In der Basis der Funktionen f
1
;
2
g sei eine Hamiltonmatrix H=H
0
+W gegeben als:
H=
E
1 W
12
W
12 E
2
=
E
1 0
0 E
2
+
0 W
12
W
12 0
(1)
mit reellen Konstanten E
1 , E
2
und W
12 .
a) Berehne die Eigenwerte E
+
und E dieser Matrix. Wenn E
1
= E
2
, folgt daraus
auh E
+
=E ? Wann ist in realistishen Situationen mit E
+
=E zu rehnen? ,
Symmetrie,
Uberkreuzungsverbot (
"
nonrossing rule\).
b) Diskutiere die Ausdruke E
+
und E als Funktionen der Hilfsgroen
E
m
= 1
2 (E
1 +E
2
) ; =
1
2 (E
1 E
2
) (2)
und fertige eine Skizze von E
1 , E
2 , E
+
und E als Funktion von an.
) Die Berehnung der Eigenvektoren ist niht prinzipiell shwierig, aber umstandlih;
das Resultat ist:
+
= os
2
1 +sin
2
2
(3)
= sin
2
1 +os
2
2
(4)
wobei der Winkel deniert ist
uber:
tan= 2W
12
E
1 E
2
(5)
Betrahte den Einu der
"
Kopplung\ W
12
auf die Eigenwerte und Eigenfunktionen
in den beiden Grenzfallen jj jW
12
j (Hinweis: verwende Reihenentwiklungen in
jW
12
=j) und jjjW
12
j (beahte: wenn W
12
6=0, ist letzteres auh bei E
2
=E
1
der Fall). Bestatige insbesondere folgende Aussagen:
1. Durh die Kopplung entfernen sih die Eigenwerte voneinander.
2. Der Eekt der Kopplung ist viel wihtiger, wenn die ungestorten Eigenwerte
gleih sind.
3. Bei shwaher Kopplung sind die gestorten Eigenzustande den ungestorten sehr
ahnlih; bei starker Kopplung werden sie durh Beimishung des jeweils anderen
a) H
0
ist die ungestorte Hamiltonmatrix, die die Beziehungen
^
H
0 j
1
>= E
1 j
1
> und
^
H
0 j
2
>= E
1 j
2
> (6)
erfullt. W ist die Storungs- oder Kopplungsmatrix. Die Eigenwerte ergeben sih
dadurh, dass die Sakulardeterminante vershwindet:
E
1
E W
12
W
12 E
2 E
= 0 (7)
(E
1
E)(E
2
E) W 2
12
= 0 (8)
E
= 1
2
(E
1 +E
2 )
q
(E
1 E
2 )
2
+4W 2
12
(9)
Wenn der Ausdruk unter der Wurzel vershwindet, ist E
+
=E :
(E
1 E
2 )
2
+4W 2
12
=0 und somit E
1
=E
2
und W
12
=0 (10)
E
1
= E
2
ist damit eine notwendige, aber keine hinreihende Voraussetzung fur
E
+
= E . Letzteres ist erst dann der Fall, wenn gleihzeitig W
12
= 0 eintritt.
Dies ist in der Regel jedoh nur durh Symmetrie moglih: Zustande vershiedener
Symmetrie konnen sih kreuzen (weil dann das Integral W
12
= h
1 j
^
Hj
2 i i.A.
vershwindet), Zustande gleiher Symmetrie konnen sih niht kreuzen (weil dann
in der Regel W
12
6=0 ist).
b) Wenn man E
+
und E wie folgt umshreibt
E
+
=E
m +
q
2
+W 2
12
und E =E
m q
2
+W 2
12
(11)
und gegen die Energie auftragt, erhalt man folgendes Shaubild:
1 2
jE
+
E j = j q
(E
1 E
2 )
2
+4W 2
12
j (12)
> jE
1 E
2
j wegen W 2
12
>0 (13)
Daraus folgt Behauptung 1.
2) Fur jj jW
12
j kann man mit Hilfe der Standardtaylorreihe p
1+x =1+x=2
x 2
=8 shreiben:
E
=E
m
1+ 1
2 W
2
12
2
+
(14)
In diesem Ausdruk tauht die Kopplung in 2. Ordnung auf.
Fur =0,E
1
=E
2
ist jedoh
E
=E
m W
12
(15)
Hier geht die Kopplung in 1. Ordnung ein, ist also erheblih wihtiger (unabhangig
von der Groe von W
12
selber). Das ist Behauptung 2.
3) Mit tan=W
12
= gilt:
bei W
12
: =2 (16)
bei W
12
: 0 (17)
Bei W
12
geht also !0. Dann konnen wir aufgrund der Standardtaylorreihen
osx= 1 x 2
=2! und sinx = x x 3
=3! die Naherungen os=2 1 und
sin=2=2=W
12
=(2) mahen und damit shreiben:
+
1 +
W
12
2
2
(18)
2 W
12
2
1
(19)
Da nah wie vor W
12
angenommen wird, sind die Zustande
+ bzw.
sehr
ahnlih den ungestorten Funktionen
1
bzw.
2
(im Grenzfall !1 sogar
identish).
Bei =0 geht dagagen !=2 und mithin sin=2=sin=4=os=2=os=4=
1=
p
2, also gilt:
+
= 1
p
2 (
1 +
2
) (20)
= 1
p
2 (
1 +
2
) (21)
Im Vergleih zu den ungestorten Funktionen
1
und
2
sind die Zustande
+ und
hier also stark (sogar maximal) gestort.
