2-Zusammenhang mit Chain Decompositions

(1)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

2-Zusammenhang mit Chain Decompositions

Jens M. Schmidt

C4

C3

C₂

C₁

C5

v10

v₄ v1

v6

v₅ v9

v3

v₂

v7

v₈

(2)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

2-Kanten- und 2-Zusammenhang, Ohrendekompositionen

●

Chain Decompositions + 2-Zusammenhangstests

●

Starke Orientierungen, st-Orientierungen und -numberings (a.k.a. (1,1)-Orders)

●

Block-Cut Trees, 2-kontrahierbare Kanten

Überblick

(3)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

S  V ist ein Separator, falls G-S mehr Komponenten als G hat.

●

G ist k-zusammenhängend, falls n>k ist und jeder Separator Größe  k hat.

●

Knotenzusammenhang  (G) ist größte Zahl k, für die G k-zusammenhängend ist.

●

S  E heißt Schnitt, falls ein  A  V existiert mit  (A):={xy  E: x  A,y  A}=S (insbesondere ist G-S nicht zusammenhängend).

●

G ist k-kantenzusammenhängend, falls n>1 ist und jeder Schnitt Größe  k hat.

●

Kantenzusammenhang  (G) ist größte Zahl k, für die G k-kantenzshng. ist.

Für jeden Graph G mit n>1 gilt:  (G)   (G)   (G)  D (G) .

Knoten- und Kantenzusammenhang

 (G)=2

 (G)=3

 (G)=4 (Minimalgrad) D (G)=5 (Maximalgrad) Motivation:

●

Ausfallsichere Netzwerke

(PC- und Transportnetzwerke)

●

Struktur des Graphen

G

(4)

©

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Ziele:

●

Effiziente Erkennung von 2-Kanten- und 2-Zusammenhang

●

Weitere Charakterisierungen des 2-Zusammenhangs

●

Berechnung der 2-Zusammenhangskomponenten

Hilfreiche Implikation des Satzes von Menger [hier ohne Beweis]:

●

Graph G ist k-(kanten-)zusammenhängend <=> n>1 und G zwischen jeden zwei Knoten k intern knotendisjunkte (kantendisjunkte) Wege enthält.

2-Zusammenhang

2-zshng.?

2-kantenzshng.?

Brücke cut-vertex

nein nein nein

ja ja

nein ja

nein

(5)

©

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Ein Ohr eines Graphen G ist entweder ein Kreis P mit |V(G  P)|=1 oder ein Pfad, der G genau in seinen Endknoten schneidet (letzteres Ohr heißt offenes Ohr).

Ohrendekompositionen

G P

Ohr offenes Ohr

(6)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Eine (offene) Ohrendekomposition von G ist eine Folge G

₁

,G

₂

,...,G

_k

von Teilgraphen von G, so dass

●

G

₁

=: P

₁

ein Kreis ist

●

G

_k

= G ist, und für alle 0<i<k

●

G

_i+1

durch Hinzufügen eines (offenen) Ohres P

_i+1

zu G

_i

entsteht.

Ohrendekompositionen

offene Ohrendekomposition

(7)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Eine (offene) Ohrendekomposition von G ist eine Folge G

₁

,G

₂

,...,G

_k

von Teilgraphen von G, so dass

●

G

₁

=: P

₁

ein Kreis ist

●

G

_k

= G ist, und für alle 0<i<k

●

G

_i+1

durch Hinzufügen eines (offenen) Ohres P

_i+1

zu G

_i

entsteht.

Ohrendekompositionen

offene Ohrendekomposition

1

(8)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Eine (offene) Ohrendekomposition von G ist eine Folge G

₁

,G

₂

,...,G

_k

von Teilgraphen von G, so dass

●

G

₁

=: P

₁

ein Kreis ist

●

G

_k

= G ist, und für alle 0<i<k

●

G

_i+1

durch Hinzufügen eines (offenen) Ohres P

_i+1

zu G

_i

entsteht.

