Geben Sie jeweils die Ordnung der folgenden Differentialgleichungen an

Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik 1 (Differential- und Integralrechnung)

Dr. Caroline L¨obhard

Wintersemester 2015/16, Blatt 1: Grundlagen Differentialgleichungen

V 1.1. Geben Sie jeweils die Ordnung der folgenden Differentialgleichungen an. Entscheiden Sie, ob die Differentialgleichungen linear sind und geben Sie in diesem Fall an, welche der in Def.1.1 definierten Eigenschaften vorliegen. Geben Sie, falls m¨oglich, Anfangsbedingungen an, so dass die Differentialgleichungen nach dem Satz von Picard-Lindel¨of jeweils eine eindeutige L¨osung besitzen.

a) e^2ty⁽³⁾(t)−2ty⁰⁰(t) + sin(t) = 0, b) e^2ty⁽³⁾(t)−2ty⁰⁰(t)y(t) = 0,

c) 2y⁰⁰(t)−2y⁰(t) + 4y(t) = 0,

d) |y⁰(t)|+ 2y(t) = 0,

e) sin(y⁰) +y⁰⁰(t) = tan(πt²).

V 1.2.Beweisen Sie Satz 1.5 (ii) der Vorlesung.

V 1.3.Faktorisieren Sie die folgenden Polynome in Cund geben Sie jeweils die Nullstellen und deren Vielfachheiten an.

a) p(λ) =λ²+ 4, b) q(λ) =λ⁶−3λ⁴+ 3λ²−1, c) s(λ) =λ²+ 2λ+ 2.

V 1.4.Wir betrachten die Differentialgleichung y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) =e^−4t. F¨ur einen Parameter a∈R sei y_p(t) =ate^−4t ein Ansatz f¨ur eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung.

a) Berechnen Siey_p⁰(t) undy_p⁰⁰(t).

b) Bestimmen Sie den Parameter a so, dass yp die Differentialgleichung l¨ost, indem Sie yp in die Differentialgleichung einsetzen.

S 1.5. Entscheiden Sie jeweils, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung.

a) Die Funktionen e^t und cos(t) sind linear unabh¨angig.

b) Die Funktionen t² und 2t² sind linear unabh¨angig.

c) Jede lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist explizit.

d) Es seiy1 eine L¨osung der Differentialgleichungy⁽ⁿ⁾₁ (t) =f1(t, y1(t), . . . , y₁⁽ⁿ⁻¹⁾(t)), undy2 sei eine L¨osung vony₂⁽ⁿ⁾(t) =f₂(t, y₂(t), . . . , y₂⁽ⁿ⁻¹⁾(t)). Dann erf¨ullty=y₁+y₂ die Gleichung

y⁽ⁿ⁾(t) =f₁(t, y(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) +f₂(t, y(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)).

S 1.6. Wir betrachten die Differentialgleichung y⁰⁰⁰(t)−4y⁰(t) = 27t²e^t. F¨ur Parameter p₀, p₁, p₂ ∈R seiy_p(t) = (p₂t²+p₁t+p₀)e^t ein Ansatz f¨ur eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung.

a) Berechnen Siey_p⁰(t) undy_p⁰⁰(t).

b) Bestimmen Sie die Parameterp0, p1, p2 ∈Rso, dassypdie Differentialgleichung l¨ost, indem Sieyp

in die Differentialgleichung einsetzen.

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 1