Aufgaben zu Kapitel 9 der Vorlesung
„Randomisierte Algorithmen“
Aufgabe 9.1
Wie in der Vorlesung seiG
= (
V,E)
ein zusammenhängender ungerichteter Graph und 0<
β≤
1 eine reelle Zahl. Mitd(
i)
bezeichnen wir den Grad von Knoteniund es sei d=
maxi∈Vd(
i)
. Die Übergangswahrscheinlichkei- tenPij der Markov-Kette MG,β seien wie folgt definiert:Pij
=
β/d fallsi
6=
jund(
i,j) ∈
E 1−
d(
i)
β/d fallsi=
j0 sonst
Man beweise:
1. Die Gleichverteilung ist die stationäre Verteilung vonMG,β. 2. Fürβ
<
1 ist MG,β aperiodisch.3. Fürβ
<
1 ist MG,β reversibel.Aufgabe 9.2
Zeigen Sie, dass die Markov-Kette des Metropolis-Algorithmus (Punkt 9.8 der Vorlesung) reversibel ist.
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