Aufgaben zu Kapitel 2 der Vorlesung
„Randomisierte Algorithmen“
Aufgabe 2.1
Es seiFein Körper undP1(x),P2(x)undP3(x)seien drei Polynome ausF[x] mit degP1 ≤ n, degP2 ≤ n und degP3 ≤ 2n. Die Aufgabe besteht darin, herauszufinden, ob P1(x)P2(x) = P3(x) ist oder nicht. Betrachten Sie den folgenden
Algorithmus
hEs sei S⊆Feine Teilmenge mindestens der Größe2n+1i fori←1 tokdo
r← hzufällig gleichverteilt gewähltes Element aus Si ifP1(r)P2(r)6=P3(r)then
return no fi
od
return yes
• Beweisen Sie: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus fälschlicher- weiseyesausgibt, ist kleiner gleich(2n/|S|)k.
• Welche Zeit benötigt man mit dem naheliegenden deterministischen Algorithmus für die Lösung des Problems? Und welche Laufzeit hat man bei obigem randomisierten Algorithmus zu erwarten?
Aufgabe 2.2
Gegeben sei ein deterministischer Algorithmusi sPr i m e, der eine natürliche Zahlnals Eingabe, überprüft ob sie eine Primzahl ist oder nicht.
Finden Sie einen randomisierten Algorithmus, der zu einer natürlichen Zahlm≥2 als Eingabe als Ausgabe zufällig gleichverteilt jede Primzahlpmit 2≤ p≤maus Ausgabe produziert.
Was können Sie über die Laufzeit Ihres Algorithmus sagen?
Aufgabe 2.3
Beweisen Sie, dass für dien-te Harmonische Zahl gilt:Hn=∑ni=11i ∈Θ(lnn).
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