Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Blatt 4: Vektorr¨aume, Erzeugendensystem, Basis
V 4.1. Stellen Sie die folgenden Mengen graphisch dar. Entscheiden Sie jeweils, ob die Menge ein Vektorraum ist.
a) A=
λ1
1 0
+λ2
0 1
λ1, λ2∈R
,
b) B=
λ1 2
1
λ1 ∈R
,
c) C=
λ1
1 0
+ 1
1
λ1 ∈R
,
d) D=
λ1
1 0
+λ21
0 1
λ1∈R
,
e) E=
λ1 1
1
+λ2 −1
−1
λ1, λ2 ∈R
,
f) F =
λ1
1 1
+λ1
−1
−1
λ1 ∈R
.
V 4.2.Beweisen Sie die Aussagen (iii) und (iv) aus Satz 2.3 der Vorlesung.
V 4.3.Entscheiden Sie jeweils, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begr¨unden Sie Ihre Entscheidung.
a) Die Menge {e−x, xe−x, x2e−x} ⊂Abb(R) ist linear unabh¨angig.
b) Die Menge {1, x, x2, x3} ist eine Basis vonP3(R).
c) Die MengeU aller differenzierbaren Funktionen ist ein Untervektorraum des Vektorraums C(R) aller stetigen Funktionen.
V 4.4.Berechnen Sie jeweils die KoordinatenvB des Vektors v in der geordneten Basis B:
a) V =R2, v= 1
0
, B = 0
1
, 1
−1
,
b) V =R3, v=
1 1 2
, B=
0 1 0
,
0 0 1
,
1 0 1
,
c) V =P3(R), v=p(x) =x2−2x+ 1, B= x2, x+ 1, x3, x+x2 ,
d) V =L(B)⊂Abb(R), v=f(x) = (xe−x/2+e−x/2)·(xe−x/2−e−x/2), B = e−x, xe−x, x2e−x . S 4.5.Geben Sie jeweils eine Basis und die Dimension der angegebenen Vektorr¨aume an. Begr¨unden Sie ihre Wahl.
a) R3, b) P2(R),
c) {y∈Abb(R)|y00(t) + 2y0(t) +y(t) = 0},
d) Pk(R) f¨urk∈N,
e) L({(1,1,0,0),(1,2,0,1),(2,3,0,1)})⊂R4, f) L({(x, x)|x≥0})⊂R2.
S 4.6.Es sei V einK-Vektorraum.
a) Zeigen Sie, dass die Menge L(∅) ={0} ein Untervektorraum vonV ist.
b) Es sei M ={b1, b2} ⊂ V eine Menge mit zwei Elementen. Beweisen Sie, dass L(M) ein Unter- vektorraum vonV ist.
c) Es sei M ⊂ V eine beliebige Teilmenge von V. Beweisen Sie, dass L(M) ein Untervektorraum von V ist (vgl. Satz 2.9(ii)).
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2 Abgabe der S-Aufgaben am 23.5.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 23.5.2016
