Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
1. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, 25. Oktober
Anmerkung: Alle Aufgaben sind vorzubereiten. Einige Aufgaben werden jedoch nur m¨undlich direkt am 25. Oktober besprochen, w¨ahrend andere schriftlich zu bearbeiten sind und in der Ubungsstunde abgegeben werden k¨onnen.¨
Aufgabe 1: (Laufzeit von Algorithmen) m¨undlich
a) Erinnern Sie sich an die Definitionen derO–,Ω– undΘ–Notation.
b) Welche Laufzeit haben die Algorithmen zur Addition und Multiplikation zweier ganzer Zah- len inO–Notation?
c) Betrachten Sie den AlgorithmusA, der als Eingabe eine nat¨urliche Zahlc ∈ N erh¨alt und O(c)Rechenschritte ben¨otigt.
Ist die Laufzeit des Algorithmus polynomiell?
d) ¨Uberlegen Sie sich, daß die Laufzeit eines Algorithmus abh¨angig von der verwendeten Da- tenstruktur ist. Kennen Sie Beispiele, bei denen Sie — je nach gew¨ahlter Datenstruktur — zu unterschiedlichen Laufzeitanalysen kommen?
Aufgabe 2: (polynomielle Reduktion) m¨undlich
In der Vorlesung wurde der
”harte Kern“ der MengeN P beschrieben. Wir bezeichnen diese Teil- menge alsN P–vollst¨andige Probleme. Wir wissen (Satz von Cook), daß das SAT–ProblemN P– vollst¨andig ist. Außerdem wissen wir, daß das folgende Problem ebenfallsN P–vollst¨andig ist.
HAMILTON CIRCUIT PROBLEM (HC): Gegeben einen Graphen H = (VH, EH). Existiert inH ein Hamilton–Kreis, also ein Kreis, der alle Knoten genau einmal besucht?
Zeigen Sie, daß das folgende Problem (TSP) ebenfalls NP–vollst¨andig ist, indem Sie sich ¨uberle- gen, wie Sie einen Algorithmus, der TSP l¨ost, dazu benutzen k¨onnen, um eine beliebige Instanz f¨ur HC zu l¨osen.
TRAVELING SALESPERSON PROBLEM (TSP): Gegeben einen vollst¨andigen Graphen mit Kan- tengewichten und Konstantek. Existiert inGeine Rundreise (ein Kreis, der alle Knoten des Gra- phen genau einmal besucht) der L¨ange h¨ochstensk?
Aufgabe 3: (2–SAT) schriftlich, 3 Punkte
Zeigen Sie: 2–SAT ∈ P, indem Sie einen Algorithmus zum Entscheiden des Problems angeben.
(Beachten Sie die Hinweise in den Folien aus der Vorlesung!)
Aufgabe 4: (HORNSAT) schriftlich, 5 Punkte Ein Spezialfall des in der Vorlesung vorgestellten SAT–Problems ist HORNSAT: Wir nennen eine Klausel eine Hornklausel, falls sie maximal ein positives Literal enth¨alt, also z.B.:(x2∨x3),(x1∨ x2∨x3∨x4)oder(x1).
HORNSAT: Gegeben eine Konjunktion von Hornklauseln, gibt es eine erf¨ullende Belegung?
Zeigen Sie: HORNSAT ∈ P
