Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
5. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 22. November
Aufgabe 1: Bellman/Ford mit Matrixmultiplikation 6 Punkte
Seiuk ∈ Rn+ ein Vektor, so daßuki die Distanz des Knotensiunter Verwendung eines K¨urzesten Weges mit maximal k Kanten ist. Wir indizieren den Startknoten mit 0, so daß anfangs u0 = (0,∞, . . . ,∞)ist. Außerdem speichern wir die Entfernungen c : E → R+ des gerichteten Gra- phenG= (V, E)in einer AdjazenzmatrixAmit
Aij =
c(i, j) falls(i, j)∈E
∞ falls(i, j)6∈E undi6=j 0 ansonsten
Wir definieren einen Operator⊗f¨ur zwei quadratische Matrizen wie folgt:
P = (pij) =A⊗B mit
pij = min
k {Aik+Bkj}
Der Algorithmus von Bellman/Ford l¨aßt sich durch Matrixmultiplikation anhand der folgenden Rekursion berechnen:
uk+1 =uk⊗A
(i) Wenden Sie das beschriebene Verfahren zur Berechnung aller k¨urzesten Wege vons= 0auf den folgenden Graphen an:
1
2 4
3
0 5
3
2 2
2 1
(ii) Welche Laufzeit hat das Verfahren?
(iii) SeiAkdiek–te Potenz vonAbez¨uglich⊗. Zeigen Sie:uk+1 =u0⊗Ak
(iv) Geben Sie eine Variante des vorgestellen Verfahrens an, das mitO(logn)Matrixmultiplika- tionen auskommt.
Aufgabe 2: Seilschaften 3 Punkte Betrachten Sie folgendes Seile–Modell zur L¨osung des ungerichteten K¨urzesten Wege Problems:
F¨ur jede Kante benutzen wir ein Seil entsprechend der L¨ange der Kante. Wir verkn¨upfen zwei Seile an den Enden, falls die betreffenden Kanten adjazent sind. (Wir sind sehr geschickt und ben¨otigen f¨ur das Kn¨upfen keinerlei Seill¨ange!) Dann fassen wir den Startknoten und Zielknoten mit jeweils einer Hand und heben sie so weit hoch, bis alle Knoten in der Luft sind.
Zeigen Sie, daß dieses Vorgehen genau das Duale des K¨urzeste Wege Problems l¨ost und interpre- tieren Sie die einzelnen Komponenten des Modells sowie die Schritte dieses Algorithmus.
Aufgabe 3: Matroide 5 Punkte
(i) F¨ur gegebene Elemente e1, e2 ∈ E enthalteF die Teilmengen vonE, die nichte1 und e2
gleichzeitig enthalten. Ist(E,F)ein Matroid?
(ii) Zwei GraphenG undH heißen isomorph, wenn es BijektionenφV : V(G) → V(H)und φE : E(G) → E(H)gibt, so daß φE((v, w)) = (φV(v), φV(w))f¨ur alle(v, w) ∈ E(G).
Geben Sie ein einfaches Beispiel an, um zu beweisen, daß zwei nichtisomorphe und unge- richtete Graphen durch das gleiche Matroid beschrieben werden k¨onnen.
