,0 gut

75 79,5 2,3 gut

0 49,5 5,0 nicht ausreichend

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum 21. Dezember 2005

in Ihrem Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine Terminüberschreitung ab- zeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich dem Prüfungsamt der Hochschule anzuzeigen (040/35094-311 bzw. birgit.hupe@hamburger-fh.de).

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Korrekturrichtlinie, Prüfungsleistung 12/05, Wirtschaftsmathematik, Wirtschaftsingenieurwesen HFH Hamburger Fern-Hochschule

Lösung 1

vgl. SB 2, Kap. 1.3 / 2.4 und SB 3, Kap. 1.1

insg. 20 Punkte

1.1 Kapital nach 8 Jahren (Formelsammlung 8.2)

n K qn

K = ₀⋅ (1 Pkt)

Mit 00K₀ =200.000, € , n=8 und q=1,04 (1) folgt (1 Pkt) 81

, 713 . 273 04

, 1 000 .

200 ⁸

8 = ⋅ =

K €. (2 Pkte)

Alternative 1:

Anwendung der Sparkassenformel für den Kapitalverzehr (Formelsammlung 9.3) Bei vollständigem Kapitalverzehr gilt

1 0 ₀ 1

−

⋅ −

⋅

−

⋅

= q

q q r q K

n n . (2 Pkte)

Umstellen nach der Rate r liefert

( )

_.

1 1 1

1

0 1 0

−

= ⋅

− =

⋅ −

⋅

− n n n n

q q q r K

q q K

q q r

(2 Pkte) Mit 81K₀ =273.713, € , n=12 und q=1,04 ergibt sich

07 , 043 . 1 28

04 , 1

04 , 0 04 , 1 81 , 713 . 273

12

11 =

−

⋅

= ⋅

r €. (2 Pkte)

Alternative 2:

Rentenrate bei bekanntem Rentenbarwert (Formelsammlung 9.2):

1 ) 1

1(

0

−

= ⋅ ⁿ_n⁻ q

q q

r R (2 Pkte)

Mit R₀=273.713,81 € (1), 12n= und q=1,04 (1) ergibt sich (2 Pkte) 07

, 043 . 1 28

04 , 1

04 , 0 04 , 1 81 , 713 . 273

12 11

− =

⋅

= ⋅

r € (2 Pkte)

Jährlich kann vorschüssig über einen Zeitraum von 12 Jahre eine Rente von 28.043,07 € ge- zahlt werden.

1.2 Man muss zunächst die nachschüssige Jahresersatzrate r_Eberechnen und anschließend auf den Monat umrechnen.

nachschüssige Jahresersatzrate (Formelsammlung 9.2) bei bekanntem Rentenbarwert:

1 ) 1

0 (

E −

−

= ⋅ _nⁿ q

q q

r R (1 Pkt)

(7)

WI-WMT-P12–051203 Seite 2/8

Mit 81R₀=273.713, € (1) , n=12 und q=1,04 ergibt sich (1 Pkt) 91

, 164 . 60103 29 , 0

99 , 528 . 17 1

04 , 1

) 1 04 , 1 ( 04 , 1 81 , 713 . 273

12 12

E = =

−

⋅

= ⋅

r € (2 Pkte)

Monatliche vorschüssige Rente (Formelsammlung 9.4):

) 1 ( 2

2 _E +

⋅

= +

m i m

r r (1 Pkt)

Mit r_E =29.164,91 € (1), 12m= (1) (Monate) und i=0,4 (1) ergibt sich (3 Pkte) 87

, 378 . 52 2 , 24

82 , 58329 13

04 , 0 12 2

91 , 164 . 29

2 = =

⋅ +

⋅

= ⋅

r € (2 Pkte)

Monatlich kann vorschüssig über einen Zeitraum von 12 Jahre eine Rente von 2.378,87 € entnommen werden.

Lösung 2

vgl. SB 3, Kap. 2.2

insg. 16 Punkte

Für die Ratentilgung ergeben sich folgende Werte (Formelsammlung 10.1)

Laufzeit 4n= (0,5 Pkte)

Schuldsumme 00S₀ =185.000, € (0,5 Pkte)

Zinssatz %p=2,3 (0,5 Pkte)

Zinsrate 0,023 100=

= p

i (0,5 Pkte)

Tilgungsrate 46.250,00

4 000 .

