Dr. Ronald St ¨over WiSe 2008/2009 Zentrum f ¨ur Technomathematik
Universit ¨at Bremen
Numerische Mathematik 2
Ubung Nr. 10 ¨
Aufgabe 1 (Mixed Pickles) 2+1+3 Punkte
a) Kurze Wiederholung zu Lineare Algebra: Eine bilineare Abbildungb:Cn×Cn−→Cheißt Skalarprodukt, falls
b(x, y) =b(y, x) f ¨ur alle x, y , b(x, x)>0 f ¨ur alle x6= 0 gilt. Sei nunA∈Cn×ngegeben. Unter welchen Bedingungen anAdefiniert
b(x, y) := X
i
X
jaijxiyj
ein Skalarprodukt?
b) SeiA ∈ Rn×nsymmetrisch und positiv definit. Welche Basen des Rnsind sowohl ortho- gonal wieA-orthogonal?
c) Gegeben seienA ∈ Rn×n symmetrisch und positiv definit,0 6= b ∈ Rn sowie A-ortho- gonale Richtungenp(0), . . . , p(n−1). Geben Sie einen Startvektorx(0) 6=A−1b an, sodass das Verfahren der konjugierten Richtungen Vektorenx(k)generiert, f ¨ur diex(n−1) =. . .= x(1) =x(0)erf ¨ullt ist. Was gilt bzgl.x(n)?
Aufgabe 2 (Verfahren der konjugierten Richtungen) 6 Punkte Implementieren Sie das Verfahren der konjugierten Richtungen, wobei Sie die Suchrichtungen folgendermaßen generieren:
p(0)=r(0), p(k+1) =r(k+1)+r(k+1)Tr(k+1)
r(k)Tr(k) p(k) f ¨urk = 0,1,2, . . . . Ihr Programm soll auch die Folgen
kr(k)k2
k
und
kx(k)−x∗k2
k
zur ¨uckgeben. Verwenden Sie ein geeignetes Abbruchkriterium.
Testen Sie Ihr Programm an folgenden Beispielen und fertigen Sie dazu jeweils geeignete Plots (Matlab-Hinweis:semilogy) zum Residuen- und zum Fehlerverlauf an. Kommentieren Sie Ihre Ergebnisse!
a) A ∈ R100×100 vollbesetzt, s.p.d., mit den Eigenwerten λk = 1, . . . ,100, bi = P
jaij, x(0) = 0.
b) A=
2 −1
−1 2 −1 . . . ... ...
−1 2 −1
−1 2
∈Rn×n mit n= 100,1.000,10.000,
bi =P
jaij,x(0) = 0.
c) A =LLT mit
L=
l1
l2 . . .
l24
· · ·
∈R25×25, = 10−4, li = i+1i , b=
1
... 1
undx(0) =x∗−10−kbf ¨urk = 2,4,6.
Aufgabe 3 (Schaltkreissimulation) 3 Punkte
Ein Beispiel f ¨ur einen elektrischen Schaltkreis ist der in der Abbildung dargestellte doppelte Dif- ferenzierer mit zwei Operationsverst ¨arkern.
C1 C
R 2
1 R
1 2 3 2 4
U0= 0 Uin
I
1 I
2 -
+
-
+
Dieser Schaltkreis wird durch die DAE
C1
C2 −C2
−C2 C2
0 0
0
U˙1(t) U˙2(t) U˙3(t) U˙4(t) I˙1(t) I˙2(t)
=
− 1
R1 1
R1 0 0
1 R1 −R1
1 1 0
− 1
R2 1 R2 0 0
1 R2 −R1
2 0 1
α 1 0 0
0 0 α 1
U1(t) U2(t) U3(t) U4(t) I1(t) I2(t)
+f(t)
mit
f(t) = C1U˙in(t) 0 · · · 0 T
modelliert, wobei man als Parameter C1 =C2 = 10−6 (Kapazit ¨aten), R1 =R2 = 103 (Widerst ¨ande), α = 104(Verst ¨arkungsfaktor),
und als EingangssignalUin(t) = cos(200πt)auf dem IntervallI= [0,0.01]w ¨ahlt.
Berechnen Sie zum Startwertx0 = 0.395·
10−8,−10−4,10−4,−1,10−3,−10−3T
die L ¨osung der DAE. Geben Sie Plots der sechs Komponenten wieder.
Abgabe bis: 12. Januar 2009 10.00 Uhr Postfach 84
