IWR – Universit¨at Heidelberg Prof. Dr. Guido Kanschat
Abgabe:7.12.2012
Ubung Nr. 7 ¨
zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Winter 2012/13 Aufgabe 7.1: (Bandmatrizen)
SeiA∈Rn×neine Bandmatrix der Bandbreitem < n, das heißt,aij= 0f¨ur|i−j|> m. Zeigen Sie folgende Behauptungen aus der Vorlesung:
(a) Wenn die LR-Zerlegung vonAohne Zeilenvertauschungen durchgef¨uhrt wird, sindLundRebenfalls Bandmatrizen der Bandbreitem.
(b) Der Aufwand zur Berechnung der LR-Zerlegung istO(nm2). Hinweis: Es ist nicht n¨otig, den Faktor1/3vornm2zu erzielen.
Aufgabe 7.2: (Zusatzaufgabe: Gerschgorin-Kreise I)
Gegeben eine MatrixA∈Rn×n, sei
Di=
z∈C
|z−aii| ≤X
k6=i
|aik|
.
Zeigen Sie, dass es zu jedem Eigenwertλmindestens einigibt, so dassλ∈Di.
Hinweis: Skalieren Sie einen Eigenvektorxzuλ, so dass f¨ur den Eintragximit maximalem Betrag gilt:|xi|= 1.
Aufgabe 7.3: (Gerschgorin-Kreise II)
Skizzieren Sie das Gebiet in der komplexen Ebene, in dem nach dem Satz aus der vorherigen Aufgabe die Eigenwerte der Matrix
12 1 0 2
−1 10 1 −1
2 −2 −3 2
0 0 0 4
liegen.
Aufgabe 7.4: (Stabilit¨at der Eigenwerte)
SeiAeine Familie vonn×n-Matrizen mit
A=
λ 1
. .. . .. . .. 1
λ
.
Die MatrixA0hat den einen Eigenwertλmit Vielfachheitn.
(a) Zeigen Sie f¨ur >0, dassAnverschiedene EW von der Gestalt λ,k=λ+√n
e2πikn hat, und damit|λ−λ,k|= √n
gilt. Hinweis: Berechenen Sie das charakterisitsche Polynom durch Laplace-Entwicklung nach der letzten Zeile.
(b) Welche Genauigkeit k¨onnen Sie bei der Berechnung der Eigenwerte der MatrixA0der Dimension8mit einer Maschi- nengenauigkeit von10−16bestenfalls erwarten?
Jede Aufgabe 4 Punkte.
