Prof. Dr. R. Schrader SS 2004 Ch. Gießelbach
D. R¨abiger
9. ¨ Ubung zur Diskreten Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, 1./2. Juli
Aufgabe 1: Satz von K¨onig 4 Punkte
Gegeben einen ungerichteten Graphen G = (V, E), dann bezeichnen wir E0 ⊆ E als Matching, falls jeder Knoten ausV mit maximal einem e ∈ E0 inzidiert. Eine Knoten¨uberdeckungV0 ⊆ V ist eine Teilmenge der Knoten, so daß alle Kanten aus E mit mindestens einem Knoten aus V0 inzidieren.
Zeigen Sie unter Verwendung Ihrer Kenntnisse aus der Vorlesung den
Satz von K¨onig: Die maximale Kardinalit¨at eines Matchings in einem bipartiten Graphen ist gleich der minimalen Kardinalit¨at einer Knoten¨uberdeckung.
Aufgabe 2: Vollst¨andige Unimodularit¨at in Anwendungen 4 Punkte Betrachten Sie das folgende Problem, bei dem eine Maschine zu einem Zeitpunktt ∈ {1, . . . , T} ein– oder ausgeschaltet sein kann (yt = 1 oder yt = 0). Die Maschine sollte in Ruhephasen ausgeschaltet werden, um Kosten zu senken. Allerdings wurde die Fabrik von Mitarbeitern einer Versicherung begutachtet und nun will die Versicherung, daß die Maschine nicht zu oft eingeschal- tet wird und verlangt deswegen, daß die Maschine maximalk mal (t¨aglich) angeschaltet wird. Es gibt also eine zweite Variablezt = 1, falls die Maschine im Zeitpunkttangeschaltet wird,zt = 0 sonst. Die Nebenbedingungen sind wie folgt gegeben:
P
tzt ≤ k
zt−yt+yt−1 ≥ 0 ∀t≥2 zt ≤ yt ∀t
0 ≤ yt ∀t zt ≤ 1 ∀t
Zeigen Sie, daß die aus dem zugeh¨origen LP resultierende Matrix vollst¨andig unimodular ist.
Aufgabe 3: Kreuzungsfreie und laminare Mengensysteme 3 Punkte Ein Mengensystem ist eine Paar(U,F), wobeiU eine nichtleere endliche Menge undFeine Fami- lie von Teilmengen vonU ist.(U,F)heißt kreuzungsfrei, falls f¨ur jeweils zwei MengenX, Y ∈ F mindestens eine der vier MengenX \Y, Y \X, X ∩Y oder U \(X∪Y)leer ist.(U,F)heißt laminar, wenn f¨ur zwei MengenX, Y ∈ F mindestens eine der drei MengenX\Y, Y \X oder X∩Y leer ist.
(i) Betrachten SieU ={1, . . . ,9}sowieF ={{1,2,3,4},{2,3},{6,9},{7},{4,5,6,7,8,9}}. Ist(U,F)laminar oder kreuzungsfrei?
(ii) Zeigen Sie folgende Behauptung mit r ∈ U beliebig gew¨ahlt:(U,F)ist kreuzungsfrei ⇔ (U,F0)ist laminar f¨urF0 :={X ∈ F :r6∈X} ∪ {U\X :X ∈ F, r∈X}.
