Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
3. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 8. November
Aufgabe 1: eindeutige Optimall¨osung 2 Punkte
Beweisen Sie Lemma 1.8 der Vorlesung:
Sei P ein Polyeder mit ganzzahliger Beschreibung und x eine Ecke von P. Dann existiert ein ganzzahliger Vektorc, so daßxeindeutige Optimall¨osung vonmax{cx:x∈P}ist.
Aufgabe 2: LP / IP 4 Punkte
Geben Sie Beispiele und Erl¨auterungen f¨ur Paare von
(LP) max{cx|Ax≤b, x ∈Rn+} (IP) max{cx|Ax≤b, x ∈Zn+}
an, wobei
(i) das LP und IP beide unbeschr¨ankt sind,
(ii) das LP und IP beide ein endliches Optimum besitzen, (iii) das LP unbeschr¨ankt und das IP unzul¨assig ist,
(iv) das LP beschr¨ankt und das IP unzul¨assig ist.
Aufgabe 3: TDI als Eigenschaft der Darstellung 5 Punkte
Betrachten Sie die beiden Ungleichungssysteme
1 1
1 0
1 −1
x1
x2
≤
0 0 0
und
1 1
1 −1 x1
x2
≤ 0
0
.
(i) Zeigen Sie, daß beide Ungleichungssysteme das gleiche Polyeder beschreiben.
(ii) Zeigen Sie, daß das erste Ungleichungssystem total dual ganzzahlig ist.
(iii) Zeigen Sie, daß das zweite Ungleichungssystem nicht total dual ganzzahlig ist.
Total duale Ganzzahligkeit ist also eine Eigenschaft der Darstellung durch ein Ungleichungssystem und keine Eigenschaft des beschriebenen Polyeders. Andererseits ist das beschriebene Polyeder zwar ganzzahlig, aber die zweite Beschreibung ist nicht total dual ganzzahlig.
Aufgabe 4: Netzwerkmatrizen 2 Punkte
A=
0 −1 −1 0 0
1 0 1 −1 0
0 0 1 −1 −1
Zeigen Sie, daß die Matrix A eine Netzwerkmatrix ist, indem Sie beide definierende Graphen angeben.