Ohrendekompositionen

offene Ohrendekomposition

1

(9)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Eine (offene) Ohrendekomposition von G ist eine Folge G

₁

,G

₂

,...,G

_k

von Teilgraphen von G, so dass

●

G

₁

=: P

₁

ein Kreis ist

●

G

_k

= G ist, und für alle 0<i<k

●

G

_i+1

durch Hinzufügen eines (offenen) Ohres P

_i+1

zu G

_i

entsteht.

Ohrendekompositionen

offene Ohrendekomposition

1

(10)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Eine (offene) Ohrendekomposition von G ist eine Folge G

₁

,G

₂

,...,G

_k

von Teilgraphen von G, so dass

●

G

₁

=: P

₁

ein Kreis ist

●

G

_k

= G ist, und für alle 0<i<k

●

G

_i+1

durch Hinzufügen eines (offenen) Ohres P

_i+1

zu G

_i

entsteht.

Ohrendekompositionen

offene Ohrendekomposition

1

(11)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem [Whitney'32]: Sei G schlicht.

●

G 2-zusammenhängend <=> G hat eine offene Ohrendekomposition

●

G 2-kantenzusammenhängend <=> G hat eine Ohrendekomposition Beweis (Kantenzusammenhang analog):

<=:

●

G

₁

ist Kreis und damit 2-zusammenhängend (Menger)

●

Hinzufügen eines offenen Ohres P

_i

erhält 2-Zusammenhang:

●

|V(G

_i

)|>2

●

G

_i

enthält keinen cut-vertex in P

_i

, da Restgraph zshngd. ist (wenn cut-vertex Endknoten ist, wegen 2-Zshng. von G

_i

)

●

G

_i

enthält keinen cut-vertex in G

_i-1

-P

_i

(warum?)

=>: jetzt algorithmisch mit Chain Decompositions

Ohrendekompositionen

P

i

G

i-1

G

i

Kreis G

₁

darf zusätzlich

gewählt werden

(12)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

2-Kanten- und 2-Zusammenhang, Ohrendekompositionen

●

Chain Decompositions + 2-Zusammenhangstests

●

Starke Orientierungen, st-Orientierungen und -numberings (a.k.a. (1,1)-Orders)

●

Block-Cut Trees, 2-kontrahierbare Kanten

Überblick

(13)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Algorithmus [Chain Decomposition] auf schlichtem zusammenhängendem Graph G:

●

Berechne DFS-Baum T von G (mit Wurzel r)

●

Konvention: Baumkanten zu r, Rückwartskanten von r weg orientiert

●

Für jede Rückwärtskante e sei C(e) der mit T geschlossene Fundamentalkreis

●

Markiere jede Kante als unbesucht

●

Für jeden Knoten v in aufsteigender DFI (depth first index)-Reihenfolge und jede unbesuchte Rückwärtskante e inzident zu v

●

Traversiere C(e) von e aus bis zur ersten besuchten Kante (und markiere besuchte Kanten)

●

Nenne traversierten Teilgraphen chain. Sei C

_i

die i-te so gefundene chain.

Chain Decompositions

v10

v4

v1

v6

v5

v₉ v₃

v2

v7

v₈

C4

C3

C₂

C₁

C5

v10

v4

v1

v6

v5

v₉ v₃

v2

v7

v₈

r

G

(14)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Nice facts:

●

Wenn C

₁

existiert (d.h. wenn eine Rückwartskante existiert), ist C

₁

ein Kreis.

●

Laufzeit: O(m)

●

Anzahl der chains ist?

Chain Decompositions

C4

C3

C₂

C₁

C5

v10

v₄ v1

v6

v₅ v9

v3

v₂

v7

v₈

(15)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Nice facts:

●

Wenn C

₁

existiert (d.h. wenn eine Rückwartskante existiert), ist C

₁

ein Kreis.

●

Laufzeit: O(m)

●

Anzahl der chains ist m-n+1, da jede Rückwärtskante genau 1 chain erzeugt.

