Universit¨ at Heidelberg

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Physikalisches Praktikum f¨ ur Pharmazeuten

Inhalt

Vorbemerkung . . . . 2

Vorbereitung . . . . 2

Durchf¨ uhrung der Versuche . . . . 3

Messgenauigkeit und Fehlerabsch¨ atzung . . . . 4

. . . . 11 Einf¨ uhrungsversuch . . . . 7

27 Wheaston’sche Br¨ ucke . . . . 15

243 RC-Glied . . . . 17

31 Optische Abbildung . . . . 29

34 Spektralphotometrie . . . . 39

254 Absorption und Dosimetrie von R¨ ontgenstrahlen . . . . 47

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Praktikumsvorbereitung

I Vorbemerkung

Dieses Praktikum verfolgt haupts¨ achlich drei Ziele:

1. Sie lernen den Umgang mit physikalischen Messger¨ aten und Messappara- turen.

2. Kenntnisse, die Sie bereits erworben haben (oder noch erwerben werden) sollen durch die ¨ Uberpr¨ ufung im Experiment gesichert werden.

3. Das F¨ uhren eines Protokolls.

Zu diesem Zweck enth¨ alt das Praktikum Versuche mit ¨ uberschaubarer Theo- rie und einfachen Messapparaturen, deren Funktionsweise leicht einzusehen ist.

Nat¨ urlich ist damit nicht die Messgenauigkeit aufwendiger Apparaturen, wie sie in der Forschung verwendet werden, erreichbar. Das Ziel des Praktikums sind weniger pr¨ azise Ergebnisse, sondern Sie sollen lernen, die Einfl¨ usse, die die Messgenauigkeit begrenzen, zu erkennen und einzusch¨ atzen. Aus diesem Grund sollen bei der Auswertung die Ergebnisse stets mit einer Fehlerabsch¨ atzung an- gegeben werden.

Lesen Sie bei der Versuchsvorbereitung die Versuchsanleitung genau durch und uberlegen Sie, was bei der Versuchsdurchf¨ ¨ uhrung und Auswertung gemacht werden soll, welche Messwerte Sie brauchen, usw. Nur so k¨ onnen Sie z¨ ugig messen und vermeiden unn¨ otige Mehrarbeit durch Fehler beim Auswerten.

Gestalten Sie die Auswertung ¨ ubersichtlich und kennzeichnen Sie alle Anga- ben so, dass man sofort erkennen kann, worum es sich handelt (z.B.:

” aus der Zeichnung abgelesen:“,

” Literaturwert:“,

” Mittelwert der Messreihe:“). End- ergebnisse werden stets zusammen mit ihrem Fehler angegeben und besonders kenntlich gemacht, z.B. durch doppeltes Unterstreichen. Es ist unsinnig, den Fehler mit mehr als zwei Stellen anzugeben; das Ergebnis soll bis auf maximal zwei ungenaue Stellen angegeben werden (s.u.).

Bei graphischen Darstellungen von Messwerten ist folgendes zu beachten:

• Die graphische erfolgt grunds¨ atzlich auf mm-Papier bzw. Logarithmenpa- pier.

• Richtige Gr¨ oße w¨ ahlen (Nutzen Sie wenn m¨ oglich den vollen Bereich des mm-Papiers bzw. Logarithmenpapier).

• Bei jeder Achse Messgr¨ oße und Maßeinheit angeben (Bsp.: T in

C, T [

C], T/

C).

• Um sich das Eintragen der Messpunkte zu erleichtern, empfiehlt es sich eine sinnvolle Achseneinteilung zu w¨ ahlen (z.B. 1

C=0,5 cm oder 1 cm oder 2 cm zu w¨ ahlen und nicht 1

C=0,4 cm oder 2,5 cm)

• Beim Zeichnen von Kurven nicht einfach die Punkte verbinden (

” Malen nach Zahlen“), sondern die Streuung der Messwerte ausgleichen.

• Befinden sich mehrere Kurven in einem Diagramm, so sind die einzelnen Kurven und Messwerte zu kennzeichnen (Legende hinzuf¨ ugen).

• Jede Zeichnung, Tabelle und Diagramm muss mit einer Text- ¨ Uberschrift versehen werden.

II Vorbereitung

Um das Praktikum effizient durchzuf¨ uhren, ist eine gr¨ undliche Vorbereitung notwendig. Es ist nicht in Ihrem Interesse die Versuche

” starr“ nach Anleitung abzuarbeiten, ohne zu verstehen was Sie ¨ uberhaupt praktizieren. Die erfolgrei- che Teilnahme am Praktikum setzt voraus, dass Sie ein entsprechendes Kennt- nisniveau der mit den Versuchen verkn¨ upften Physik besitzen. Ob diese Kennt- nisse aus Ihrem Fundus oder aus Ihrer Vorbereitung stammen, ist nat¨ urlich belanglos. Informieren Sie sich vor Beginn der Versuchsdurchf¨ uhrung, ¨ uber die Stichpunkte, die bei den jeweiligen Versuchen unter dem Kapitel

” Vorberei- tung“ aufgelistet sind. Dabei reicht das alleinige Studium der Praktikumsan- leitung keinenfalls aus. Die Praktikumsanleitung ist kein Lehrbuch! Zu jedem Versuch sind daher zus¨ atzlich Literaturempfehlungen angegeben. Bei den meisten Versuchen ist es vollkommen ausreichend, wenn Sie sich mit Hilfe der Standardweke (Walcher, Gerthsen, Bergmann-Sch¨ afer, etc.) auf die Versuche vorbereiten.

Um Ihnen die Vorbereitung zu erleichtern, sind neben den Stichpunkten zus¨ atz- lich noch Fragen in der Praktikumsanleitung aufgelistet. Beantworten Sie die Fragen bei Ihrer Vorbereitung schriftlich in Ihrem Protokollheft.

Eine Versuchsdurchf¨ uhrung ohne ausreichende Vorbereitung ist klarerweise oh- ne Lerneffekt und nicht sinnvoll. Die Praktikantin oder der Praktikant muß in diesem Fall damit rechnen, nach Hause geschickt zu werden und den Versuch zu einem sp¨ ateren Zeitpunkt zu wiederholen.

Die folgenden Punkte fassen das Basiswissen zusammen, ¨ uber das Sie bei den Versuchen verf¨ ugen sollten:

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1. Mathematische Voraussetzungen - elementare Funktionen: Polynome, tri- gonometrische Funktionen, Logarithmus- und Exponential-Funktion - ele- mentares Differenzieren und Integrieren - gew¨ ohnliche Differentialgleichun- gen: Schwingungsgleichung/Kraftgesetz, Gleichung des nat¨ urlichen Wachs- tums.

2. Statistik und Fehler - Mittelwert, Standardabweichung, statistische und systematische Fehler, Fehler des Mittelwertes, Fehlerfortpflanzung, Gauß- sche Glockenkurve

3. Die 7 Basiseinheiten des SI-Systems : m, kg, s, A, K, mol, Cd.

4. Mechanik - Newtonschen Gesetze; Kr¨ afteparallelogramm - Erhaltungss¨ atze f¨ ur Translation und Rotation (Energie, Impuls, Drehimpuls) - Drehmo- ment, Tr¨ agheitsmoment u. Steinerscher Satz - Hooksches Gesetz, Elasti- sche Konstanten - Resonanzkurve - F¨ ur Studierende mit Hauptfach Phy- sik: Differentialgleichung des ged¨ ampften harmonischen Oszillators und typische L¨ osungen - Schallgeschwindigkeit, longitudinale und transversale Schwingungen.

5. Elektrizit¨ atslehre - Elementarladung und Ladungserhaltung; Faraday- Konstante, Avogadrokonstante, Stoffmenge - Ohmsches Gesetz, Kirch- hoffsche Regeln, spezifischer Widerstand - Messbereichserweiterung von Messinstrumenten - Kondensator, Kapazit¨ at. F¨ ur Studierende mit Haupt- fach Physik: Herleitung Kondensatorentladung, Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld.

