Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
8. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 13. Dezember
Aufgabe 1: Maximaler Fluß 2 Punkte
Betrachten Sie das folgende NetzwerkD= (V, A).
00 11
00 11
00 11 00 11
00 11 00
11 00
11
8 6
7 10
4
5 7
3
s t
Bestimmen Sie einen maximalen Fluß mittels des Preflow–Push–Algorithmus. Geben Sie nach jeder Lift/Push–Kombination den entstandenen Pr¨afluß auf den Kanten, die H¨ohen der Knoten sowie die Restkapazit¨aten an.
Aufgabe 2: Ganzzahlige Fl¨usse 3 Punkte
Gegeben ist ein maximales Flußproblem mit ganzzahligen Kapazit¨atencij auf den Kanten(i, j)∈ A und ein maximaler Fluß x∗, der jedoch nicht ganzzahlig ist. Entwerfen Sie einen m¨oglichst effizienten Algorithmus (ohne Korrektheitsbeweis), umx∗ in einen ganzzahligen maximalen Fluß zu ¨uberf¨uhren. (Tipp: Betrachten Sie das Restnetzwerk eines gebrochenen Flusses!)
Aufgabe 3: Maximale dynamische Fl¨usse 3 Punkte
Betrachten Sie die folgende Verallgemeinerung des maximalen Flußproblems: Jeder Kante(i, j)∈ A wird neben ihrer Kapazit¨atcij auch eine Durchflußzeit τij ∈ Nzugeordnet. Ein Fluß, der zur Zeitτinistartet und entlang der Kante(i, j)verschickt wird, trifft im Knotenjzur Zeitτ+τijein.
Es ergibt sich die folgende Fragestellung: Gegeben ein ZeitlimitT ∈ N, wie viele Flußeinheiten lassen sich inT Zeiteinheiten von der Quelleszur Senkettransportieren?
Uberlegen Sie sich, wie sich dieses sogenannte maximale dynamische Flußproblem als klassisches¨ maximales Flußproblem auf einem geeignet erweiterten Netzwerk formulieren l¨aßt.
Aufgabe 4: Knotenkapazit¨aten 3 Punkte
Wir weisen nicht nur den Kanten(i, j)∈Aeine Kapazit¨atcij zu, sondern auch den Knotenv ∈V eine Beschr¨ankungcv, so daß die Summe der eingehenden Fl¨usse maximalcvbetragen darf. Zeigen Sie f¨ur ein solches Netzwerk:
Der maximale Wert eines(s, t)–Flusses ist gleich der minimalen Kapazit¨at eines(s, t)–Schnittes.
Falls die Kapazit¨aten alle ganzzahlig sind, existiert ein ganzzahliger maximaler Fluß.
Tipp: Konstruieren Sie ein erweitertes Netzwerk und f¨uhren Sie das Problem auf den bekannten Max–Flow–Min–Cut Satz zur¨uck.