0 =185 =

=

= n

T S

T _j € (2 Pkte)

Für die Berechnung der Werte im Tilgungsplan finden folgende Formeln Anwendung:

Restschuld nach Zahlung der j-ten Annuität S_j =S₀− j⋅T , mit j=1,K,4 Zinsen der j-ten Periode ^Zj =

[

^S₀−(^j−1)⋅^T

]

⋅ⁱ=^Sj₋₁⋅ⁱ, mit j=1,K,4 Annuität der j-ten Periode A_j =T +Z_j, mit j=1,K,4

Mit den Ausgangswerten und Formeln ergibt sich der folgende Tilgungsplan (in Euro):

Jahr j Restschuld S_j₋₁ (zu Beginn des Jahres)

Zinsen Z_j Tilgung T_j Annuität A_j

1 185.000,00 (0,5) 4.255,00 (1) 46.250,00 (0,5) 50.505,00 (1) (3 Pkte) 2 138.750,00 (0,5) 3.191,25 (1) 46.250,00 (0,5) 49.441,25 (1) (3 Pkte) 3 92.500,00 (0,5) 2.127,50 (1) 46.250,00 (0,5) 48.377,50 (1) (3 Pkte) 4 46.250,00 (0,5) 1.063,75 (1) 46.250,00 (0,5) 47.313,75 (1) (3 Pkte)

(8)

Lösung 3

vgl. SB 6, Kap. 2.4

insg. 17 Punkte

3.1

Bilden der erweiterten Matrix

( )

















−

=

1 0 0 3 2 0

0 1 0 1 1 0

0 0 1 5 2 2 ,E

A . (1 Pkt)

Mittels elementarer Zeilenoperationen ist die linke „Hälfte“ von (A, E) in eine Einheitsmatrix zu überführen:

2II III

2II I 1 0 0

0 1 0

0 0 1 3 2 0

1 1 0

5 2 2

−

















−

(4 Pkte)

III II

3III I 1 2 0

0 1 0

0 2 1 1 0 0

1 1 0

3 0 2

−

















−

(4 Pkte)

) 1 ( :

2 : 1 2 0

1 3 0

3 4 1 1 0 0

0 1 0

0 0 2

 −















−

(2 Pkte)

















−

− 1 2 0

1 3 0

5 , 1 2 5 , 0 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Hinweis:

Bei der Überführung sind auch andere Schritte denkbar, Die Punkte sind dann sinngemäß zu verteilen.

Die inverse Matrix ist damit

















−

− =

1 2 0

1 3 0

5 , 1 2 5 , 0

A 1 . (1 Pkt)

3.2 Überprüfung durch Matrixmultiplikation, ob A⋅A⁻¹=E oder A^-1⋅A=E gilt.

Anwendung des Schema von FALK:

1 0 0 3 2 0

0 1 0 1 1 0

0 0 1 5 2 2

1 2 0

1 3 0

5 , 1 2 5 , 0

−

(5 Pkte)

Hinweis:

Die Punkte sind auch zu vergeben, wenn die Inverse fehlerhaft berechnet, aber das Matrix- produkt korrekt berechnet wurde.

(9)

WI-WMT-P12–051203 Seite 4/8

Lösung 4

vgl. SB 8, Kap. 1.8.2

insg. 15 Punkte

Berechnung von F gemäß Kosinussatz (Formelsammlung 16.9):

β cos

2 ₁ ₂

22 12

2 =F +F − ⋅F ⋅F ⋅

F (2 Pkte)

77 , 30567 )

4384 . 0 ( 20400 21625

116 cos 85 120 2 85 120² ²

2 = + − ⋅ ⋅ ⋅ °= − ⋅ − =

F (2 Pkte)

kN 84 , 174 77 , 30567 =

=

F (1 Pkt)

Berechnung von α ^undγ gemäß Sinussatz (Formelsammlung 16.9):