6. Optik - Reflexions- und Brechungsgesetz - Abbildung mit Linsen (geo- metrische Bildkonstruktion, Linsengleichung, Abbildungsmaßstab) - kon- tinuierliche und Linienspektren (qualitatives Verst¨ andnis) - Aufl¨ osungs- verm¨ ogen optischer Instrumente.

7. W¨ armelehre - W¨ arme, Zustandsgr¨ oßen (Temperatur, innere Energie,...), Zustandsgleichung des idealen Gases - 1. und 2. Hauptsatz, W¨ armebilanz, spezifische W¨ arme, Phasendiagramm, Dampfdruck - F¨ ur Studierende mit Hauptfach Physik: Van-der-Waals-Gleichung realer Gase, Verlauf der Iso- thermen im p(V )-Diagramm, Gesetz von Dulong-Petit, Freiheitsgrade und Gleichverteilungssatz, Clausius-Clapeyron Gleichung.

Die Kenntnis dieses Basiswissens erspart nat¨ urlich nicht das sorgf¨ altige Durch- arbeiten der Anleitung und die Vorbereitung der anderen Kapitel im Skript.

Insbesondere sollten Sie sich bei der Vorbereitung auch schon ¨ uber die Versuchs- durchf¨ uhrung, die Messmethoden und ¨ uber die Auswertung Gedanken machen.

Machen Sie sich bewusst, was und wie Sie messen werden und sch¨ atzen Sie ab, welchen Einfluss die Fehler der Einzelmessungen auf den Gesamtfehler haben (Bsp.: eine quadratische Gr¨ oße geht mit doppeltem Gewicht ein, als eine linea- re).

III Durchf¨ uhrung der Versuche

Sehen Sie sich die Apparatur gr¨ undlich an und machen Sie sich mit der Funk- tion aller Einzelteile vertraut. Spielen Sie die Messprozedur nach M¨ oglichkeit zun¨ achst qualitativ durch. Wenn Sie eine elektrische Schaltung herzustellen haben, kontrollieren Sie zun¨ achst selbst sorgf¨ altig, ob Sie keine Schaltfehler gemacht haben. Vor Anlegen der Spannung muss die Schaltung vom Assistenten abgenommen werden. Das Protokoll wird auch w¨ ahrend der Messungen l¨ uckenlos gef¨ uhrt, d.h. man soll keine großen Zwischenr¨ aume f¨ ur sp¨ atere Eintragungen lassen. Lassen Sie sich Zeit zum F¨ uhren eines ordentlichen Protokolls.

Im Einzelnen soll das Protokoll enthalten:

1. ¨ Uberschrift und Versuchsnummer.

2. Formeln, die f¨ ur den Versuch ben¨ otigt werden, und zwar zun¨ achst in der Form, in der man sie als allgemein bekannt voraussetzen kann, dann die f¨ ur den Versuch n¨ otigen Umformungen. Damit man den Einfluss der Fehler der gemessenen Gr¨ oßen auf das Versuchsergebnis leichter ¨ ubersehen kann, ist es zweckm¨ aßig, die Formeln auf die Form

Versuchsergebnis = Funktion der direkt gemessenen Gr¨ oßen zu bringen. Alle Abk¨ urzungen, die in den Formeln vorkommen, m¨ ussen erkl¨ art sein, evtl. mit Hilfe der Skizze der Apparatur. Diesen Teil des Pro- tokolls schreiben Sie am besten schon zu Hause bei der Vorbereitung.

3. Skizze der Versuchsanordnung (schematisch) (Schaltplan bei elektrischen Schaltungen).

4. Knappe Angaben ¨ uber das Messverfahren, soweit dies nicht v¨ ollig selbst- verst¨ andlich ist.

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5. Pr¨ asentieren Sie Ihre Messergebnisse in Form von Tabellen und Diagram- men, die klar und ausreichend beschriftet sein m¨ ussen.

6. F¨ uhren Sie nach M¨ oglichkeit eine vorl¨ aufige Auswertung unmittelbar nach der Messung durch.

7. Bei der Auswertung m¨ ussen alle Zwischenrechnungen im Protokollheft aus- gef¨ uhrt werden. Vergleichen Sie, soweit vorhanden, Ihre Messergebnisse mit Literaturwerten. Bei der Fehlerabsch¨ atzung ber¨ ucksichtigen Sie nur die Faktoren, die Sie quantitativ kennen, also im allgemeinen die zuf¨ alligen Fehler und die mutmaßliche Genauigkeit der Eichung der Instrumente.Es gen¨ ugt vollst¨ andig, sich auf die Faktoren zu beschr¨ anken, die die Messgenauigkeit haupts¨ achlich begrenzen. Wenn Sie glauben, dass bei dem Versuch systematische Fehler auftreten, die Sie nicht quantitativ erfassen k¨ onnen, machen Sie hier¨ uber eine kurze Bemerkung. Achten Sie darauf, dass Sie alle zur Auswertung n¨ otigen Angaben aufgeschrieben ha- ben (z.B. Barometerstand, Zimmertemperatur, etc.). Wenn Sie mit Ihrem Versuch fertig sind, r¨ aumen Sie bitte den Messplatz wieder auf (Wasser- gef¨ aß entleeren, Schaltungen abbauen usw.).

IV Messgenauigkeit und Fehlerabsch¨ atzung

Jede Messung kann nur mit einer begrenzten Genauigkeit ausgef¨ uhrt werden.

Damit man mit dem Resultat einer Messung etwas anfangen kann, muss nicht nur der Zahlenwert des Messergebnisses, sondern auch die Messgenauigkeit an- gegeben werden. Dies geschieht in der Form (Beispiel: Messung der Erdbe- schleunigung g aus der Schwingungsdauer T eines Pendels der L¨ ange l, wobei g = 4π

l/T

)

g =(981, 4 ± 0, 3)cm/s

oder g =981, 4 cm/s

± 0, 03 %

Man gibt also erstens als Zahlenwert des Messergebnisses nur so viele Dezi- malen an, dass nur die letzte Stelle oder die beiden letzten Stellen wegen der begrenzten Messgenauigkeit unsicher sind, und zweitens wird als Maß f¨ ur die Messgenauigkeit eine Zahl angegeben, die man gew¨ ohnlich den

” Fehler“ des Messergebnisses nennt, und zwar entweder den absoluten Fehler“ (im obigen Beispiel: ± 0, 3cm/s

oder den

” relativen Fehler“ (im Beispiel: 0,03%). Diese

Angabe ist also ein Maß f¨ ur die Messgenauigkeit und nicht etwa der Betrag, um den das Messergebnis falsch ist. Wie man sie ermittelt, wird weiter unten aufgef¨ uhrt. Machen Sie sich klar, dass die Angabe der Messgenauigkeit n¨ otig ist, wenn man z.B. herausfinden will, ob g an zwei verschiedenen Punkten der Erde verschieden ist. Beachten Sie, dass nicht nur die Angabe eines zu kleinen

” Fehlers“, sondern auch die Angabe eines zu großen

” Fehlers“ eine richtige Folgerung aus zwei Messungen von g verhindern kann.

Bei der Absch¨ atzung der Messgenauigkeit geht man folgendermaßen vor:

Zun¨ achst wird ermittelt, mit welcher Genauigkeit die direkt gemessenen Gr¨ oßen, aus denen man das Resultat des Versuchs berechnet, bekannt sind.

