Vorlesung 9

(1)

Vorlesung ⁹

Diskrete ^Struktureu

Steffen ^Reith

22 . 12 . 17

(2)

4.2 ^.

Eigeuschafteu

^von

^Relatiouen

¹

Def

^: ^Sci ^R ^line ^biuare

^Relation ^iebv

^A ^, ^dauu

^heipt

is R _reflexive

_,

falls ^tae

^A

gilt

^aRa

ii , R

symmetvisch

_,

falls

^F ^a. ^be ^A

gilt

^arb

^stets

bra fotgt

^.

iii ,

R antisymmetric

^,

_falls ^fqbea

âus âRb ûnd

bra

stets _a=b folgt

^.

iv ,

R transitive

_,

falls

^H â. ^be Â âus âRb ând ^bRc

stets

^are

folgt

^.

(3)

Btp

^: ^Sei

^R=2(

^x.

^g) ^eR2l×=y ^}

2

Rist reflex

^iv ^,

symmetvisch

^,

autisymmetvisch

^and ^beausitiv ^.

Bsp_

^: ^Sci ^T= ²

⁽

^x.

g)

^€ ^IN²¹

Xly ^}

T

ist

oeflexiv

, 7

syumehisoh

,

autisgmmewisch

^and

^transit

^'v

Bspi

^Sci ^K

^=L

⁽ ^x ^,

^g) ^£221 ^x£y ^}

Kist veflexiv

, i

sgmmetvisch

^,

antisymmetric

^and

^trausitiv Sate ^sine ^Relation ^Rist _geuau

^dauu

sgmmetvisch

^, ^weuu

pile ^R

^.

Es gilt ^sogar ^R

^-

^Rt

^.

(4)

Beweis

^: ³

-

" ⇒

"

Dean

^R

syumetrischist folgt

^aus ^aRb

stets bra

Aus do

Def

^. ^do ^Umhehr ^relation

folgt

^die

^Gleich

^-

wertigheit

ôou â ^Rb ând ^b

^Rita

^.

Sei L b

,

a)

^e

Rt

, d. h. a

Rb

and dawit

(

_a.

b) ER

, so vie

(

b_,

a)

ER

. Also

pile

R .

net

^Rb

" ⇐ ^" Gilt

Pile

R

, daun

ist

b

Rna

^and bra

D. ^h ^. ^aus aRb

folgt ^stets

^bra ^.

Daeiue Relation R symmetrischist gdw

^R ^"

^symmehisch

( vgl

^.

Definition ⁾

^,

vgibt ^sick ^R

^-

^{( R}

^' ^'

⁾

^' ¹ ^ER ^" ^und

pile

R .

Zusammeu R

⁼ ^R ^'

? #

(5)

Def

^: ^Sei

^R

^line ^binare

^Relation

^, ^die

reflexiv

^, ⁴

symmewisch

^und

^trausitn

^ist , dauu

heipt ^R

=€

^'

^A ^quivaleuz ^relation

^.

Bsp_ Sei

A ⁼ _a Menge

aller Wareueiues Super

^marks ^"

R

⁼

2 ⁽

x.

g)

^e

^Al

2 ^× ^hat

deugleicheu ^Preis wicy ^}

Bs#

^Sci

^B

⁼ ⁿ

^Menge

^aller

^Meuscheu

^"

s ⁼

2 (

_x.

g) ^EBXB

^I ^x

^ist

^Freund

_vouy ^}

⇒ S ist

ttquivaleuz

^relation

Dsp

^: ^Sci

^L

⁼

^LHI

^Hist

aussageulogiseheformel ^}

I

=L ⁽

He_, Hz

) ELY ^Heist logischaquivakutzultz ^}

(6)

÷

"

ist line

A' quivaleuz

^relation ⁵

Bp

^: ^Sci

^B

⁼ ^2×2320 ^} ^and ^re

^Ha

^,

^b)

^, ⁽ ^a

^d) ⁾ ^£1321

a. D=

b.

c

}

, dauu ^ist ^~ line ^'

A quiualeuz ^relation

^.

a@"b§c veflexiv

^:

⁽

^a.

^b)

^~

⁽

^a

^,b ⁾

^,

^da

^a.

^b=

^b. ^a

sgmmehisch

^:

⁽

^a ^,

^b)

^~ ⁽ ^c^,

d)

_, ^dauu ^a. ^D=

^b.

