Geometrische Methoden in der Diskreten Optimierung – Blatt 9

Prof. Dr. Volker Kaibel Benjamin Peters, M.Sc.

Wintersemester 2017/2018

Geometrische Methoden

in der Diskreten Optimierung – Blatt 9

www.math.uni-magdeburg.de/institute/imo/teaching/wise17/gmdo/

Besprechung: 18. Dezember 2017

Spannbaum-Polytop Aufgabe 1

Einfach: Sei Q⊆R^p+k ein Polyeder, c∈R^k und

P = {x∈R^p ∶ ⟨a, x⟩ + ⟨b, c⟩ ≤0 ∀ (a, b) ∈Q}. Zeigen Sie mit Hilfe von Satz 2.11 aus der Vorlesung, dass

xc(P) ≤xc(Q) +1 gilt.

Aufgabe 2

Sei (V, E) der vollst¨andige ungerichtete Graph auf n Knoten sowie w∈V. Sei weiterhin x∈ [0,1]^E. Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen ¨auqivalent sind:

a) x(E(S)) ≤ ∣S∣ −1 f¨ur alle ∅ ≠S ⊆V mit w∈S

b) max{∑e∈Ex_ea_e− ∑v∈V∖{w}b_v ∶b_v ≥0 ∀v∈V ∖ {w}, a_e≤b_v ∀e∈δ(v), v∈V} =0 (Hinweis: Machen Sie sich klar, dass das System in b) durch eine TU-Matrix beschrieben wird.)

Aufgabe 3

Sei (V, E) der vollst¨andige ungerichtete Graph auf n Knoten. Das Spannbaum-Polytop Pspt⊆ [0,1]^E ist definiert als konvexe H¨ulle aller charakteristischen Vektoren von Spannb¨aumen in(V, E). Es ist bekannt¹, dassP_sptdie L¨osungsmenge des folgenden Ungleichungssystems ist:

x(E) =n−1

x(E(S)) ≤ ∣S∣ −1 ∀ ∅ ≠S⊆V x∈ [0,1]^E

Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgaben 1 und 2, dass xc(P_spt) ∈ O(n³)gilt.

1Kombinatorische Optimierung: Das Baum-Polytop ist ein Matroid-Polytop.

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