5. Übungsblatt
Automatisches Zeichnen von Graphen
Prof. Dr. Jens M. Schmidt, Dr. Alexander Apke, Arne Heimendahl, David Könen und Robin Kühling.
Aufgabe 1: Automorphismen (10 Punkte)
Seiπein Automorphismus eines ungerichteten GraphenG= (V, E) und seienv, w∈ V(G). Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Die Knoten v und π(v) haben den gleichen Grad.
(ii) Gund dessen KomplementgraphG haben die gleichen Automorphismengrup- pen.
Sei Sn die symmetrische Gruppe, die aus der Menge aller Permutationen einer n- elementigen Menge und der Hintereinanderausführung besteht.
(iii) Zeigen Sie, dass Aut(G) =Sn für schliche GraphenG genau dann gilt, fallsG entweder derKn oder derKn ist.
(iv) Geben Sie zwei unendlich große Graphenklassen an, die verschieden von der KlasseKn der vollständigen Graphen sind, und folgende Eigenschaft erfüllen:
Für jede zwei Knotenv, w∈V(G) existiert ein Automorphismusπ von G, für den π(v) = w gilt.
Aufgabe 2: Zeichnen von Serien-Parallelen Graphen II (10 Punkte)
13
5
s 1
4 2
3 6 7
8
9 10
11 12
16 15 18 17
t
14
(i) Zeichnen Sie den abgebildeten serien-parallelen Graphen G mit dem aus der Vorlesung bekannten Zeichenalgorithmus auf einer kleinen Gitterfläche.
(ii) Zeigen Sie unter Verwendung des zweiten aus der Vorlesung bekannten Algo- rithmus, dass eine Zeichnung von G existiert, die den Automorphismus πvert darstellt.
(iii) Finden Sie händisch eine Zeichnung von G, die möglichst viele der Automor- phismen vonG darstellt.
Aufgabe 3: Azyklische Graphen (10 Punkte)
Aus der ersten Vorlesungswoche wissen Sie für jeden gerichteten Graphen G, dass aus der Azyklizität von G die Existenz einer topologische Sortierung folgt.
(i) Zeigen Sie, dass auch die Rückrichtung gilt.
(ii) Zeigen oder widerlegen Sie: Jeder schlichte ungerichtete Graph hat eine Ori- entierung (d.h. eine Richtungszuweisung für jede Kante), die azyklisch ist.
