Ubung Nr. 8 ¨

IWR – Universit¨at Heidelberg Prof. Dr. Guido Kanschat

Abgabe:12.6.2013

Ubung Nr. 8 ¨

zur Vorlesung Numerik I, Sommer 2013 Aufgabe 8.1:

Man bestimme das Stabilit¨atsintervall der expliziten Mittelpunktsregel

uk−u_k−2= 2hf_k−1, und der folgenden expliziten Mehrschrittformel:

u_k−u_k−2= 1

2h(f_k−1+ 3f_n−2).

Aufgabe 8.2:

Wir haben die folgende lineare Mehrschrittmethode vorliegen uk+α(u_k−1−u_k−2)−u_k−3=1

2(3 +α)h(f_k−1+f_k−2). Dabei istαein beliebiger Parameter ausR.

(a) Zeigen Sie, dass die Methode nullstabil ist f¨urα∈(−3,1)!

(b) Welche Konsistenzordnung besitzt das Verfahren f¨urα∈(−3,1)? Ist eine h¨ohere Konsistenzordnung ¨uberhaupt m¨oglich?

Aufgabe 8.3:

Zu l¨osen sei die AWAu⁰=f(t, u)mitu(0) =u0mit einer LMM. Sie benutzen das Verfahren u_k+ 4u_k−1−5u_k−2=h(2f_k+f_k−1).

Wir nehmen ganz Abstrakt an, dass das Verfahren so geartet ist, dass bei Startwertenu₀undu₁und Schrittweiteh= 1/ngilt u_n=u(1), das Verfahren also die exakte L¨osung der Gleichung am Punktt= 1reproduziert.

(a) Zeigen Sie, dass die Folge

u_k=a(−5)^k+b, a = ¹₆(₀−₁)

b = ¹₆(5₀+₁) , f¨urk≥0

die Rekursionu_k+ 4u_k−1−5u_k−2= 0mit Startwertenu₀=₀,u₁=₁und der rechten Seitef(t, u)≡0erf¨ullt.

(b) Zeigen Sie, dass eine St¨orung der Startwerteu₀undu₁um₀und₁in der Regel dazu f¨uhrt, dass f¨urh→0die L¨osung der gest¨orten Gleichung nicht mehr gegenu(1)konvergiert.

Jede Aufgabe 5 Punkte.