β β α

α _sin _sin

sin

sin ₂

2 = ⇒ = ⋅

F F F

F (3 Pkte)

4369 , 0 116 84 sin

, 174

sinα = 85 ⋅ °= (1 Pkt)

°

=

=arcsin0,4369 25,9

α (1 Pkt)

β β γ

γ _sin _sin

sin

sin ₁

1 = ⇒ = ⋅

F F F

F (3 Pkte)

6169 , 0 116 84 sin

, 174

sinγ = 120 ⋅ °= (1 Pkt)

°

=

=arcsin0,6169 38,1

γ (1 Pkt)

Probe:

Nach der Winkelsumme im Dreieck muss α +β +γ =180° sein. Einsetzen der Werte liefert

°

=

° +

° 116 38,1 180 9

, 25

Lösung 5

vgl. SB 9, Kap. 2.3

insg. 12 Punkte

Quadratisches Fehlerfortpflanzungsgesetz (Formelsammlung 22.3):

) ( )

( )

( ²

2 2 2

d d u

e f e u

f f

u  ⋅



 





∂ + ∂

⋅



 





∂

= ∂ (2 Pkte)

Bestimmung der partiellen Ableitungen von ( ) 4

) 1 , (

2

e e d d

e f

f = = ⋅ − :











 +

⋅

∂ =

∂

2 2

4 1 1

e d e

f (2 Pkte)

e d e

d d

f

2 2 4

1 = −



 



−

⋅

∂ =

∂ (2 Pkte)

(10)

Einsetzen der Messergebnisse liefert 1876 , 2 2 , 16

1 , 1 45 4 1

2 2=









 +

⋅

∂ =

∂ e

f (2 Pkte)

3920 , 2 1 , 16 2

1 , 45 =−

⋅

= −

∂

∂ d

f (2 Pkte)

Mit cmu(e)=0,3 und u(d)=0,5cm ergibt sich

cm 96 , 0 9151 , 0 5 , 0 ) 3920 , 1 ( 3 , 0 1876 , 2

) ( )

( )

(

2 2 2

2

2 2 2 2

≈

=

⋅

− +

⋅

=

⋅



 





∂ + ∂

⋅



 





∂

= ∂ u d

d e f e u

f f u

(2 Pkte)

Lösung 6

SB 8, Kap. 1.4.1

insg. 20 Punkte

Bei der gegebenen Dgl handelt es sich um eine inhomogene Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (Lösung gemäß Formelsammlung 21.3).

1. Schritt: Lösung der homogenen Differentialgleichung

Ansatz y=e^kx mit k∈R führt zur charakteristischen Gleichung 0

2

2 +3k+ =

k . (2 Pkte)

Nullstellen der charakteristischen Gleichung

2 1 2 2 3 4 9 2

2 3

,

1 =− ± − =− ±

k

1 =−1

k , k₂ =−2 (2 Pkte)

Damit ergibt sich die Lösung der homogenen Dgl zu

x

x C

C

y_h = ₁e⁻ + ₂e⁻² , wobei C₁,C₂∈R. (1 Pkt)

2. Schritt: Bestimmung einer speziellen Lösung y_p der inhomogenen Dgl

Störfunktion h(x)=e^x +sinx ist Summe aus Exponential- und Sinusfunktion, damit muss der Lö- sungsansatz für y_p auch Summe der zu wählenden Ansätze für Exponential- und Sinusfunktion sein (vgl. letzter Hinweis zu Tabelle der Lösungsansätze, Formelsammlung 21.3)

Ansatz:

x C x B A

y_p = e^x + sin + cos x C x B A

y_p′= e^x + cos − sin

(2 Pkte) x

C x B A

y_p″= e^x − sin − cos

(2 Pkte)

(11)

WI-WMT-P12–051203 Seite 6/8

Einsetzen in Dgl ergibt:

x x

C x B A x C x B A x C x B

Ae^x − sin − cos +3( e^x + cos − sin )+2( e^x + sin + cos )=e^x +sin . (2 Pkte) Zusammenfassen liefert

x x

C B x C B

Ae^x ( 3 )sin (3 )cos e^x sin

6 + − + + = + . (2 Pkte)