(dies gilt auch für alle Ohrendekompositionen durch leichtes Abzählargument) Die Folge C := (C

₁

,C

₂

,...,C

_m-n+1

) heißt chain decomposition von G.

Chain Decompositions

C4

C3

C₂

C₁

C5

v10

v₄ v1

v6

v₅ v9

v3

v₂

v7

v₈

(16)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Lemma: Kante e ist Brücke <=> e ist nicht in einer chain von C enthalten Beweis:

=>:

●

Annahme: Sei e in C

_i

und sei b die Rückwartskante in C

_i

●

Dann ist e im Kreis C(b) enthalten. da Kreise keine Brücken enthalten können

<=:

●

e ist Baumkante, da jede Rückwärtskante in einer chain ist.

●

Sei x der Endknoten von e mit größter Distanz zu r in T (also x  r) und sei T(x) der Teilbaum von T mit Wurzel x.

●

Es gibt keine Rückwärtskante mit genau einem Endknoten in T(x), sonst wäre e in einer chain.

=> e trennt r von x

=> e ist Brücke Daraus folgt sofort:

Korollar [S. 2013]: G ist 2-kantenzshngd. => C ist Ohrendekomposition Theorem [S. 2013]: G ist 2-kantenzshngd. <=> C partitioniert E

2-Zusammenhangstests

T(x) e

x

leicht zu testen in Zeit O(m)!

(17)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Lemma: Sei  (G)  2. Dann ist v ein cut-vertex <=> v ist Endknoten einer Brücke oder erster Knoten eines Kreises in C-{C

₁

}.

Korollar [S. 2013]:

G ist 2-zshngd. <=> C partitioniert E, und C

₁

ist der einzige Kreis in C.

2-Zusammenhangstests

leicht zu testen in Zeit O(m) notwendig, da   

C4

C3

C₂

C₁

C5

v10

v4

v1

v6

v5

v9

v3

v2

v7

v8

Brücke, da nicht in chain

cut-vertices, da erste Knoten einer Kreis-chain  C

₁

Ergibt 2-Kanten- und 2-Zusammen- hangstest in Zeit O(m).

Falls G 2-kantenzshngd.: Chain Decom- position ist Ohrendekomposition.

Falls G 2-zshngd.: Chain Decomposition

ist offene Ohren-dekomposition.

(18)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

2-Kanten- und 2-Zusammenhang, Ohrendekompositionen

●

Chain Decompositions + 2-Zusammenhangstests

●

Starke Orientierungen, st-Orientierungen und -numberings (a.k.a. (1,1)-Orders)

●

Block-Cut Trees, 2-kontrahierbare Kanten

Überblick

(19)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

Eine Orientierung eines ungerichteten Graphen ersetzt jede Kante durch eine gerichtete.

●

Starke Orientierung = Orientierung, die stark zusammenhängend ist

(d.h. jeder Knoten ist von jedem anderen über gerichteten Pfad erreichbar).

Theorem [Robbins '39]: Für zusammenhängende Multigraphen G mit n>1 gilt:

G 2-kantenzusammenhängend <=> G hat eine starke Orientierung Beweis: <=: G kann nach obigem Argument keine Brücke enthalten

=>: n=2: G enthält mindestens 2 Parallelkanten 

●

n>2: G hat Ohrendekomposition

●

Orientiere G

₁

zu gerichtetem Kreis

●

Füge jedes Ohr als gerichteten Pfad hinzu (Richtung beliebig)

●

Damit erreicht jeder neue Knoten jeden alten und umgekehrt

Starke Orientierungen können also in Zeit O(m) berechnet werden (falls existent).

Starke Orientierungen

mit Brücke keine starke Orientierung möglich Wann ist Städteplanung mit

Einbahnstraßen möglich, so

dass man „zurückkommt“?