^c

⇒ c. b ⁼ d. _a

⇒

(

e _,

d)

^~

⁽

^a ,

b)

trausitiv

:

(

_a.

b)

^~ ⁽ ^c_, ^d

)

^und

⁽

^c,

d)

^~ ( _e.

f)

^, ^dawn

adabc

^und

cf=

^de ^. ^Also

gilt adf

⁼

bcf

^and

eiuseheuugibt adffabdef

^,

^damit _af

⁼ ^be _, ^also

(7)

6 D. h ^.

(

^a _,

b)

^~ ⁽ ^e.

f)

⇒ a

Bruchrechueu /

Gleich ^heit ^v ^.

Bricheu

^"

Def

^: ^Sein ^line ^'^A

quivaleuz ^relation ^inbv

Â ând ÂEA ^.

Dawn heipt

[

]~=

a

²

^be ^A

^I

^an ^b

^}

die

A'quivaleuzHa=

^von ^a

⁽ _btgl

^, ^~

⁾

^.

^Die ^Clemente

in [

a]

_~

bezeichnet

man als

Reprciseutaut

^.

Def

^: ^Sci ^A

¥4

^line

_beliebige Menge

^. ^Eiue

Zerkgung_

^oder

Partition

^von ^A ^ist ^line

^Families ^ZEPCA )

^wit

(8)

i_,

A

⁼

^U x

⁷ XEZ

ii,

0 ¢

^z

iii ,

Fio th

,

the

^Z ^wit

Met Mz gilt ^Men

^Mz

^=¢

Sake

^Sei ^A

.to/.Eiuebel.ttquivaleuzrelatiouiiberAdefiuiwteiueZerleguugZvouAundumgekehrt

liegt ^jede

^Zer

^Kyung

^2- ^van ^A ^Weider ^line ^'^A

^quivaleuz

^-

relation R fest

^.

Bevan

see

^.

Aa =L beat

^an ^b

Vorlesung 9

Vorlesung 9

Diskrete Struktureu

Steffen Reith

Eigeuschafteu

Relatiouen

Def

Relation iebv

heipt

is R reflexive

falls tae

gilt

symmetvisch

falls

gilt

stets

bra fotgt

R antisymmetric

falls fqbea

stets a=b folgt

R transitive

falls

stets

folgt

Btp

R=2(

g) eR2l×=y }

Rist reflex

symmetvisch

autisymmetvisch

Bsp_

(

g)

Xly }

T

oeflexiv

syumehisoh

autisgmmewisch

transit

Bspi

=L

g) £221 x£y }

Kist veflexiv

sgmmetvisch

antisymmetric

trausitiv Sate sine Relation Rist geuau

sgmmetvisch

pile R

Es gilt sogar R

Rt

Beweis

Dean

syumetrischist folgt

Def

folgt

Gleich

wertigheit

Rita

a)

Rt

Rb

(

b) ER

(

a)

pile

net

Pile

ist

Rna

folgt stets

Daeiue Relation R symmetrischist gdw

symmehisch

( vgl

Definition )

vgibt sick R

( R

)

pile

Zusammeu R

Vorlesung ⁹

Diskrete ^Struktureu

Steffen ^Reith

^Relatiouen

^Relation ^iebv

^heipt

is R _reflexive

falls ^tae

^stets

_falls ^fqbea

stets _a=b folgt

^R=2(

^g) ^eR2l×=y ^}

⁽

Xly ^}

^transit

^=L

^g) ^£221 ^x£y ^}

^trausitiv Sate ^sine ^Relation ^Rist _geuau

pile ^R

Es gilt ^sogar ^R

^Rt

^Gleich

^Rita

folgt ^stets

^symmehisch

Definition ⁾

vgibt ^sick ^R

^{( R}

⁾

^R

^Relation

^trausitn

heipt ^R

^A ^quivaleuz ^relation

2 ⁽

^Al

deugleicheu ^Preis wicy ^}

^B

^Menge

^Meuscheu

g) ^EBXB

^ist

_vouy ^}

^L

^LHI

aussageulogiseheformel ^}

=L ⁽

) ELY ^Heist logischaquivakutzultz ^}

^B

^Ha

^b)

^d) ⁾ ^£1321

A quiualeuz ^relation

⁽

^b)

⁽

^,b ⁾

^da

^b=

⁽

^b)

^b.

⁽

⁽

^damit _af