a) Sei G eine Gruppe, h ∈ G ein Element von G. Zeige: die Abbildung c h : G −→ G, g 7→

Prof. Dr. M. Rapoport WS 2003/04 Dr. U. G¨ ortz

Lineare Algebra I Pr¨ asenzaufgaben, Teil 10

Aufgabe 5

a) Sei G eine Gruppe, h ∈ G ein Element von G. Zeige: die Abbildung c h : G −→ G, g 7→

hgh ⁻¹ , ist ein Isomorphismus.

b) Sei K ein K¨ orper und n ≥ 2 eine nat¨ urliche Zahl. Die Abbildung J : GL _n (K) −→ M _n (K) sei definiert durch

J(A) = ^t (A ^{− 1} ).

Zeige:

i) J(A) = ( ^t A) ^{− 1} .

ii) J (A) ∈ GL _n (K) f¨ ur alle A ∈ GL _n (K).

iii) J ◦ J = id _Gl

_(K) .

iv) J ist ein Isomorphismus von GL _n (K) auf sich.

v) J bildet SL _n (K) bijektiv auf sich ab.

c) Zeige, dass die Abbildung J : SL n (K) −→ SL n (K) genau dann von der Form c _h mit h ∈ SL _n (K) ist, wenn n = 2 gilt.

Aufgabe 6

Sei K ein K¨ orper und seien a ₁ , . . . , a _n , b ₁ , . . . , b _n ∈ K. Zeige:

det



















1 1 1 1 · · · 1 b ₁ a ₁ a ₁ a ₁ · · · a ₁ b ₁ b ₂ a ₂ a ₂ · · · a ₂ b 1 b 2 b 3 a 3 · · · a 3

.. . .. . .. . .. . .. . b 1 b 2 b 3 b 4 · · · a n



















=

n

Y

i=1

(a i − b i ).

Aufgabe 7

Sei K ein K¨ orper, seien x, a 0 , . . . , a n − 1 ∈ K. Sei

A =



















x − a 0

− 1 x − a ₁

− 1 x − a ₂

. .. ... .. .

− 1 x − a _n−2

− 1 x − a n − 1



















∈ M n (K).

Berechne det A.

Aufgabe 8

Sei n ≥ 1 eine nat¨ urliche Zahl, und seien f¨ ur 1 ≤ i, j ≤ n stetige Funktionen f ij : I −→ R auf einem Intervall I ⊆ R gegeben.

a) Zeige, dass die Abbildung

I −→ R , t 7→ det







f 11 (t) · · · f 1n (t)

.. . .. .

f n1 (t) · · · f nn (t)







eine stetige Funktion auf I ist.

b) Seien a, b, c : (0, π) −→ R stetige Funktionen. Zeige: das Gleichungssystem





cos(t) sin(t) t

− sin(t) cos(t) 2t

0 0 sin(t)







 x(t) y(t) z(t)



 =



 a(t) b(t) c(t)





hat f¨ ur alle t ∈ (0, π) eine eindeutige L¨ osung



 x(t) y(t) z(t)



, und die Funktionen

x, y, z : (0, π) −→ R

sind stetig.