(20)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

Eine st-Orientierung / bipolare Orientierung für st  E ist eine azyklische

Orientierung mit genau einer Quelle s (Knoten mit Eingangsgrad 0) und genau einer Senke t (Knoten mit Ausgangsgrad 0).

●

Ein st-numbering / (1,1)-order für st  E ist eine Totalordnung 1,...,n der Knoten mit s=1 und t=n, so dass jeder Knoten v  {s,t} einen Nachbarn mit kleinerer Nummer und einen mit größerer Nummer hat.

Analoge Varianten für Kantenzusammenhang existieren

[2017 Schlipf-S. - Edge-Orders] [2019 Schlipf-S. - st-edge-numberings from ear d.].

st-Orientierungen und -numberings

st-Orientierung

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

3

t

st-numbering

3

1 2 4 5

n

Softwaredemo Pigale:

[2Connected.tgf]

(21)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

●

=>: Orientiere alle Kanten in Zeit O(m) zu ihrem jeweils höheren Endknoten.

●

<=: ?

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

3

t

3

1 2 4 5

n

st-Orientierung st-numbering

(22)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

●

=>: Orientiere alle Kanten in Zeit O(m) zu ihrem jeweils höheren Endknoten.

●

<=: Topologische Sortierung in Zeit O(m).

●

<=: Menger-Argument zwischen jeden zwei Knoten v < w:

●

Sei K der Kreis, der aus w, den Pfaden der iterativ jeweils größeren und kleineren Nachbarn von w, und der Kante 1n besteht.

●

Falls v in K ist, enthält K die Mengerpfade zwischen v und w.

●

Andernfalls schließen die zwei Pfade der iterativ größeren und kleineren Nachbarn von v, die an K enden, einen Kreis.

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

3

t

3

1 2 4 5

n

st-Orientierung st-numbering

(23)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

=>: Algorithmisch [nach Brandes 2002] Existenzbeweis ist einfacher → Übung

●

Berechne chain decomposition mit r:=s und t als (eindeutigem) Kind von r in T.

●

Verwalte spezielles st-numbering < für die Vereinigung G

_i

der ersten i Ohren.

●

Repräsentiere Kanten ab mit a < b durch Orientierung a→b spätere st-Orientierung

●

Für G

₁

=C

₁

=s,a,b,...,t, initialisiere mit s<t und s<a<b<...<t.

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

₃

t

(24)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

=>: Algorithmisch [nach Brandes 2002] Existenzbeweis ist einfacher → Übung

●

Berechne chain decomposition mit r:=s und t als (eindeutigem) Kind von r in T.

●

Verwalte spezielles st-numbering < für die Vereinigung G

_i

der ersten i Ohren.

●

Repräsentiere Kanten ab mit a < b durch Orientierung a→b spätere st-Orientierung

●

Für G

₁

=C

₁

=s,a,b,...,t, initialisiere mit s<t und s<a<b<...<t.

●

P

_i+1

=nächste chain mit Endknoten v und u, u  T

_i

(v); w=Kind von v mit u  T

_i

(w).

●

Falls v→w, orientiere P

_i+1

von v nach u & füge innere Knoten vor u in < ein.

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

₃

t

s<v

₃

<t

(25)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

=>: Algorithmisch [nach Brandes 2002] Existenzbeweis ist einfacher → Übung

●

Berechne chain decomposition mit r:=s und t als (eindeutigem) Kind von r in T.

●

Verwalte spezielles st-numbering < für die Vereinigung G

_i

der ersten i Ohren.

●

Repräsentiere Kanten ab mit a < b durch Orientierung a→b spätere st-Orientierung

●

Für G

₁

=C

₁

=s,a,b,...,t, initialisiere mit s<t und s<a<b<...<t.

●

P

_i+1

=nächste chain mit Endknoten v und u, u  T

_i

(v); w=Kind von v mit u  T

_i

(w).

●

Falls v→w, orientiere P

_i+1

von v nach u & füge innere Knoten vor u in < ein.