Die zuf¨ alligen Fehler, die durch Ablesegenauigkeit auf einer Skala bedingt sind, kann man unter Ber¨ ucksichtigung der G¨ ute der Skala absch¨ atzen. Bei parallaxefreier Ablesung liegt der mittlere Fehler etwa bei 0,1 bis 0,2 Skalen- teilen. Wenn die zuf¨ alligen Fehler nicht zuverl¨ assig gesch¨ atzt werden k¨ onnen, muss man sie experimentell aus der Streuung der Messwerte bei wiederholter Messung ermitteln. Zu diesem Zweck stellt man 3 bis 10 Messungen an. Eine Folge von Messungen m¨ ogen die Werte

x

, x

, ..., x

(1)

ergeben haben. Der Mittelwert dieser Messungen ist

¯

x = x

+ x

+ ... + x

n . (2)

Ein Maß f¨ ur die mittlere Streuung der Resultate erh¨ alt man durch den Mittel- wert der Gr¨ oßen (x

− x) ¯

(Der Mittelwert von (x

− x) ist definitionsgem¨ ¯ aß Null):

(x

− x) ¯

+ (x

− x) ¯

+ ... + (x

− x) ¯

n . (3)

Eine genauere ¨ Uberlegung zeigt, dass es besser ist, als Maß f¨ ur die Streuung die Gr¨ oße

σ

= (x

− x) ¯

+ (x

− x) ¯

+ ... + (x

− x) ¯

n − 1 . (4)

zu verwenden. (Aus nur einer Messung kann naturgem¨ aß kein Fehler ermittelt werden; bei n = 2 ergibt sich die Gr¨ oße des Fehlers zu | x

− x

| / √

2, also 71%

des Abstands der beiden Messungen, wenn man f¨ ur diesen Fall den Mittelwert

¯

x = (x

+ x

)/2 einsetzt).

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σ

=

i=1

(x

− x) ¯

n − 1 (5)

heißt

” Standardbweichung“ oder

” mittlerer Fehler“ der Einzelmessung. Der Mittelwert ¯ x von n Einzelmessungen ist naturgem¨ aß genauer als eine Einzel- messung, und zwar um den Faktor 1/ √

n. Es ist also der

” mittlere Fehler des Mittelwerts“:

σ

= σ

√ n =

i=1

(x

− x) ¯

n(n − 1) (6)

σ

wird auch als

” Standardfehler des Mittelwerts“ oder einfach als

” Standard- fehler“ bezeichnet. Falls Sie einen Taschenrechner benutzen, achten Sie darauf, ob der so berechnete Fehler σ

oder σ

ist.

Systematische Fehler werden zun¨ achst durch die begrenzte Genauigkeit der Eichung der Instrumente verursacht. Bei Maßst¨ aben und Skaleneinteilungen ist die absolute Genauigkeit in der Regel etwas besser als die Ablesegenau- igkeit, die bereits oben ber¨ ucksichtigt wurde. Elektrische Messinstrumente (Zeigerinstrumente) sind in der Regel mit einer Genauigkeit von 1% bis 2 % geeicht.

. Außerdem k¨ onnen systematische Fehler noch durch grunds¨ atzliche M¨ angel des Messverfahrens verursacht werden. F¨ ur die Absch¨ atzung dieser Fehler kann man keine allgemeinen Regeln aufstellen. Es kommt im Einzelfall auf den Scharfsinn und die physikalischen Kenntnisse des Experimentators an.

Nachdem die Fehler der direkt gemessenen Gr¨ oßen ermittelt sind, wird der Einfluss dieser Fehler auf das Endresultat berechnet. Dies geschieht im Prinzip mit Hilfe der Differentialrechnung: Wenn die direkt gemessenen Gr¨ oßen x und y um kleine Betr¨ age dx und dy ge¨ andert werden, ver¨ andert sich der Wert einer Funktion z = f (x, y) um

dz = ∂f

∂x dx + ∂f

∂y dy (7)

Hier bedeutet ∂f /∂x die sog. partielle Differentation der Funktion f nach x, d.h. die Ableitung von f nach x, wobei die Variable y als Konstante behandelt wird.

1Genaueres finden Sie bei den

”Vorbemerkungen zu den Versuchen der Elektrizit¨ats- lehre“ in der Praktikumsanleitung

Wenn wir in dieser Gleichung die Differentiale dx und dy durch die Feh- ler ∆x und ∆y der direkt gemessenen Gr¨ oßen ersetzen wollen, m¨ ussen wir ber¨ ucksichtigen, dass sich die Fehler im Mittel teilweise kompensieren werden, wenn sie voneinander unabh¨ angig sind. Daher berechnet man den mittleren Fehler ∆z durch

” quadratische Addition“ nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz:

dz = ∂f

∂x ∆x

+ ∂f

∂y ∆y

(8) Hier und im Folgenden wird unter ∆x bei zuf¨ alligen Fehlern, der mittlere Fehler S

nach Gleichung (6), bei systematischen Fehlern die oben diskutierte Absch¨ atzung verstanden.

Die funktionale Abh¨ angigkeit der zu ermittelnden Gr¨ oße von den direkt gemessenen hat h¨ aufig eine einfache Form. Es lohnt sich, die folgenden Formeln zu merken, die aus der allgemeinen Gleichung (8) folgen:

z =ax ∆z =a∆x (9)

z =x + y ∆z =

(∆x)

+ (∆y)

(10)

z =xy, z = x/y ∆z z =

∆x x

+

∆y y

(11)

z =x

∆z

z = | b | ∆x

x , b = const. (12)

Merken Sie sich:

1. ” Der absolute Fehler einer Summe oder Differenz zweier Gr¨ oßen ist gleich der quadratischen Summe der absoluten Fehler der Summanden“.

2. ” Der relative Fehler des Produkts oder des Quotienten zweier Gr¨ oßen ist gleich der quadratischen Summe der einzelnen relativen Fehler“.

F¨ ur eine Fehlerabsch¨ atzung kann man statt der Gleichungen (10) und (11) auch die einfacheren Formeln ∆z = ∆x + ∆y bzw. ∆z/z = ∆x/x + ∆y/y verwenden.

Bevor man mit der Messung beginnt, sollte man sich mit Hilfe der Gleichun- gen (9) bis (12) ¨ uberlegen, durch welche Fehler die Genauigkeit der Messung c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2004, V. 0.5

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haupts¨ achlich begrenzt wird. Man kann dann versuchen, die empfindlich in das Resultat eingehenden Fehler klein zu halten. Weiterhin sollte man beachten, dass es nicht sinnvoll ist, den Fehler auf mehr als 1 bis 2 Stellen anzugeben und dass man daher kleine Fehler gegen große Fehler bei der Fehlerabsch¨ atzung vernachl¨ assigen kann.

Als Maß f¨ ur die Messgenauigkeit kann der mittlere Fehler nach dem Gaußschen Fehlergesetz interpretiert werden, das jedoch strenggenommen nur f¨ ur zuf¨ allige Fehler gilt, da nur diese mit den Methoden der mathematischen Statistik behandelt werden k¨ onnen. Danach w¨ are zu erwarten, dass der tats¨ achliche Wert mit 70% Wahrscheinlichkeit innerhalb der Fehlergrenzen liegt und dass Abweichungen von mehr als dem dreifachen mittleren Fehler praktisch ausgeschlossen sind.

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Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 11 Einf¨ uhrungsversuch

Versuch 11

Einf¨ uhrungsversuch

Abbildung 1: Versuchsaufbau.

I Vorbemerkung

Ziel der Einf¨ uhrungsveranstaltung ist es Sie mit grundlegenden Techniken des Experimentierens und der Auswertung der Messdaten vertraut zu machen. Die- se Grundkenntnisse sind f¨ ur eine erfolgreiche Durchf¨ uhrung des Praktikums notwendig.

Bei diesem Versuch werden Sie Messungen am Federpendel durchf¨ uhren.

Zun¨ achst wird die Federkonstante gemessen. Das Ergebnis dieser Messung wird verwendet um in einer zweiten Messung die Erdbeschleunigung zu bestimmen. Sie werden in diesem Versuchsteil den statistischen Fehler bei der Bestimmung der Schwingungsdauer des Federpendels kennen lernen. Es soll auch gezeigt werden, dass zwei scheinbar identische Methoden zur Bestimmung der Schwingungsdauer unterschiedliche Messgenauigkeiten besitzen. Um aus den Messdaten die Federkonstante und die Erdbeschleunigung zu extrahieren ist es notwendig die Ergebnisse graphisch darzustellen. Aus den Diagrammen die erstellt werden, kann man die zu bestimmenden Gr¨ oßen einschließlich des Messfehlers ablesen.

Ziel des Versuches:

Zun¨ achst wird die Federkonstante eines Federpendels gemessen. Danach wird unter Ber¨ ucksichtigung dieses Ergebnisses die Erdbeschleunigung ermittelt.

Lernziele:

• Bestimmung des Messfehlers bei einer Zeitmessung.

