Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
4. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 15. November
Aufgabe 1: Minimierung vs. Maximierung 3 Punkte
Bei welchen der folgenden Probleme ¨andert sich die Komplexit¨at, wenn wir anstelle des vorge- stellten Minimierungsproblems das zugeh¨orige Maximierungsproblem betrachten? Warum?
(i) TRAVELING SALESPERSON PROBLEM auf ungerichteten GraphenG= (V, E)mit Kosten- funktionc:E →R.
(ii) K ¨URZESTER (s, t)–WEG PROBLEM auf dem gerichteten GraphenG = (V, A)mit Kosten- funktionc:E →R+.
(iii) MINIMAL AUFSPANNENDER BAUM,Gundcwie in (i).
Aufgabe 2: HITTING SET PROBLEM 4 Punkte
Betrachten Sie das HITTING SET PROBLEM: Gegeben eine Grundmenge S und Teilmengen T1, . . . , Tp ⊆ S dieser Grundmenge sowie eine nichtnegative Kostenfunktion cs f¨ur jedes Ele- ments ∈ S. Bestimmen Sie eine kostenminimale TeilmengeA ⊆ S, so daßA∩Ti 6= ∅f¨ur alle i= 1, . . . , p(d.h.Atrifft jedesTi).
Das Problem verallgemeinert viele bekannte kombinatorische Optimierungsprobleme, ist jedoch N P–vollst¨andig. Formulieren Sie die nachfolgend genannten Probleme als HITTING SET PRO-
BLEM. ¨Uberlegen Sie sich insbesondere, wie die TeilmengenTidefiniert sind.
(i) MINIMAL AUFSPANNENDER BAUM auf einem GraphenG= (V, E)mit positiver Kanten- bewertungd:E →R+.
(ii) K ¨URZESTER–(s, t)–WEG PROBLEM auf einem ungerichteten Graphen G = (V, E) mit positiver Kantenbewertungd:E →R+unds, t∈V.
Aufgabe 3: B¨aume 4 Punkte
Ein Baum ist ein zusammenh¨angender und kreisfreier GraphG= (V, E). Zeigen Sie die ¨Aquiva- lenz der folgenden Aussagen.
(i) Gist ein Baum.
(ii) Gist zusammenh¨angend und hatn−1viele Kanten.
(iii) Gist kreisfrei und hatn−1viele Kanten.
(iv) Je zwei Knoten ausV sind durch genau einen Weg verbunden.
Aufgabe 4: Kruskals Algorithmus 2 Punkte
Zeigen Sie, daß sich Kruskals Algorithmus zur Berechnung eines kostenminimalen aufspannenden Baumes inO(mlogn)implementieren l¨aßt.