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

₃

t

s<v

₃

<t

s<v

₄

<v

₃

<t

(26)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

=>: Algorithmisch [nach Brandes 2002] Existenzbeweis ist einfacher → Übung

●

Berechne chain decomposition mit r:=s und t als (eindeutigem) Kind von r in T.

●

Verwalte spezielles st-numbering < für die Vereinigung G

_i

der ersten i Ohren.

●

Repräsentiere Kanten ab mit a < b durch Orientierung a→b spätere st-Orientierung

●

Für G

₁

=C

₁

=s,a,b,...,t, initialisiere mit s<t und s<a<b<...<t.

●

P

_i+1

=nächste chain mit Endknoten v und u, u  T

_i

(v); w=Kind von v mit u  T

_i

(w).

●

Falls v→w, orientiere P

_i+1

von v nach u & füge innere Knoten vor u in < ein.

●

Falls v←w, orientiere P

_i+1

von u nach v & füge innere Knoten nach u in < ein.

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

₃

t

s<v

₃

<t

s<v

₄

<v

₃

<t

s<v

₄

<v

₅

<v

₃

<t

(27)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

=>: Algorithmisch [nach Brandes 2002] Existenzbeweis ist einfacher → Übung

●

Berechne chain decomposition mit r:=s und t als (eindeutigem) Kind von r in T.

●

Verwalte spezielles st-numbering < für die Vereinigung G

_i

der ersten i Ohren.

●

Repräsentiere Kanten ab mit a < b durch Orientierung a→b spätere st-Orientierung

●

Für G

₁

=C

₁

=s,a,b,...,t, initialisiere mit s<t und s<a<b<...<t.

●

P

_i+1

=nächste chain mit Endknoten v und u, u  T

_i

(v); w=Kind von v mit u  T

_i

(w).

●

Falls v→w, orientiere P

_i+1

von v nach u & füge innere Knoten vor u in < ein.

●

Falls v←w, orientiere P

_i+1

von u nach v & füge innere Knoten nach u in < ein.

st-Orientierungen und -numberings

s<v

₃

<t s<v

₄

<v

₃

<t s<v

₄

<v

₅

<v

₃

<t s<v

₄

<v

₅

<v

₆

<v

₃

<t

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

₃

t

2

1

3 4 5

n

(28)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Beweis:

●

Invariante: < ist st-numbering von G

_i

, so dass für jede Vater-Kind-Kante vw in T

_i

und jeden Knoten x in T

_i

(w) (des Teilgraphen) gilt:

●

v < w impliziert v < x (alle Knoten in T

_i

(w) sind größer als v)

●

v > w impliziert v > x (alle Knoten in T

_i

(w) sind kleiner als v)

●

Für G

₁

erfüllt.

●

Sei v Startknoten von P

_i+1

. Invariante für G

_i+1

ist erfüllt für:

●

vw und dessen Vorgängerbaumkanten

(da v < u und innere Knoten von P

_i+1

nahe u in <),

●

alle Baumkanten in P

_i+1

(nach Orientierung), und

●

alle weiteren Baumkanten.

●

Laufzeit: O(m).

st-Orientierungen und -numberings

v

₄

s

v

₅

v

₆

v

₃

t

Ti(w)

v

w

u

(29)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Sei P

₁

,...,P

_k

Ohrendekomposition und p

_i

und q

_i

Endknoten des Ohres P

_i

(beliebig gewählt), so dass p

₁

=s, st  P

₁

, q

₁

=  . p

_i

heißt Repräsentant von P

_i

(gepunktet)

●

Ein innerer Knoten v von P

_i

sei abhängig vom Repräsentanten p

_i

, von sich selbst und zusätzlich (rekursiv) von jedem Knoten, von dem p

_i

abhängig ist.

Hierbei gelten alle Knoten von P

₁

als innere Knoten von P

₁

.

●

Gewicht w(v) eines Knotens v ist die Anzahl aller von v abhängigen Knoten.