• Vergleich von zwei unterschiedlichen Messmethoden.

• Graphische Darstellung von Messwerten.

• Ablesen von Messgr¨ oßen und -fehlern aus der graphischen Darstellung.

Messmethode:

Die Differentialgleichung f¨ ur ein Federpendel lautet:

m¨ x = − Dx (1)

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Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 11 Einf¨ uhrungsversuch

Wenn man das Federpendel zur Zeit t = o um x

auslenkt und losl¨ asst so lautet die L¨ osung

x(t) = x

cos(ωt) (2)

mit

ω = D

m . (3)

Die Periodendauer T ist mit ω uber ¨ ω = 2π

T (4)

verkn¨ upft. Somit ergibt sich f¨ ur die Periodendauer:

ω = 2π

T (5)

T = 2π m

D (6)

Misst man die Periodendauer T als Funktion der Masse m so kann man hieraus die Federkonstante D bestimmen. Wird das Federpendel mit einer Masse m belastet, so gilt:

mg = Dx (7)

Da der Wert der Federkonstante D aus der vorhergehenden Messung bereits bekannt ist, kann man hieraus den Wert der Erdbeschleunigung bestimmen.

Durchf¨ uhrung des Versuchs:

Belasten Sie zun¨ achst das Federpendel mit einer Masse von 200g. Messen Sie dann je 10 mal 3 Pendelschwingungen um die Schwingungsdauer des Pendels zu bestimmen. Starten und stoppen sie dabei die Messungen beim Maximal- ausschlag des Pendels. In einer zweiten Messung von 10 mal 3 Pendelschwin- gungen soll die Schwingungsdauer bestimmt werden, indem die Messung beim Nulldurchgang des Pendels gestartet und gestoppt wird. Bestimmen Sie f¨ ur beide Messreihen die mittlere Schwingungsdauer und den mittleren Fehler des Mittelwertes

. Verwenden Sie f¨ ur die folgenden Messungen die genauere der bei-

1F¨ur eine Messreihe mitnMessungenx1, x2, ..., xnund dem Mittelwert ¯xist der mittlere Fehler der Einzelmessung (auch Standardabweichung) durchσx=

ni=1(xi−¯x)²

n−1 definiert.

Der mittlere Fehler des Mittelwertes ist durchσx¯=√^σxn=

ni=1(xi−¯x)²

n(n−1) gegeben.

den Methoden. Messen Sie nun die Schwingungsdauer als Funktion der Masse.

Beschweren Sie hierzu das Federpendel mit Massen zwischen 50 g und 250 g in Schritten von 50 g. F¨ ur jede Masse werden dreimal drei Pendelschwingun- gen ausgemessen. Diese Messreihe wird dazu benutzt die Federkonstante des Pendels zu bestimmen.

F¨ ur die Messung der Erdbeschleunigung wird die Auslenkung des Feder- pendels als Funktion der Masse bestimmt. Das Federpendel wird hierzu mit den Massen 0g, 50g, 100g, 150g, 200g und 250g beschwert und die Aus- lenkung wird abgelesen. Notieren Sie die Ablesegenauigkeit f¨ ur die Auslenkung!

Hinweise zur Auswertung:

Tragen Sie zun¨ achst die Ergebnisse der Vergleichsmessungen der Schwingungs- dauer in ein Histogramm ein. Die Abbildung zeigt beispielhaft ein Histogramm f¨ ur eine Messreihe. Berechnen Sie f¨ ur beide Methoden den Mittelwert und den mittleren Fehler des Mittelwertes. Welche Methode ist genauer? Was ist der Grund?

Abbildung 2: Histogramm der Messreihe.

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Messung T [s] T ¯ [s] σ

[s] σ

[s]

1 10,11

10,285 0,094 0,03

2 10,23

3 10,34

4 10,28

5 10,26

6 10,24

7 10,28

8 10,46

9 10,27

10 10,38

Um die Federkonstante aus der Messung der Schwingungsdauer als Funktion der Masse zu bestimmen wird eine graphische Methode verwendet. Hierzu wird Gleichung (6) geschrieben als

T

= 4π

D · m (8)

Dies l¨ asst sich als Geradengleichung

y = ax + b (9)

interpretieren wenn man

x = m y = T

a =

b = 0

(10)

setzt. Daher wird im Diagramm das Quadrat der gemessenen Schwingungsdau- er T gegen die Masse m aufgetragen. Der Wert von T

und von m sind fehler- behaftet und es m¨ ussen Fehlerbalken in das Diagramm eingezeichnet werden.

Der Fehler wird nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz aus den mittleren Fehlern der Mittelwerte der Schwingungsdauern bestimmt. Der statistische Fehler der Masse eines Gewichtst¨ ucks liegt bei 5%. Als n¨ achstes wird die Steigung aus

dem Diagramm bestimmt in dem eine Gerade so in das Diagramm gelegt wird, dass die Gerade die Messwerte m¨ oglichst gut beschreibt. Die Steigung dieser Geraden kann nun aus dem Diagramm nach

a = ∆T

∆m (11)

abgelesen werden. Um den Fehler von a zu erhalten werden in das Diagramm zus¨ atzlich Fehlergeraden eingezeichnet. Die Fehlergeraden werden so gelegt, dass sie noch gerade die Messungen unter Ber¨ ucksichtigung des Messfehlers beschreiben k¨ onnten. Die Differenz der Steigungen der optimierten Geraden und der Fehlergeraden wird als Fehler der Steigung σ

verwendet. Nach Glei- chung (10) kann nun die Federkonstante und mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungs- gesetz der Messfehler der Federkonstanten berechnet werden.

Nach Gleichung (8) sollte man erwarten, dass die Gerade durch den Koordina- tenursprung geht. Dies ist aber nicht der Fall. ¨ Uberlegen Sie sich die Ursache hierf¨ ur. Aus dem selben Grund ist es ¨ ubrigens auch nicht m¨ oglich die Feder- konstante f¨ ur einzelne Messungen direkt aus Gleichung (6) zu bestimmen. Die graphische Bestimmung der Federkonstante ist in diesem Fall unerl¨ asslich! Um die Erdbeschleunigung zu bestimmen wird nun in einem zweiten Diagramm die Auslenkung des Federpendels gegen die Masse aufgetragen. Aus der Steigung der Geraden kann die Erdbeschleunigung bestimmt werden, da Gleichung (7) wieder als Geradengleichung der Form

x = g

D m (12)

dargestellt werden kann. Die Steigung a = ∆x

∆m (13)

und ihr experimenteller Fehler k¨ onnen nun nach dem oben beschriebenen Ver- fahren aus dem Diagramm abgelesen werden. Die Erdbeschleunigung wird nach

g = D · a (14)

berechnet. Um den Fehler der Erdbeschleunigung zu bestimmen muss die Feh- lerfortpflanzung angewendet werden, da sowohl der Wert von D als auch der Wert von a fehlerbehaftet sind.

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II Messprotokoll

Vergleich der Methoden zur Bestimmung der Schwingungsdauer:

Nr. Anzahl der Schwingungenn

Messzeit t[s]

Periodendauer T [s]

Mittelwert

T¯[s] σT¯ [s]

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

7 3

8 3

9 3

10 3

Messung der Schwingungsdauer. Start/Stop bei Maximalauslenkung.

Nr. Anzahl der Schwingungenn

Messzeit t[s]

Periodendauer T [s]

Mittelwert

T¯[s] σT¯ [s]

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

7 3

8 3

9 3

10 3

Messung der Schwingungsdauer. Start/Stop bei Nulldurchgang

Ablesegenauigkeit der Stoppuhr: ...

Messung der Federkonstante:

m

[g] Nr. Anzahl der Schwingungenn

Messzeit t[s]

Periodendauer T [s]

Mittelwert

T¯[s] σT¯ [s]

50

1 3

2 3

3 3

100

1 3

2 3

3 3

150

1 3

2 3

3 3

200

1 3

2 3

3 3

250

1 3

2 3

3 3

Messung der Schwingungsdauer als Funktion der Masse. Start/Stop bei ...

