Prof. Dr. R. Schrader SS 2004 Ch. Gießelbach
D. R¨abiger
6. ¨ Ubung zur Diskreten Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, 9./11. Juni
Aufgabe 1: Perfekte Matchings in bipartiten Graphen 5 Punkte Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. G heißt bipartit, falls sich die Knotenmenge in V = V1∪V˙ 2 partitionieren l¨aßt und ∀(v, w) ∈ E : v ∈ V1 ⇔ w ∈ V2 (d.h.
”innerhalb der beiden MengenV1undV2existieren keine Kanten“).
Ein MatchingM ⊆Eist eine Teilmenge der Kanten, so daß keine zwei Kanten ausM inzident zu demselben Knoten sind. Es heißt perfekt, wennM alle Knoten ¨uberdeckt. Seix∈RE ein Vektor, derM beschreibt undδ(v)die Menge der zu v ∈ V inzidenten Kanten. ¨Uberlegen Sie sich, daß f¨ur alle Matchings gilt:
xe ≥ 0 ∀e ∈E P
e∈δ(v)xe = 1 ∀v ∈V
(i) Was haben Permutationsmatrizen (s. ¨Ubungsblatt 5, Aufgabe 3) mit perfekten Matchings gemein?
(ii) Sei Gein bipartiter Graph undP die konvexe H¨ulle der Inzidenzvektoren eines perfekten Matchings. Zeigen Sie:
Jeder Vektorx∈RE, der die beiden obigen (Un)gleichungen erf¨ullt, ist auch inP enthalten.
Aufgabe 2: LP / IP 4 Punkte
Geben Sie Beispiele und Erl¨auterungen f¨ur Paare von
(LP) max{cx|Ax≤b, x ∈Rn+} (IP) max{cx|Ax≤b, x ∈Zn+} an, wobei
(i) das LP und IP beide unbeschr¨ankt sind,
(ii) das LP und IP beide ein endliches Optimum besitzen, (iii) das LP unbeschr¨ankt und das IP unzul¨assig ist,
(iv) das LP beschr¨ankt und das IP unzul¨assig ist.
Aufgabe 3: K¨urzeste–Wege Problem 4 Punkte
Gegeben einen Graphen G = (V, E), zwei Knotens, t ∈ V sowie eine Kostenfunktionc : E →
R+. Beschreiben Sie mittels eines Linearen Programms das Minimierungsproblem, inG einen k¨urzesten s, t–Pfad zu finden. Geben Sie dazu auch an, was die einzelnen Matrixeintr¨age Ihrer MatrixAbedeuten.
Bilden Sie anschließend das Duale Ihres LP und beschreiben Sie dessen Bedeutung.