●

Berechnung von letztem zum ersten Ohr in Zeit O(m)

Easy st-Numberings

3

4 1

2

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

(30)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Sei P

₁

,...,P

_k

Ohrendekomposition und p

_i

und q

_i

Endknoten des Ohres P

_i

(beliebig gewählt), so dass p

₁

=s, st  P

₁

, q

₁

=  . p

_i

heißt Repräsentant von P

_i

(gepunktet)

●

Ein innerer Knoten v von P

_i

sei abhängig vom Repräsentanten p

_i

, von sich selbst und zusätzlich (rekursiv) von jedem Knoten, von dem p

_i

abhängig ist.

Hierbei gelten alle Knoten von P

₁

als innere Knoten von P

₁

.

●

Gewicht w(v) eines Knotens v ist die Anzahl aller von v abhängigen Knoten.

●

Berechnung von letztem zum ersten Ohr in Zeit O(m)

Easy st-Numberings

3

4 1

2

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1

(31)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Sei P

₁

,...,P

_k

Ohrendekomposition und p

_i

und q

_i

Endknoten des Ohres P

_i

(beliebig gewählt), so dass p

₁

=s, st  P

₁

, q

₁

=  . p

_i

heißt Repräsentant von P

_i

(gepunktet)

●

Ein innerer Knoten v von P

_i

sei abhängig vom Repräsentanten p

_i

, von sich selbst und zusätzlich (rekursiv) von jedem Knoten, von dem p

_i

abhängig ist.

Hierbei gelten alle Knoten von P

₁

als innere Knoten von P

₁

.

●

Gewicht w(v) eines Knotens v ist die Anzahl aller von v abhängigen Knoten.

●

Berechnung von letztem zum ersten Ohr in Zeit O(m)

Easy st-Numberings

3

4 1

2

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1 2

(32)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Sei P

₁

,...,P

_k

Ohrendekomposition und p

_i

und q

_i

Endknoten des Ohres P

_i

(beliebig gewählt), so dass p

₁

=s, st  P

₁

, q

₁

=  . p

_i

heißt Repräsentant von P

_i

(gepunktet)

●

Ein innerer Knoten v von P

_i

sei abhängig vom Repräsentanten p

_i

, von sich selbst und zusätzlich (rekursiv) von jedem Knoten, von dem p

_i

abhängig ist.

Hierbei gelten alle Knoten von P

₁

als innere Knoten von P

₁

.

●

Gewicht w(v) eines Knotens v ist die Anzahl aller von v abhängigen Knoten.

●

Berechnung von letztem zum ersten Ohr in Zeit O(m)

Easy st-Numberings

3

4 1

2

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1 2

1

3

(33)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Sei P

₁

,...,P

_k

Ohrendekomposition und p

_i

und q

_i

Endknoten des Ohres P

_i

(beliebig gewählt), so dass p

₁

=s, st  P

₁

, q

₁

=  . p

_i

heißt Repräsentant von P

_i

(gepunktet)

●

Ein innerer Knoten v von P

_i

sei abhängig vom Repräsentanten p

_i

, von sich selbst und zusätzlich (rekursiv) von jedem Knoten, von dem p

_i

abhängig ist.

Hierbei gelten alle Knoten von P

₁

als innere Knoten von P

₁

.

●

Gewicht w(v) eines Knotens v ist die Anzahl aller von v abhängigen Knoten.

●

Berechnung von letztem zum ersten Ohr in Zeit O(m)

Easy st-Numberings

3

4 2 1

v

4

s

v

₅

v

₆

t

v

2

1 2

1

1 3 6

(34)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1 2

1

3

6

(35)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1 2

1 1 3

6

_[1,6]

(36)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

₄

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1 2

1 1 3 6

[4,6]

[1,6]

(37)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

●

Aktualisiere Intervall I[p

_i

] von p

_i

auf die verbleibenden Werte.

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

4

s

v

₅

v

₆

t

v

₂

1 2

1 1 3 6

[3,3]

[4,6]

[1,6]

(38)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

●

Aktualisiere Intervall I[p

_i

] von p

_i

auf die verbleibenden Werte.

