11. ¨ Ubung zur Diskreten Optimierung

Prof. Dr. R. Schrader SS 2004 Ch. Gießelbach

D. R¨abiger

11. ¨ Ubung zur Diskreten Optimierung

Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, 15./16. Juli

Aufgabe 1: Schnittebenen 5 Punkte

Betrachten Sie das Optimierungsproblem

minx₁+ 2x₂ s.t. x₁+x₂ ≥ 4

1

2x1+5

2x2 ≥ 5 x1, x2 ∈ ^Z2²₊

(i) Zeigen Sie, daß x^∗ = ¹⁵₄ ,¹_4T

die optimale L¨osung des zugeh¨origen linearen Programms ist.

(ii) Bestimmen Sie einen Schnitt, umx^∗ vom ganzzahligen Kern zu trennen, indem Sie einen Schnitt–Typ der Vorlesung benutzen.

Aufgabe 2: Schnittebenen 4 Punkte

Betrachten Sie das durch folgende Ungleichungen beschriebene PolyederP sowiePI: kx₁+x₂ ≤ 1 +k

−kx1+x2 ≤ 1 x1 ≤ 1 x1, x2 ≥ 0

Zeigen Sie, daß Siei≥k−1w¨ahlen m¨ussen, damitP⁽ⁱ⁾ =P_I.

Aufgabe 3: dynamische Programmierung 3 Punkte

Betrachten Sie folgende rekursive Rechenregel:

f(r,0) = 0f¨ur1≤r≤n f(1, α) =

0 fallsα < a₁ c1 sonst f(r, α) =

max{f(r−1, α), f(r−1, α−αr) +cr} fallsα≥0

−P_n

i=1c_i fallsα <0

Bestimmen Sie mit Hilfe der obigen Vorschrift eine optimale L¨osungx^∗ und den Wertf(3,8)f¨ur das folgende Rucksackproblem.

max 31x₁+ 22x₂+ 50x₃ s.t. 3x₁+ 2x₂+ 5x₃ ≤ 8

x1, x2, x3 ∈ {0,1}