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Messung der Erdbeschleunigung:

∆m [g] Auslenkung x [mm] Ablesefehler ∆x [mm]

Messung der Auslenkung als Funktion der Masse

III Beispiele f¨ ur die Darstellung von Messer- gebnissen

Abschließend werden noch ein paar Beispiele daf¨ ur gegeben, wie Messdaten graphisch dargestellt werden sollen. Es werden auch einige Beispiele f¨ ur typische Fehlerquellen beim zeichnen von Diagrammen gezeigt.

0 20 40 60 80 100 120

0 5 10 15 20 25 30

x[ mm]

m[g]

Abbildung 3: Richtige Darstellung von Messwerten.

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

11

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 11 Einf¨ uhrungsversuch

0 20 40 60 80 100 120

0 5 10 15 20 25 30

Abbildung 4: Fehlerhafte Darstellung von Messergebnissen: Achsenbeschriftun- gen fehlen.

0 20 40 60 80 100 120

0 5 10 15 20 25 30

x[ mm]

m[g]

Abbildung 5: Fehlerhafte Darstellung von Messergebnissen: Fehlerbalken fehlen.

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

12

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 11 Einf¨ uhrungsversuch

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20 25

x[ mm]

m[g]

Abbildung 6: Fehlerhafte Darstellung von Messergebnissen: Messpunkte sind durch eine (unphysikalische) Zick-Zack-Linie verbunden.

0 20 40 60 80 100 120

0 5 10 15 20 25 30

Fehler- gerade Ausgleichs-

gerade

D x= 21, 5m m

D m=78g

D x= 20m m

D m=80g

x[ mm]

m[g]

Abbildung 7: Richtiges Anpassung einer Ausgleichsgerade und Ermittlung der Geradensteigung.

Die Steigung der Ausgleichsgeraden ergibt sich zu a

= ∆x

∆m = 20mm

80g = 0, 25 mm g die der Fehlergeraden zu a

= ∆x

∆m = 21, 5mm

78g = 0, 276 mm g

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

13

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 11 Einf¨ uhrungsversuch

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14

27/1

VERSUCH 27 Wheatstone'sche Brücke

Zubehör: 1 Schleifdraht 1 µ-Amperemeter

1 Taster mit Schutzwiderstand 2 Vergleichswiderstände

1 Thermometer mit Kupferdraht, Widerstandsdraht und NTC-Widerstand in Paraffinöl

1 Becherglas mit vollentsalztem Wasser auf Kochplatte 1 Spannungsversorgungsgerät 2 V, 1 A

Literatur: Elektrisches Potential, Spannung, Mechanismus der Stromleitung in Metallen und Halbleitern (Bänder-Modell), spezifischer Widerstand, Kirchhoff´sche Gesetze (z.B. Walcher, Praktikum der Physik; Westphal, Physikalisches Praktikum;

van Calker/ Kleinhanß, Physikal. Kurspraktikum für Mediziner).

Aufgabe:

1.) Bestimmung des spezifischen Widerstandes von Kupfer- und Widerstandsdraht.

2.) Messung der Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes bei Kupfer- und Widerstandsdraht und beim NTC-Widerstand.

Schaltung und Abgleich der Brücke

R

: Vergleichswiderstand 0 - 10 : ± 0,5 % R

: Vergleichswiderstand

0 - 100 : ± 0,1 % R

: unbekannter Widerstand R

: Schutzwiderstand 47 k:

l

, l

Schleifdraht L = l

+ l

= 100 cm U

: Betriebsspannung ca. 2 V Wenn die Brücke abgeglichen ist, gilt

R

R

R

^L _l ^l

1

l

l

R

R

27/2

Der Abgleich geht in zwei Schritten vor sich.

1. Da die Messgenauigkeit (wenn R

+ R

fehlerlos sind), bei l

| l

am größten ist

*), wird der Kontakt auf die Mitte des Schleifdrahtes geschoben. R

und R

werden so variiert, dass der Strom am µ-Amperemeter möglichst klein ist. (Taste hierbei nicht drücken!)

2. Feinabgleich durch Verschieben des Kontaktes. l

wird so lange variiert, bis der Zeiger des µ-Amperemeters bei Drücken der Taste nicht mehr zuckt.

Durchführung des Versuchs

1.a) Es werden zunächst bei Zimmertemperatur der Widerstand eines Kupfer- und eines Widerstandsdrahtes sorgfältig gemessen. Die Drähte befinden sich zu Spulen aufgewickelt in einem Glaskolben, der zum besseren Wärmeausgleich mit dem Temperaturbad mit Paraffinöl gefüllt ist. Diese Messung wird für l

| l

je insgesamt 10 mal durchgeführt, um die Einstellgenauigkeit zu bestimmen (Schleifkontakt jedes Mal neu einstellen!). Die Widerstände werden dazu in Wasser von etwa Zimmertemperatur gesetzt.

1.b) Für den Widerstandsdraht wird dann R

für 5 voneinander verschiedene Werte von R

und R

gemessen, so dass l

zwischen l

| 1/20 l

und l

| l

variiert;

vertauschen Sie dann l

und l

, indem Sie die Enden des Schleifdrahts vertauschen, und messen Sie 5 weitere Werte. Damit prüfen Sie die Homogenität des Schleif- drahtes auf der gesamten Länge.

2.) Die Temperaturabhängigkeit aller drei Widerstände wird gleichzeitig gemessen (wieder bei l

| l

), indem die Proben in dem mit Wasser gefüllten Becherglas erwärmt werden. Es wird bis etwa 80 qC geheizt und in Schritten von ca. 20 qC je einmal gemessen; evtl. kurz vor Erreichen der gewünschten Temperatur Heizung aus-schalten. Es werden die Temperatur, l

, l

und R

+ R

notiert. Es werden dann sofort die Widerstände berechnet und graphisch dargestellt (beim Vortestat vorzulegen).

_____________________

*) Durch Differenzieren der Formel für R

nach l

erhält man 'R

'l

L R

R

l

, also für den relativen Fehler:

'R

R

L

l

˜l

˜ 'l

. Dieser Ausdruck hat für l

= l

ein Minimum.

27/3

Auswertung:

zu 1.a) Berechnung des Mittelwertes und 'l

, und damit Berechnung der beiden Widerstände und deren Fehler. Der Gesamtfehler für die Widerstände ergibt sich dann unter Berücksichtigung der Fehler von R

+ R

.

zu 1.b) Berechnen Sie die 10 Werte für R

und bilden Sie dann Mittelwert und den Fehler. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem von 1.a). Ist ein systematischer Fehler erkennbar?

zu 2)

a) Bestimmung des linearen Temperaturkoeffizienten D, für den gilt:

R

: Widerstand bei -qC R

R

1 D- ^R

: Widerstand bei 0 qC

D : linearer Temperaturkoeffizient

aus der graphischen Darstellung R

= f( - ) für Kupfer- und Widerstandsdraht.

Abschätzen des Fehlers aus der graphischen Darstellung.

b) Berechnung des spezifischen Widerstandes von Kupfer- und Widerstandsdraht bei 0 qC. Entnehmen Sie diese Werte aus dem Diagramm. Länge und Querschnitt der Drähte sind an der Apparatur angegeben.

c) NTC-Widerstände (Negative Temperature Coefficient) sind Halbleiterwiderstände mit hohem negativen Temperaturkoeffizienten. Die Temperaturabhängigkeit des NTC-Widerstandes folgt aus der Gleichung:

mit T : Temperatur in K

R

A ˜e

R

: Widerstand in : bei T [K]

A,B: Konstanten

Es wird der Widerstand der NTC-Probe logarithmisch über 1/T aufgetragen.

(T: Temperatur in K) Warum ist das zweckmäßig? (Logarithmenpapier mit drei Dekaden.)

l

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 243 RC-Glied

Versuch 243 RC-Glied

Abbildung 1: Versuchsaufbau: RC-Glied

I Messaufbau

• Oszilloskop

• Funktionsgenerator

• Verschiedene Widerst¨ ande und Kondensatoren im Steckgeh¨ ause

• Steckbrett zum Verschalten der Bauelemente

II Literatur

• Standardwerke der Physik: Gerthsen, Bergmann-Sch¨ afer, Tipler.