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

4

s

v

₅

v

₆

t

v

2

1 2

1 1 3

6

_[1,2]

[3,3]

[4,6]

(39)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

●

kleinsten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]>I[q

_i

].

●

Aktualisiere Intervall I[p

_i

] von p

_i

auf die verbleibenden Werte.

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

4

s

v

₅

v

₆

t

v

2

1 2

1 1 3 6

[3,3]

[4,6]

[2,2]

[1,1]

(40)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

●

kleinsten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]>I[q

_i

].

●

Aktualisiere Intervall I[p

_i

] von p

_i

auf die verbleibenden Werte.

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

4

s

v

₅

v

₆

t

v

2

1 2

1 1 3 6

[3,3]

[6,6]

[2,2]

[1,1]

[4,5]

(41)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

●

kleinsten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]>I[q

_i

].

●

Aktualisiere Intervall I[p

_i

] von p

_i

auf die verbleibenden Werte.

Easy st-Numberings

3 4 2 1

v

4

s

v

₅

v

₆

t

v

2

1 2

1 1 3 6

[3,3]

[6,6]

[2,2]

[1,1]

[4,4]

[5,5]

(42)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: G 2-zshngd. <=> G hat ein st-numbering <=> G hat eine st-Orientierung.

Alternativer Beweis:

=>: Mit neuem einfachen Algorithmus [Schlipf-S. 2019]:

●

Idee: Gewicht eines Knotens schafft genügend Platz für seine finale st-Nummer.

●

Intervall I(p

₁

) := [1,n]. Schiebe dieses von Repräsentanten auf innere Knoten.

●

Für i:=1 bis k, partitioniere I[p

_i

] in Intervalle, für jeden Knoten von P

_i

-q

_i

eins:

Intervalle bleiben immer konsekutiv und dadurch vergleichbar mit <.

●

Traversiere die inneren Knoten von P

_i

von q

_i

nach p

_i

(exklusive p

_i

und q

_i

).

●

Der jeweils nächste Knoten v erhält die w(v) verbleibenden

●

größten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]<I[q

_i

] oder i=1

●

kleinsten Nummern in I[p

_i

], falls I[p

_i

]>I[q

_i

].

●

Aktualisiere Intervall I[p

_i

] von p

_i

auf die verbleibenden Werte.

→ st-Numbering in Zeit O(m)

Aus jeder Ohrendekomposition berechenbar (bisherige Ansätze

funktionierten nur für spezielle, von DFS-Bäumen abhängige Ohrendekomp.).

Easy st-Numberings

2

1

4 5 6

3

(43)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

2-Kanten- und 2-Zusammenhang, Ohrendekompositionen

●

Chain Decompositions + 2-Zusammenhangstests

●

Starke Orientierungen, st-Orientierungen und -numberings (a.k.a. (1,1)-Orders)

●

Block-Cut Trees, 2-kontrahierbare Kanten

Überblick

(44)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Motivation:

●

In vielen Problemen zieht man sich auf 1-, 2- oder 3-Zusammenhangs- komponenten zurück (für k=2 heißen diese Blöcke), z.B. für

●

Planaritätstests, Einbettungsprobleme und Graph Drawing,

●

Färbungsprobleme,

●

Nowhere-Zero Flows,

●

...

●

Struktureller Erkenntnisgewinn in Graphen, z.B. über

●

„Gut vernetzte“ Gebiete

●

Potentielle Angriffsstellen

Block-Cut Trees

(45)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Sei G schlicht. Ein Block ist ein zshngd. Graph ohne cut-vertex (d.h. entweder 2- zusammenhängend oder eine Kante oder ein Knoten).

Ein Block von G ist ein inklusionsmaximaler Teilgraph von G, der ein Block ist.

Lemma 1: Jede zwei Blöcke von G schneiden sich in höchstens einem Knoten.

