Geometrische Methoden in der Diskreten Optimierung: ¨ Ubung 7

Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2015/16

Geometrische Methoden in der Diskreten Optimierung: ¨ Ubung 7

Besprechung am 08.12.2015

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass f¨ur jedes Polytop P seine Erweiterungskomplexit¨at xc(P) durch eine Erweiterung (Q, π) mit einem volldimensionalen Polytop Q angenommen wird.

(Pr¨aziser: Es existiert eine Erweiterung (Q, π), sodass Q⊆ R^q ein q-dimensionales Polytop mit xc(P) vielen Facetten ist.)

Aufgabe 2

Sei P := conv{x ∈ {0,1}ⁿ : Pn

i=1x_i ∈ 3Z}. Geben Sie eine erweiterte Formulierung f¨ur P der Gr¨oße O(n) an.

Aufgabe 3

Sei P ={x∈R^p :Ax ≤b} ein Polytop. Zeigen Sie, dass

homog(P) ={(x, z)∈R^p×R:Ax≤z·b, z ≥0}

gilt. Zeigen Sie außerdem, dass die Bedingung z ≥0 im Fall dim(P)≥1 redundant ist.

Aufgabe 4

Sei X ⊆ {0,1}ⁿ und v ∈X. Zeigen Sie:

xc(conv(X\ {v}))≤n·(xc(conv(X)) + 1).