Sei G = (A ∪ B, E) ein bipartiter Graph ohne isolierte Knoten und <

8. Übungsblatt

Automatisches Zeichnen von Graphen

Prof. Dr. Jens M. Schmidt, Dr. Alexander Apke, Arne Heimendahl, David Könen und Robin Kühling.

Aufgabe 1: Zählen von Kreuzungen (10 Punkte)

Sei G = (A ∪ B, E) ein bipartiter Graph ohne isolierte Knoten und <

eine fixierte Totalordnung auf A. Zeigen Sie: Die Berechnung der Werte c

für alle geordneten Paare (u, v) ∈ B × B mit u 6= v ist in Gesamtzeit O(|B||E|) möglich.

Hinweis: Aus den vorherigen Übungen ist bekannt, dass eine lexikographische Sor- tierung der Kanten in Zeit O(|E|) berechnet werden kann, in der für jeden Knoten v ∈ B die Kanten vw ∈ E konsekutiv und in der Reihenfolge der Knoten w in <

auftreten. Wenn für alle v ∈ B die Adjazenzlisten L(v) derartig sortiert sind, wie lassen sich dann zwei solcher Adjazenzlisten L(u) und L(v) möglichst effizient zu einer gemeinsamen sortierten Liste verschmelzen, so dass dabei Kreuzungen gezählt werden?

Aufgabe 2: Kreuzungsminimierung (10 Punkte)

Wenden Sie zur Kreuzungsminimierung auf den unten angegebenen Graph jeweils (i) die Barycenter-Heuristik und

(ii) die Median-Heuristik

zunächst auf die mittlere und anschließend auf die untere Schicht an. Fixieren Sie dabei jeweils die Schicht, die oberhalb der betrachteten Schicht liegt.

1 2 3 4 5

6 7

11

8 9 10

13 12

Tie-Breaking bei der Barycenter-Heuristik: Wenn arith(v) = arith(w) von zwei Knoten v und w erfüllt wird, platzieren Sie denjenigen Knoten weiter links, der auch aktuell weiter links steht. Bei der Median-Heuristik gilt die Regel aus der Vorlesung. Isolierte Knoten sollen den Wert 0 bekommen.

Aufgabe 3: Barycenter-Heuristik im OGDF (Bearbeitungszeit: 2 Wochen, 10 Punkte)

Schreiben Sie ein Programm innerhalb des OGDF, das die Barycenter-Heuristik zur

Kreuzungsminimierung auf einem zufällig erzeugten Graphen mit 50 Knoten und 8

Schichten ausführt. Hierbei soll der Graph einmal von oben nach unten durchlaufen

und die Barycenter-Heuristik auf der betrachteten Schicht jeweils unter Fixierung der darüber liegenden Schicht angewendet werden. Lassen Sie sowohl vor als auch nach dem Anwenden der Heuristik eine Zeichnung des Graphen erstellen, um diese miteinander vergleichen zu können.

Benutzen Sie dazu die zum Download bereitgestellte Datei Uebung08.cpp, in der diese Graphgenerierung bereits implementiert ist. Die y-Koordinate eines Knotens ergibt sich aus der Schicht, die ihn enthält. Einem Knoten soll am Ende als x- Koordinate die Position innerhalb seiner Schicht nach Ausführung der Barycenter- Heuristik zugewiesen werden. Dazu soll diese Position für jeden Knoten im int-Wert layerIndex gespeichert werden.

Um ihre Methode an verschiedenen Beispielgraphen zu testen, können Sie anhand

der int-Werte nodes und layer die Anzahl der erzeugten Knoten und Schichten

variieren.