• W. Walcher, Praktikum der Physik, B.G.Teubner Stuttgart.

• K.-H. Rohe, Elektronik f¨ ur Physiker, Teubner Verlag.

• Homepage des Praktikums (http://www.physikpraktika.uni-hd.de). Unter anderem finden Sie hier einen Aufsatz mit mathematischen Berechnungen zur Signalausbreitung an einem Axon.

III Motivation

Elektrische Schaltungen mit RC-Gliedern stellen in der Wissenschaft und Tech- nik ein elementares Schaltungskonzept dar. So liefern beispielsweise RC-Glieder die Zeitbasis f¨ ur viele elektrisch erzeugte Schwingungsabl¨ aufe. Der Funktionsge- nerator, mit dem Sie hier im Praktikum arbeiten, erh¨ alt seine Zeitinformation letztendlich von einem internen RC-Glied. Eine weitere wichtige Anwendun- ge von RC-Glieder stellen Filter-Schaltungen dar. Die Spannung, die in einer RC-Schaltung ¨ uber dem Kondensator abf¨ allt, h¨ angt von der Frequenz der ein- gepr¨ agten Spannung ab. Mit anderen Worten: Der Wechselstromwiderstand (Impedanz) ist frequenzabh¨ angig. Somit lassen sich Schaltungen aufbauen, die nur Tiefe, nur Hohe oder nur einen bestimmten Frequenzbereich durchlassen.

Denken Sie beispielsweise an ein Radio bzw. an den Verst¨ arker Ihrer Stereoan- lage. Auch hier sind Filterschaltungen auf Basis von RC-Gliedern vorhanden, mit denen Sie die H¨ ohen, Mitten und Tiefen des Audiosignals nach Ihrem Mu- sikempfinden durch Filterung einstellen k¨ onnen.

Neben solch technisch sehr wichtigen Schaltungen dient das Studium von RC- Gliedern auch zum Erkennen von parasit¨ aren Effekten in der Messtechnik. Je- des Kabel und jedes Messger¨ at besitzen ohmsche und kapazitive Eigenschaften, die die Messung einer physikalischen Gr¨ oße beeinflussen und somit verf¨ alschen k¨ onnen. Es ist daher wichtig diese Einfl¨ usse schon vor einer Messung zu erken- nen und entsprechend zu kompensieren.

Um einen Bezug zur Biologie herzustellen, werden Sie in diesem Versuch die passiven Eigenschaften eines Axons mit Hilfe von RC-Gliedern simulieren. Un- ter passiven Eigenschaften ist gemeint, dass wir ein Axon als eine Art Kabel betrachten. Verst¨ arkende Mechanismen, die bei einem realen

” Nerv“ zus¨ atzlich c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

17

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 243 RC-Glied

vorhanden sind, werden hier nicht ber¨ ucksichtigt

. Mit Hilfe einfacher ¨ Uberle- gungen sollen Sie Analogien zwischen einem realen Axon und entsprechenden elektrischen Schaltungen herstellen und so das elektrische Ersatzschaltbild mo- dellieren. Anhand dieses Modells werden Sie erkennen, dass die St¨ arke eines Reizes sehr schnell entlang eines Axons abf¨ allt und dass die Geschwindigkeit mit dem sich solch ein Signal ausbreitet, von elementaren elektrischen Gr¨ oßen wie Widerstand und Kapazit¨ at abh¨ angt.

IV Vorbereitung

Dieser Versuch setzt voraus, dass Sie mit den Begriffen Ladung, Strom, Span- nung und Widerstand absolut vertraut sind. Informieren Sie sich zus¨ atzlich uber das Ohmsche- und die Kirchhoffschen Gesetze sowie ¨ ¨ uber den Aufbau und die Kenngr¨ oßen (Kapazit¨ at, Impedanz) eines Kondensators. Da einzelne Aufgaben dieses Versuchs sehr nah an die Biologie angelehnt sind, sollten Sie Ihr Wissen bez¨ uglich des biologischen Aufbaus einer Membran eines Neurons auffrischen.

F¨ ur das Verst¨ andnis eines RC-Glieds im Wechselstromkreis m¨ ussen Sie sich uber die Eigenschaften von Wechselspannungen wie Frequenz, Periodendauer, ¨ Amplitude und Phase informieren.

V Aufgaben

1. Untersuchung des Lade- und Entladevorgangs eines Kondensators und Be- stimmung der Zeitkonstante.

2. Aufbau einer Schaltung aus RC-Gliedern zur Simulation der passiven elek- trischen Eigenschaften der Membran eines Axons. Messung der L¨ angskon- stante.

3. Untersuchung der Eigenschaften eines RC-Glieds im Frequenzbereich: Auf- bau eines Tiefpassfilters und Messung des Frequenzgangs.

1Auch das w¨are physikalisch m¨oglich, w¨urde aber den Rahmen dieses Versuchs sprengen.

VI Grundlagen

Verhalten eines RC-Glieds im Zeitbereich

Ein Kondensator C und ein Widerstand R werden ¨ uber einen Schalter S an eine Gleichspannungsquelle U

angeschlossen (Abbildung 2). Wir inter- essieren uns f¨ ur den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator U

: Wird der Schalter geschlossen, so fließt durch den Widerstand ein Strom zum Kondensator. Allerdings k¨ onnen die Ladungen nicht durch den Konden- sator fließen, da die beiden Kondensatorelektroden durch ein nichtleitendes Dielektrikum getrennt sind. Es kommt daher zu einer Ansammlung von Ladungstr¨ agern an den Kondensatorelektroden, wodurch sich ¨ uber dem Kon- densator die Spannung U

aufbaut. Man spricht dabei auch vom

” Aufladen eines Kondensators“. Mit zunehmender Aufladung wird der Ladestrom immer geringer, denn die sich am Kondensator aufbauende Spannung, wirkt der Gleichspannungsquelle entgegen, so dass sich pro Zeiteinheit immer weniger Ladungen an den Elektroden ansammeln k¨ onnen. Schließlich ist nach einer gewissen Zeit die Kondensatorspannung genau so groß wie U

, d.h. der Kondensator ist aufgeladen.

R

C U

U

S

+

-

U

I U I

t I

+

-

U_E I =U /R_{0 E}

t

37 % 63 %

Abbildung 2: Links: Schaltbild. Rechts: Spannungs- und Stromverlauf beim La- den eines Kondensators. I

= U

/R entspricht dem Ladestrom direkt nach dem Schließen des Schalters und U

ist die Spannung des aufgeladenen Kon- densators die gerade der Eingangsspannung entspricht. Die Zeitkonstante τ entspricht der Zeit, bei der die Kondensatorspannung auf 63% des Endwerts U

angestiegen, bzw. der Ladestrom auf 37% des Endwerts abgefallen ist.

Die Spannung am Kondensator erreicht demnach nur allm¨ ahlich den Wert der c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

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Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 243 RC-Glied

Eingangsspannung U

. Der Ladestrom verh¨ alt sich genau umgekehrt. Beim Einschalten fließt ein hoher Ladestrom der w¨ ahrend des Aufladevorgangs immer geringer wird und schließlich auf Null zur¨ uckgeht (Abbildung 2).

Der Ladevorgang eines Kondensators gem¨ aß dem Schaltbild in Abbildung 2 l¨ asst sich mathematisch unter Zuhilfenahme des Ohmschen Gesetz einfach be- schreiben

. F¨ ur den Ladestrom ergibt sich:

I(t) = I

e

, (1)

wobei I

durch U

/R gegeben ist und f¨ ur τ = RC gilt. Ein ¨ ahnliches funktio- nales Verhalten gilt f¨ ur die Kondensatorspannung U

:

U

(t) = U

1 − e

) (2)

Direkt nach dem Einschalten fließt im RC-Kreis ein Maximalstrom I

, der den Kondensator aufl¨ adt und der mit der Zeitkonstante τ exponentiell auf Null abklingt. Entsprechend steigt die Spannung U

des Kondensators exponentiell mit der Zeitkonstante τ an, bis schließlich der Endwert, die Eingangsspannung U

, erreicht wird.

