Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
10. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 10. Januar
Aufgabe 1: Negative Kreise 2 Punkte
Angenommen, Sie w¨ußten ein polynomielles Verfahrens zur Bestimmung eines minimalen ne- gativen gerichteten Kreises (bez¨uglich Kantengewichte). Zeigen Sie, daß Sie dann ebenfalls das TRAVELING SALESPERSON PROBLEM effizient l¨osen k¨onnten.
Aufgabe 2: Umladenetzwerk 3 Punkte
In einem gerichteten GraphenG = (V, E)sind jeder Kante Kostenwij und Kapazit¨aten cij und jedem Knoten i ganze Zahlen bi zugeordnet. Es gibt nicht nur eine Quelle und eine Senke, statt dessen suchen wir einen Flußxmit minimalen Kosten, so daß
X
j
xji−X
j
xij ≥bi
gilt. Wir nennen den Knoteni
Versorgungsknoten, fallsbi <0 Nachfrageknoten, fallsbi >0 Umladeknoten, fallsbi = 0
gilt.
Modellieren Sie dieses Problem so, daß es mit einem bekannten Algorithmus gel¨ost werden kann.
Aufgabe 3: Engpaßtransportproblem 5 Punkte
Gegeben ist ein Umladenetzwerk auf einem bipartiten GraphenG= (V1∪V2, E)mit Bedarfsvek- torb ∈ ZV und Kantenkostenwe f¨ur allee ∈ E. Es giltbi <0f¨ur allei∈ V1 undbi >0f¨ur alle i ∈ V2. Auf den Kanten gibt es keine Kapazit¨atsbeschr¨ankungen. Wir suchen einen ganzzahligen Fluß x, der die Zielfunktion maxe∈E{wexe} minimiert, so daß die teuerste Kante, die der Fluß benutzt, minimal ist.
(i) Betrachten Sie die Entscheidungsvariante des Engpaßtransportproblems mit geg. λ ∈ R: Gibt es einen zul¨assigen FlußxinGmitmaxe∈E{wexe} ≤λ? Entwerfen Sie eine effiziente Methode, um das Problem zu l¨osen.
(ii) Benutzen Sie den Algorithmus aus (i), um einen polynomiellen Algorithmus f¨ur die Mini- mierungsvariante des Problems zu entwickeln.
