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Aufgaben zu Kapitel 6 der Vorlesung

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Academic year: 2021

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Aufgaben zu Kapitel 6 der Vorlesung

„Randomisierte Algorithmen“

Aufgabe 6.1

Es sei die Abkürzung

A

(

x

) =

1

1 x

x

definiert. Zeigen Sie: Fürx

1 ist A

(

x

)

ist monoton wachsend und

xlimA

(

x

) =

1 e

Lösung 6.1

Es seix

1. Wir schreiben zunächstA

(

x

) =

exln(11/x)

=

eB(x) und sehen unsB

(

x

) =

lnA

(

x

)

an.

B

(

x

) =

xln

1

1 x

=

xln

x

1

x

B0

(

x

) =

ln

(

1

1

x

) +

x x x

1

1 x2

=

ln

(

1

1

x

) +

1 x

1 B00

(

x

) =

x

x

1

·

1

x2

1

(

x

1

)

2

=

1

x

(

x

1

) −

1

(

x

1

)

2

Für x

>

1 ist B00

(

x

) <

0 also ist B0

(

x

)

monoton fallend. Für x

geht B0

(

x

) →

0, also istB0

(

x

)

positiv. Also wächst B

(

x

)

monoton fürx

1. Da ex eine monoton wachsende Funktion ist, ist mitB

(

x

)

folglich auch A

(

x

)

monoton wachsend.

Außerdem ergibt sich mit Hilfe der l’Hospitalschen Regeln

xlimB

(

x

) =

lim

x x

x1

·

x·11x·(2x1)

x12

=

lim

x

x

x

1

= −

1

1

(2)

Also ist limxA

(

x

) =

e1. Aufgabe 6.2

Für einen GraphenGsei wie in der Vorlesung L

(

G

)

die Menge der lokal minimalen Kanten undB

(

G

)

der Graph, der nach einer Bor ˚uvka-Phase aus Gentsteht. Zeigen Sie im Detail, dass die Kanten ausL

(

G

)

und die Kanten eines MST vonB

(

G

)

zusammen einen MST von Gbilden.

Gehen Sie davon aus, dass alle Kantengewichte paarweise verschieden voneinander sind.

Lösung 6.2

(Dies ist der Text aus dem Skript mit Erweiterungen. Man könnte hier und da noch pingeliger argumentieren, aber das muss hoffentlich nicht sein.)

(i) Jeder aufspannende BaumT von G(gleichgültig, ob minimal oder nicht), der alle Kanten ausL

(

G

)

enthält, induziert einen aufspannen- den Baum T0 von B

(

G

)

mit w

(

T0

) =

w

(

T

) −

w

(

L

(

G

))

, indem man ausTdie Kanten entfernt, die in L

(

G

)

liegen.

Man muss sich überlegen, dassT0 zusammenhängend und zyklenfrei ist. Es sollte klar sein, dass andernfalls schonTdie erste bzw. zweite Eigenschaft auch nicht gehabt hat.

(ii) Umgekehrt gilt auch, dass jeder aufspannde Baum T0 von B

(

G

)

einen aufspannenden Baum ¯T0 von Ginduziert mitw

(

T

) =

w

(

T0

) +

w

(

L

(

G

))

, indem man zu T0 die Kanten ausL

(

G

)

hinzu nimmt.

Man muss sich überlegen, dass ein so konstruiertes T zusammen- hängend und zyklenfrei ist.L

(

G

)

ist ein Wald in G(siehe Vorlesung), und zwar ein aufspannender, denn jeder Knoten besitzt eine lokal minimale Kante. Damit ergibt sich der Zusammenhang vonT. Hätte Teinen Zyklus, so könnte man daraus durch Kontraktion der Kanten inL

(

G

)

einen Zyklus inT0 konstruieren.

(iii) Sei nunTeinminimaleraufspannender Baum vonGundB

(

T

)

der kor- respondierende aufspannende Baum vonB

(

G

)

. Wäre B

(

T

)

nicht mi- nimal fürB

(

G

)

, sondern etwaT0, so hätte der dadurch induzierte auf- spannende Baum ¯T0 vonGnur Gewichtw

(

T¯0

) =

w

(

T0

) +

w

(

L

(

G

)) <

w

(

B

(

T

)) +

w

(

L

(

G

)) =

w

(

T

)

im Widerspruch zur Minimalität vonT.

2

(3)

Aufgabe 6.3

Geben Sie „die“ Definition von„minimaler aufspannender Wald“an.

Lösung 6.3

Ein minimaler aufspannender Wald eines GraphenGist ein Wald, der für je- de ZusammenhangskomponenteZvonGeinen minimalen aufspannenden Baum enthält.

3

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