Beweis:

●

Angenommen Blöcke A und B≠A schneiden sich in mindestens zwei Knoten.

●

Falls V(A)=V(B), sind A und B wegen Inklusionsmaximalität nicht verschieden.

=> |V(A)|>2<|V(B)| und es existiert ein Knoten a  V(A)-V(B).

●

Nach Satz von Menger existieren zwei intern

knotendisjunkte Pfade von a zu Knoten aus B in A-E(B).

●

Deren Vereinigung ist offenes Ohr für B; zur Maximalität.

Lemma 2: Jede zwei Blöcke von G sind kantendisjunkt.

Beweis: Jede Kante ist in einem Block enthalten => Folgerung aus Lemma 1.

Lemma 3: Jeder Kreis von G ist in einem Block enthalten.

Beweis: Kreise sind 2-zusammenhängend.

Block-Cut Trees

A B

v w

a b

(46)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

M = Menge der Blöcke von G

C = Menge der cut-vertices von G

Ein Block-Cut Tree ist der bipartite Graph mit Knotenmenge M  C und Kanten zwischen B  M und c  C falls c  B.

Block-Cut Trees

Block-Cut Tree von G

G

(47)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Theorem: Der Block-Cut Tree eines zusammenhängenden Graphen ist ein Baum:

Beweis:

●

Ein Kreis hätte Länge  4 und enthält deswegen 2 cut-vertices v und w.

=> Ein Block ist nicht maximal, da ein offenes Ohr existiert, das v und w enthält.

Berechnung mit chain decompositions in O(n+m). siehe vor. Übung

Block-Cut Trees

(48)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

Sei G/e der Graph, der aus G durch Kontrahieren der Kante e entsteht (entstehende Parallelkanten werden zu einer gebündelt).

e heißt k-kontrahierbar, wenn G/e k-zusammenhängend ist

Enthält jeder k-zusammenhängende Graph G  K

_k+1

eine k-kontrahierbare Kante?

k=1: ja (jede Kante ist 1-kontrahierbar)

k=2: ja (es hat sogar jeder Knoten eine solche inzidente Kante; siehe Übung) k=3: ja

k  4: nein!

Beweis für k=2:

●

Sei P

_i

das letzte Ohr einer Ohrendekomposition, das keine Kante ist (existiert).

●

Dann ist jede Kante e  P

_i

2-kontrahierbar:

●

Wenn i=1 ist, ist P

_i

ein Kreis  K

₃



●

Sonst ist G

_i-1

2-zusammenhängend und damit auch der aufspannende Teilgraph G

_i-1

( P

_i

/e ) von G/e.

2-Kontrahierbare Kanten

(49)

©

16.09.20 Jens M. Schmidt

●

Seit den 1970ern sind verschiedene Linearzeitalgorithmen für obige Probleme bekannt (Tarjan, Even, Harary, Gabow, Tsin, …)

●

Chain Decompositions vereinfachen und vereinen diese

●

… und sind Schlüsselkonzept für analoge (kompliziertere) Strukturen für 3-Kantenzusammenhang [2017 Mehlhorn, Neumann, S.] und

3-Zusammenhang [2016 S. - Mondshein Sequences].

Algorithmus berechnet... Laufzeit Methode

--- 2-Kantenzusammenhangstest + alle Brücken O(n+m) chain decomposition

2-Zusammenhangstest + alle cut-vertices O(n+m) chain decomposition Offene Ohrendekomposition, falls 2-zshngd. O(n+m) chain ist offenes Ohr Ohrendekomposition, falls 2-kantenzshngd. O(n+m) chain ist Ohr

Starke Orientierung, falls 2-kantenzshngd. O(n+m) orientiere chains beliebig st-Orientierung, falls 2-zshngd. O(n+m) orientiere chains

st-numbering, falls 2-zshngd. O(n+m) topologische Sortierung Blöcke + Block-Cut Tree O(n+m) bei Erstellung der chain d.

2-kontrahierbare Kante, falls 2-zshngd. und  K

₃