Das zeitliche Verhalten des Ladevorgangs wird allein durch die Zeitkonstante τ = RC bestimmt. Je gr¨ oßer τ , desto l¨ anger dauert es bis der Kondensator aufgeladen ist. Dies ist leicht einzusehen, denn ein hochohmiger Widerstand R bewirkt, dass im Mittel nur ein kleiner Ladestrom fließt. Entsprechend lange dauert es bis der Kondensator vollst¨ andig aufgeladen ist. Zudem bedeutet eine große Kapazit¨ at ein hohes

” Fassungsverm¨ ogen“ f¨ ur Ladungen. Daher ben¨ otigt eine große Kapazit¨ at bei gegebenem Ladestrom eine l¨ angere Ladezeit als eine kleine Kapazit¨ at.

Die Zeitkonstante τ kann durch Messung der Halbwertszeit T

der Kondensa- torspannung experimentell bestimmt werden. Aus Gleichung (2) folgt f¨ ur die Halbwertszeit

U

2 = U

1 − e

(3) und damit

τ = T

ln 2 . (4)

Statt einer Gleichspannungsquelle und einem Schalter wird das RC-Glied nun an eine Rechteckspannung mit der Periodendauer T angeschlossen. Steigt die Spannung von Null auf den Wert U

, so wird der Kondensator wie zuvor

2Die genaue Herleitung finden Sie in den meisten Lehrb¨uchern der Elektrodynamik

U_C

I U_E

t

t

t

Abbildung 3: eine rechteckf¨ ormige Eingangsspannung U

bewirkt ein kontinu- ierliches Laden und Entladen des Kondensators. Beachten Sie, dass sich die Richtung des Ladestroms I beim Entladen umkehrt.

diskutiert mit der Zeitkonstante τ aufgeladen. F¨ allt die Spannung dann wieder auf Null zur¨ uck, so wird der Kondensator ¨ uber den Widerstand R entladen. Der Entladevorgang erfolgt mit der gleichen Zeitkonstante τ wie der Ladevorgang. Der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung und des Ladestroms ist in Abbildung 3 dargestellt.

Beschreibung der elektrischen Eigenschaften einer Mem- bran eines Axons mit Hilfe von RC-Gliedern

Abbildung 4 zeigt den schematischen Aufbau eines Membranabschnitts eines Axons. Der Extrazellul¨ arraum wird vom Intrazellul¨ arraum durch eine elektrisch nicht leitende Doppellipidschicht getrennt. In dieser Schicht sind Ionenkan¨ ale eingebettet. Sie arbeiten spezifisch, d.h. sie lassen beispielsweise nur Natrium- oder Kalium- Ionen durch. Zwischen Extra- und Intrazel- lul¨ arraum besteht ein Membranruhespannung U

von typischerweise 70 mV.

Die Ursache dieser Spannung ist auf die unterschiedliche Verteilung der Ionen zur¨ uckzuf¨ uhren. Aufgrund der Diffusion wandern nun die einzelnen Ionen c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

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Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 243 RC-Glied

in Richtung des Konzentrationgradienten durch die spezifischen Ionenkan¨ ale auf die andere Seite der Membran. Dadurch w¨ urde sich der Konzentrations- unterschied mit der Zeit ausgleichen und die Membranruhespannung w¨ urde auf Null absinken. Um dies zu verhindern, befinden sich in der Doppellipid- schicht zus¨ atzlich noch Ionenpumpen, die kontinuierlich Ionen entgegen dem Konzentrationsgradienten bef¨ ordern.

Cl-

Cl-

Cl- Na⁺ Cl-

Na⁺ Na⁺

Cl-

K⁺ K⁺

K⁺ K⁺

K⁺ A-

A-

A- A-

A-

A-

Doppellipidschicht Extrazellulärraum

Intrazellulärraum

Na⁺

Cl-

A- Cl-

Na⁺ K^K++ Na⁺

Na⁺ K⁺ K⁺ K⁺

K⁺

Na⁺ K⁺

Cl- Na⁺

Cl-

Na⁺ Cl-

Cl- A-

Ionenpumpe K -Ionenkanal⁺

U₀

Abbildung 4: Schematischer Aufbau der Membran eines Axons.

Die elektrischen Eigenschaften solch einer Membran lassen sich mit Hilfe einfa- cher elektrischer Bauelemente wie Widerstand, Kondensator, Spannungs- und Stromquelle sehr gut modellieren. Betrachten wir dazu zun¨ achst die unter- schiedlichen Ionenkonzentrationen (Abbildung 5a). Im Inneren der Membran ist die Konzentration von Kaliumionen h¨ oher als im Außenbereich. Die damit verbundene Potentialdifferenz kann im Ersatzschaltbild durch eine Spannungs- quelle U

beschrieben werden. Diese Spannungsquelle erm¨ oglicht ein Fluss von Kaliumionen durch die Membran (Diffusionsstrom). Die Ionen k¨ onnen aber nur durch den Ionenkanal die Membran durchqueren. Der Kalium- Ionen- kanal stellt somit einen elektrischen Leiter f¨ ur Kalium dar. Da jeder Leiter, abgesehen von den Supraleitern, einen endlichen Widerstand besitzt, wird der Kalium- Ionenkanal im Ersatzschaltbild durch den Widerstand R

dargestellt

(Abbildung 5b).

Neben Kalium werden die elektrischen Eigenschaften der Membran noch von anderen Ionenarten bestimmt. Wir ber¨ ucksichtigen dies indem wir die Potenti- aldifferenzen bez¨ uglich aller Ionenarten durch verschiedene Spannungsquellen und die dazugeh¨ origen Ionenkan¨ ale durch unterschiedliche Widerst¨ ande dar- stellen. Dabei gilt es die richtige Polung der einzelnen Spannungsquellen zu beachten.

Cl Cl-

Na⁺ Cl-

K⁺ K⁺

A- A-

A- Cl-

K⁺ A-

Na⁺

Cl-

RK

UK

a) b)

RNa

UNa

c)

RCl

UCl

RK

UK

Abbildung 5: a) Doppellipidschicht mit einem Ionenkanal. b) Elektrisches Er- satzschaltbild einer Ionenart unter Ber¨ ucksichtigung der unterschiedlichen Io- nenkonzentration und der Wirkungsweise des Ionenkanals. c) Ersatzschaltbild f¨ ur drei verschiedene Ionenarten und Ionenkan¨ ale.

Da sich die Ionen auf der Oberfl¨ ache der Membran im Gegensatz zu deren Durchquerung vergleichbar gut bewegen k¨ onnen, d¨ urfen wir die einzelnen Er- satzschaltbilder parallel schalten (Abbildung 5c). Dies gilt aber nur f¨ ur einen kurzen Membranabschnitt. F¨ ur l¨ angere Abschnitte m¨ ussen zus¨ atzlich noch L¨ angswiderst¨ ande der Membran ber¨ ucksichtigt werden. Wir werden sp¨ ater noch darauf zur¨ uckkommen.

Als n¨ achstes m¨ ussen wir die Ionenpumpen in unser Ersatzschaltbild mit einbe- ziehen (Abbildung 6). Die Ionenpumpen sorgen daf¨ ur, dass stets ein ausreichen- der Ionen¨ uberschuss einer Ionenart auf einer der Membranseiten vorhanden ist.

Damit wirken sie dem konzentrationsabbauenden Diffusionsstrom durch die Io- nenkan¨ ale entgegen. Die Ionen, die durch Diffusion durch die Ionenkan¨ ale, die Membran durchqueren, werden mit Hilfe der Ionenpumpe wieder zur¨ uck trans- c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

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K⁺

RK

UK

a)

RNa

UNa

b)

RCl

UCl

Extrazellulärraum

Intrazellulärraum

Cl- Cl-

Na⁺ K⁺

A- Cl-

A-

Na⁺ K^K++ Na⁺

Na⁺ K⁺ K⁺ K⁺

Na⁺ K⁺

Cl- Na⁺

Cl-

Cl-

INa

IK

Abbildung 6: Ber¨ ucksichtigung einer Ionenpumpe der Membran. F¨ ur jede Io- nenart, die durch eine Ionenpumpe bef¨ ordert wird, muss im Ersatzschaltbild eine Stromquelle (im Schaltbild zwei ineinander greifende Kreise) parallel hin- zugef¨ ugt werden. Da die F¨ orderrichtungen f¨ ur K

- und Na

-Ionen entgegen- gesetzt verlaufen, fließen auch die einzelnen Str¨ ome in entgegengesetzten Rich- tungen.

portiert. Elektrisch gesehen stellt somit eine Ionenpumpe eine Stromquelle dar.

