Prof. Dr. R. Schrader SS 2004 Ch. Gießelbach
D. R¨abiger
7. ¨ Ubung zur Diskreten Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, 17./18. Juni
Aufgabe 1: Spezielle unimodulare Operationen 3 Punkte
Uberlegen Sie sich, wie sie die speziellen unimodularen Operationen¨
• Multiplikation einer Spalte mit−1
• Vertauschen zweier Spalten
• Subtraktion einer Spalte von einer anderen
auf eine MatrixAangewandt mittels Matrixmultiplikation durchf¨uhren k¨onnen.
Aufgabe 2: Unimodulare Matrizen 3 Punkte
Beweisen Sie das folgende Lemma aus der Vorlesung:
Jede unimodulare Matrix kann als Produkt von Speziellen Matrizen mit der Identit¨atsmatrix be- schrieben werden.
Aufgabe 3: Unimodulare Matrizen 2 Punkte
Lemma 4.8 der Vorlesung lautet:
F¨ur jede rationale Matrix A, deren Zeilen linear unabh¨angig sind, existiert eine unimodulare MatrixU, so daßAU = (B,0), wobeiB regul¨ar ist.
Wenden Sie das Lemma 4.8 auf die folgende MatrixAan:
14 141 64 −140 249 211 133 209 9 113 66 −112
Aufgabe 4: LP / IP 3 Punkte
Betrachten Sie das LP
max{cx:Ax ≤b, x ≥0}
und das zugeh¨orige IP
max{cx:Ax≤b, x∈N},
wobei die Eintr¨age inA, bundcaus positiven, nat¨urlichen Zahlen bestehen. SeixIP die optimale L¨osung des IP undxLP die des LP. Zeigen Sie:
(i) bxLPc(alle Eintr¨age abgerundet) ist eine zul¨assige L¨osung f¨ur IP.
(ii) Die L¨osungbxLPcist um h¨ochstensPn
i=1ci schlechter alsc·xIP.
