Prof. Dr. R. Schrader SS 2004 Ch. Gießelbach
D. R¨abiger
10. ¨ Ubung zur Diskreten Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, 8./9. Juli
Aufgabe 1: Wurzelb¨aume 5 Punkte
SeiT = (V, A)ein gerichteter Baum undf :E →V eine Abbildung einer GrundmengeEauf die Knotenmenge. F¨ur jede Kantea = (u, v) ∈ AseiXadie Menge dere ∈ E mit der Eigenschaft, daß f(e) in der Zusammenhangskomponente vonv in T \ {a}liegt. Wir bezeichnen mit F das Paar(F, f) :={Xa:a∈A}.
Zeigen Sie Lemma 4.28 der Vorlesung:
(i) F ist kreuzungsfrei.
(ii) FallsT ein Wurzelbaum ist, so istF laminar.
Aufgabe 2: Netzwerkmatrizen 3 Punkte
A=
0 −1 −1 0 0 1 0 1 −1 0 0 0 1 −1 −1
(i) Zeigen Sie, daß die MatrixAeine Netzwerkmatrix ist, indem Sie beide definierende Graphen angeben.
(ii) K¨onnen Sie beweisen, daßAvollst¨andig unimodular ist, ohne auszunutzen, daßAeine Netz- werkmatrix ist?
Aufgabe 3: Netzwerkmatrizen 3 Punkte
Die folgende MatrixB ist vollst¨andig unimodular. Zeigen Sie, daßB keine Netzwerkmatrix ist.
B =
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
