Geometrische Methoden in der Diskreten Optimierung: ¨ Ubung 1

Dipl.-Math. Stefan Weltge Wintersemester 2015/16

Geometrische Methoden in der Diskreten Optimierung: ¨ Ubung 1

Besprechung am 27.10.2015

Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass der Satz von Helly im Allgemeinen nicht f¨ur unendlich viele abgeschlossene konvexe Mengen gilt.

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass der Satz von Helly im Allgemeinen nicht f¨ur unendlich viele beschr¨ankte konvexe Mengen gilt.

Aufgabe 3

Sei I eine Indexmenge und (Ki)i∈I kompakte Teilmengen vonR^d. Zeigen Sie:

\

j∈J

K_j 6=∅ f¨ur alle J ⊆I, |J|<∞ ⇒ \

i∈I

K_i 6=∅

Hinweis: Eine Menge C ⊆ R^d ist genau dann kompakt wenn f¨ur jede Familie von offenen Mengen, deren VereinigungC enth¨alt, bereits die Vereinigung endlich vieler dieser MengenCenth¨alt. (Satz von Heine-Borel)

Aufgabe 4

Zeigen Sie, dass der Satz von Helly f¨ur unendlich viele kompakte konvexe Mengen gilt.

Aufgabe 5

Sei S ⊆R^deine Menge, sodass jed+ 1 Punkte ausS in einer abgeschlossenen Kugel mit Radius r enthalten sind. Zeigen Sie, dassS in einer abgeschlossenen Kugel mit Radius r enthalten ist.