Automatisches Zeichnen von Graphen

11. Übungsblatt

Automatisches Zeichnen von Graphen

Prof. Dr. Jens M. Schmidt, Dr. Alexander Apke, Arne Heimendahl, David Könen und Robin Kühling.

Aufgabe 1: SPQR-Bäume (10 Punkte)

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Berechnen Sie den SPQR-Baum des abgebildeten 2-zusammenhängenden Graphen G. Wie viele sphärische Einbettungen und wie viele planare Einbettungen hat G?

Aufgabe 2: Planare Graphen (10 Punkte)

Sei G = (V, E ) ein schlichter planarer Graph mit n ≥ 2. Zeigen Sie, dass G min- destens zwei Knoten mit jeweils Grad höchstens 5 enthält.

Aufgabe 3: Planare Graphen II (10 Punkte)

Sei G = (V, E) eine planare Zeichnung eines schlichten zusammenhängenden Gra- phen mit n ≥ 3, all dessen Flächen Grad mindestens k haben, wobei 3 ≤ k ≤ m gilt. Zeigen sie, dass dann folgende Abschätzung gilt:

m ≤ k

k − 2 · (n − 2)

Aufgabe 4: Kuratowski vs. Wagner (10 Punkte)

Ein Graph H ist Minor eines Graphen G, wenn H aus einem Teilgraphen von G durch eine Folge von Kantenkontraktionen entsteht. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen für G äquivalent sind.

(i) G enthält einen Teilgraph H, der eine Unterteilung des K

oder des K

ist.

(ii) K

oder K

ist Minor von G.

Aufgabe 5: Chain Decompositions im OGDF (Abgabe bis 16. Januar, 10 Punkte) Schreiben Sie ein Programm innerhalb des OGDF, das für den bereitgestellten Graph christmastree.gml eine Chain Decomposition berechnet. Treffen sie an- hand dieser anschließend Aussagen darüber, ob der Graph 2-zusammenhängend bzw. 2-kantenzusammenhängend ist und schreiben Sie die Antwort in die angege- bene Textdatei. Abschließend soll eine Zeichnung des Graphen erzeugt werden, in der ggf. vorhandene cut-vertices bzw. Brücken dadurch kenntlich gemacht sind, dass sie lila eingefärbt sind.

Benutzen Sie zum Bearbeiten dieser Aufgabe die zum Download bereitgestellte

Datei Uebung11.cpp.