In Abbildung 6 ist eine Ionenpumpe dargestellt, die zum einen K

-Ionen in den Intrazellul¨ arraum transporiert und gleichzeitig Na

-Ionen in den Außenbereich der Zelle bef¨ ordert. Wir ber¨ ucksichtigen dies im Ersatzschaltbild, indem wir zwei Stromquellen einzeichnen, eine f¨ ur K

-Ionen und eine f¨ ur Na

-Ionen.

Schließlich m¨ ussen wir noch die elektrischen Eigenschaften der Doppellipid- schicht untersuchen. Wie bereits angemerkt wurde, k¨ onnen sich die Ionen auf der Oberfl¨ ache der Doppellipidschicht gut bewegen. Die Doppellipidschicht selbst ist f¨ ur die Ionen undurchl¨ assig; sie stellt einen elektrischen Isolator dar.

Solch eine Anordnung, aus zwei leitenden Elektroden (die Ober- und Unterseite der Doppellipidschicht), die durch einen Isolator getrennt sind, entspricht im Ersatzschaltbild einem Kondensator mit der Kapazit¨ at C

. Typische Werte f¨ ur die Membrankapazit¨ at C

eines Neurons liegen bei etwa 1 µF/cm

. In Abbildung 7 ist das gesamte Ersatzschaltbild eines Membranabschnitts dargestellt. Auf den ersten Blick scheint dieses recht kompliziert zu wirken.

Allerdings kann dies durch weitere ¨ Uberlegungen noch vereinfacht werden:

Nach dem Theorem von Th´ evenin, auf das hier nicht n¨ aher eingegangen werden soll, kann eine Stromquelle auch durch eine Spannungsquelle und

K⁺

RK

UK

a)

RNa

UNa

b)

RCl

UCl

Extrazellulärraum

Intrazellulärraum

Cl-

Cl-

K⁺

A- Cl-

A-

K⁺

Na⁺ K⁺

Na⁺

Cl-

Cl-

INa

IK

CM

Cl-

A-

Na⁺ -

K⁺

Cl- Cl-

Abbildung 7: Der Membranberich, der allein aus der nichtleitenden Doppelli- pidschicht besteht, wird im Ersatzschaltbild durch eine Kapazit¨ at beschrieben.

einen zus¨ atzlichen Serienwiderstand beschrieben werden. Weiterhin k¨ onnen alle Spannungsquellen und Widerst¨ ande (und somit auch die Stromquellen) zu einer Gesamtspannungsquelle und einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden. Ist man zudem nur an den passiven Eigenschaften der Membran interessiert, so kann auch die Spannungsquelle vernachl¨ assigt werden. Die Spannungsquelle hat nur Einfluss auf den Absolutwert der Membranruhe- spannung. Diese ist aber f¨ ur die passiven Eigenschaften v¨ ollig belanglos. Die passiven Eigenschaften eines Membranabschnitts k¨ onnen also allein durch einen Widerstand R

und einen parallel geschalteten Kondensator C

beschrieben werden (Abbildung 8a). Unsere bisherigen Betrachtungen bezogen sich nur auf einen Membranabschnitt des Axons. Sollen gr¨ oßere Bereiche eines Axons untersucht werden, so m¨ ussen auch L¨ angswiderst¨ ande ber¨ ucksichtigt werden. Das Ersatzschaltbild eines l¨ angeren Membranabschnitts ist in Abbil- dung 8b dargestellt. Mehrere RC- Glieder sind durch L¨ angswiderst¨ ande, die die Leitf¨ ahigkeit der Ionen ber¨ ucksichtigen, parallel geschaltet. R

stellt den Widerstand im extrazellul¨ aren Raum dar. Der Wert f¨ ur R

ist in der Regel sehr klein und kann daher vernachl¨ assigt werden. Der Widerstand R

des cytoplasmatischen Innenraums ist dagegen nicht zu vernachl¨ assigen. Er h¨ angt von der Querschnittsfl¨ ache des Axons und vom spezifischen Widerstand des Cytoplasmas ab.

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Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum f¨ ur Pharmazeuten Versuch 243 RC-Glied

a) b)

RM CM

R_L R_L R_L R_L R_L

R_L

RM CM RM CM RM CM

RM CM

a R_L^a R_L^a R_L^a R_L^a

Abbildung 8: Links: Ersatzschaltbild zur Beschreibung der passiven Eigenschaf- ten eines Membranabschnitts. Rechts: F¨ ur l¨ angere Membranabschnitte m¨ ussen zus¨ atzlich noch L¨ angswiderst¨ ande, die die Leitf¨ ahigkeit der Ionen entlang der Membran wiedergeben, ber¨ ucksichtigt werden. Aus Symmetriegr¨ unden wurden hier L¨ angswiderst¨ ande sowohl im Extra- als auch im Intrazellul¨ arraum einge- zeichnet.

Ausbreitung eines Signals entlang eines Axons

Als n¨ achstes wollen wir untersuchen, wie sich das Membranpotential U (x, t) entlang eines Axons mit der Entfernung und der Zeit ¨ andert, wenn man an einer Stelle einen Strom injiziert. Dabei beschr¨ anken wir uns wieder auf die passiven Membraneigenschaften, d.h. signalverst¨ arkende Mechanismen, wie z.B. spannungsgesteuerte Ionenkan¨ ale werden nicht ber¨ ucksichtigt.

Die Behandlung dieses Problems ist mathematisch sehr aufwendig und wird daher hier nicht analytisch durchgef¨ uhrt. Wir wollen jedoch die Ergebnisse anhand einiger Grafiken diskutieren.

Nehmen wir zun¨ achst an, dass am Anfang des Axons bei x = 0, bzw. am Eingang (Knoten 0) unseres Ersatzschaltbilds, eine rechteckf¨ ormige Reizspan- nung U

angelegt wird. Der Spannungsverlauf U (x, t) entlang des Axons (bzw.

analog an den Knotenpunkten im Ersatzschaltbild) ist im mittleren Teil in Abbildung 9 an vier unterschiedlichen Orten skizziert. Den Bildern kann man entnehmen, dass mit zunehmendem Abstand von der Einkopplungsstelle, die Signale immer st¨ arker ged¨ ampft werden und der Signalanstieg immer langsa- mer verl¨ auft. Eine exakte Berechnung dieser Signalverl¨ aufe ist in Abbildung 10 zu sehen. Die linke Abbildung zeigt den Signalverlauf an unterschiedlichen Or- ten des Axons (oder analog an den Knoten im Ersatzschaltbild) als Funktion der Zeit. Die einzelnen Kurven zeigen alle ein ¨ ahnliches Verhalten. Beim Ein-

RM CM

R_L R_L R_L R_L R_L

RM CM RM cM RM CM

U

t

U

t U

t U

t U

t Reizelektrode

Registrierelektroden

U

Axon

x

0

Ersatzschaltbild

U

t

U

0 1 2 3 4

Knoten

Abbildung 9: Oben: Ausbreitung eines Reizes entlang eines Axons. Bei x = 0 wird ein rechteckf¨ ormiges Reizsignal in den Axon eingespeist. Die Ausbreitung dieses Signals wird mit Hilfe von Registrierelektroden gemessen. Unten: Elek- trisches Ersatzschaltbild. Das Reizsignal wird hier am Eingang (Knoten 0) ein- gekoppelt. Der zeitliche Verlauf des sich ausbreitenden Signals wird an den verschiedenen Knoten untersucht. Mitte: Qualitativer Signalverlauf an unter- schiedlichen Orten als Funktion der Zeit.

c Dr. J.Wagner - Physikalisches Anf¨ angerpraktikum - Stand 06/2005, V. 1.0

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