Aufgaben zu Kapitel 4 der Vorlesung

Aufgaben zu Kapitel 4 der Vorlesung

„Randomisierte Algorithmen“

Aufgabe 4.1

Zeigen Sie: SindX undYunabhängige Zufallsvariablen (die numerische Werte haben), dann sind auche^X unde^Y unabhängige Zufallsvariablen.

Aufgabe 4.2

Eine ZufallsvariableX_i heißtgeometrisch verteilt mit Parameter p, wenn sie Wertet

∈

N

= {

1, 2, 3, . . .

}

annimmt und gilt:

Pr

[

X_i

=

t

] =

p

(

1

−

p

)

^t−1 .

1. Berechnen Sie den Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zu- fallsvariablen.

2. Es seien nunX₁, . . . ,Xnunabhängige, identisch und geometrisch (mit gleichem Parameter p) verteilte Zufallsvariablen undX

=

X₁

+ · · · +

Xn. Berechnen Sie den Erwartungswertµvon X.

Aufgabe 4.3

Eine Münze, die bei jedem Wurf mit Wahrscheinlichkeit 1/2 Zahl zeigt, wirdnMal (unabhängig) geworfen. Die binäre ZVX_i sei 1, falls beimi-ten Wurf Zahl kommt und 0 sonst. Es seiX

=

_∑X_i.

• Welche Schranke liefert die Chebyshev-Ungleichung für die Wahr- scheinlichkeit

Prh X

−

ⁿ

2

≥

ⁿ

4 i

?

• Welches Ergebnis liefert die Anwendung der Chernoff-Schranken für Prh

X

−

ⁿ

2

≥

ⁿ

4 i

?

• Welches Ergebnis liefert die Anwendung der Chernoff-Schranken für Pr

X

−

ⁿ

2

≥

¹

2

√

6nlnn

? 1

Aufgabe 4.4

Betrachten Sie die folgende Variante r a n dBi tFi x i n g des Bit-Fixing- Algorithmus:

• Solange aktuelle Adressexund Zieladressey verschieden sind, wird aus den Bitpositionen, an denen sichxundyunterscheiden, zufällig gleichverteilt einigewählt und der Pfad vonxnachx

⊕

e_i fortgesetzt.

Es soll bewiesen werden, dass wie beim deterministischen Bit-Fixing auch bei dieser Vorgehensweise beim Routen der Permutation „Matrix- Transposition“ mit großer Wahrscheinlichkeit noch „große“ Staus entstehen.

Hier ein paar Hinweise zu einer möglichen Vorgehensweise:

• Es seic

=

d/2.

• Betrachten Sie die Pakete, die in den

√

NKnoten mit den Adressen x

= (

x₁,x₂, . . . ,x_c

| {z }

cBits

, 0, 0,

· · ·

, 0

| {z }

cBits

)

starten.

• Betrachten Sie eine beliebige aber feste Zahlkmit 1

≤

k

≤

c(die Sie später geeignet wählen) und die Menge

S_k

= {(

x₁,x₂, . . . ,x_c, 0, 0,

· · ·

, 0

) |

genauk der erstencBits sind 1

}

Aufgaben:

1. Beweisen Sie für alle 1

≤

k

≤

n:

(a) ⁿ_kk

≤ (

ⁿ_k

)

(b)

(

ⁿ_k

) ≤

^en_k^k. Hinweis zu (b): Stirlings Formel.

2. Wie groß istS_k? Geben Sie eine Abschätzung ohne Binomialkoeffizi- enten an.

3. Es seix

∈

S_k undYx die Zufallsvariable mit Y_x

=

(1 falls xdurch Knoten

(

0, 0, . . . , 0

)

transportiert wird 0 sonst

Geben Sie eine Abschätzung fürE

[

Y_x

]

an, in der keine Binomialkoef- fizienten vorkommen.

2

4. Es seiZ_k

=

_∑x∈S

kY_x. Schätzen SieE

[

Z_k

]

nach unten ab.

5. Geben Sie eine legale Wahl fürkan, so dassE

[

Z_k

]

exponenziell ind ist. Was bedeutet das?

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