Koeffizientenvergleich:

1 6A=

1 3 =

− C B

0

3B+C = (2 Pkte)

Lösung des Gleichungssystems 6

=1

A (1 Pkt)

− ⇒

= B

C 3 B+9B=1 ⇒

10

= 1

B und

10

− 3

=

C (2 Pkte)

Die spezielle Lösung y_p der inhomogenen Dgl lautet x

x

y ^x cos

10 sin 3 10 e 1 6

1 + −

= . (1 Pkt)

Die Lösung der in der Aufgabenstellung gegebenen Dgl ist damit:

x x

C C

y ^x ^x ^x cos

10 sin 3 10 e 1 6 e 1

e ₂ ²

1 + + + −

= ⁻ ⁻ , wobei C₁,C₂∈R. (1 Pkt)

(12)

Lösung W1

SB 5, Kap. 1 / Kap. 3.2

insg. 20 Punkte

x x

y= ⋅e

Bestimmung der ersten drei Ableitungen (Anwendung der Produktregel)

x x

x x x

y′=1⋅e + ⋅e =( +1)⋅e (2 Pkte)

x x

x x x

y′′=1⋅e +( +1)⋅e =( +2)⋅e (2 Pkte)

x x

x x x

e

y′′′=1⋅ +( +2)⋅e =( +3)⋅e (2 Pkte)

Bestimmung des Wendepunktes W (Formelsammlung 19.1):

zweite Ableitung gleich Null setzen (notwendige Bedingung) ergibt 0

e ) 2

( + ⋅ =

′′= x ^x

y (1 Pkt)

Da 0e^x ≠ für alle x, muss x+2=0 sein, also x=−2. (2 Pkte) Überprüfung der dritten Ableitung (hinreichende Bedingung):

0 e ) 3 2 ( ) 2

(− = − + ⋅ ² ≠

′′′ ⁻

y (1 Pkt)

Also liegt bei x=−2 ein Wendepunkt vor. (1 Pkt)

Bestimmung des Funktionswertes im Wendepunkt:

2 2

e e 2 2 ) 2

(− =− ⋅ ⁻ =−

y (2 Pkte)

Bestimmung der Steigung (Wert der 1. Ableitung) der Funktion im Wendepunkt:

2 2

e e 1 ) 1 2 ( ) 2

(− = − + ⋅ =−

′ ⁻

y (2 Pkte)

Geradengleichung der Wendetangente (gleicher Anstieg wie Funktion im Wendepunkt):

b x b mx

y= + =−₂ + e

1 (2 Pkte)

Einsetzen des Wendepunktes x=−2 liefert den Wert für b:

+b

−

− ⋅

− = ( 2) e

1 e

2

2 (1 Pkt)

e2

−4

=

b (1 Pkt)

Die Geradengleichung der Wendetangente lautet damit:

2

2 e

4 e

1 −

= − x

y (1 Pkt)

(13)

WI-WMT-P12–051203 Seite 8/8

Lösung W2

SB 7, Kap. 2.4

insg. 16 Punkte

Anwendung der Integration durch Substitution Setze 1z=2x− , also ( 1)

2

1 +

= z

x (2 Pkte)

Dann ist 2 d d =

x

z , also x dz 2

d =1 (2 Pkte)

=

∫

^x² ²^x−¹^d^x

 =



 



 +

∫

₂¹2 ⁽^z ¹⁾² ^z ₂¹^d^z (2 Pkte)

 =



 



 + +

∫

⁽^z ²^z ¹⁾^z ^d^z

8

1 ₂ ¹₂

(2 Pkte)

= +

∫

⁽^z +²^z ^z ⁾^d^z 8

1 ⁵₂ ₂³ ₂¹ (2 Pkte)

=



 



 ²⁷ + ⋅ ²⁵ + ²³ 3 2 5

2 2 7 2 8

1 z z z (3 Pkte)

C x

x

x +



 



 − ⁷² + − ²⁵ + (2 −1)²³ 3

) 2 1 2 5( ) 4 1 2 7( 2 8

1 (3 Pkte)