Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
7. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 6. Dezember (Nikolaus)
Aufgabe 1: Cographisches Matroid 3 Punkte
Ein planarer Graph kann so in der Ebene gezeichnet werden, daß sich keine seiner Kanten schnei- den. F¨ur jeden planaren Graphen G = (V, E) wird der Dualgraph G∗ = (W, A) wie folgt bez¨uglich einer planaren Einbettung konstruiert. Mit Gebiet bezeichnen wir eine Fl¨ache, die durch die gezeichneten Kanten des Graphen beschr¨ankt ist. Die unbeschr¨ankte Fl¨ache um den Graphen herum ist ebenfalls ein Gebiet. In jedem Gebiet wird ein Knotenw∈W erzeugt. Falls eine Kante aus E zwei Gebiete mit Knoten w1, w2 beschr¨ankt, so f¨ugen wir eine Kante(w1, w2) zu A hin- zu. (Falls e ∈ E nur in ein Gebiet mit Knotenw1 hineinragt, so soll eine Schleife(w1, w1) ∈ A existieren.)
(i) Zeichnen Sie den GraphenG= (V, E)mitV ={v1, . . . , v4}undE ={e1 = (v1, v3), e2 = (v1, v4), e3 = (v2, v4), e4 = (v3, v4)}planar. Zeichnen Sie außerdemG∗ ein.
(ii) Welches graphische Matroid M = (E,F) beschreibtG? Bilden Sie M∗ = (E,F∗). Was f¨allt Ihnen auf?
Anmerkung: Nicht zu jedem Graphen existiert ein Dualgraph. F¨ur solche Graphen ist das zugeh¨ori- ge duale Matroid nicht graphisch.
Aufgabe 2:r–Arboreszenzen 2 Punkte
SeiD= (V, E)ein gerichteter Graph undr∈V. F¨ur einX ⊆V istδ+(X)die Menge der Kanten, die in einem Knoten ausXstarten und inV \Xenden.
Zeigen Sie: F¨ur allev ∈V existiert ein gerichteter(r, v)–Pfad⇔δ+(X)6=∅f¨ur alleX (V mit r∈X.
Aufgabe 3: Kostenminimaler–Arboreszenzen 4 Punkte
Einer–ArboreszenzT ist eine Arboreszenz mit Wurzelr, d.h.T ist ein Branching und es existiert ein gerichteter Pfad von r zu allen anderen Knoten. T ist kostenminimal, falls keine andere r– ArboreszenzT0 existiert mitP
e∈T0c(e)<P
e∈Tc(e).
Wir m¨ochten den Algorithmus aus der Vorlesung benutzen, um eine kostenminimale r–Arbores- zenz zu bestimmen. Zeigen Sie dazu, wie eine Instanz des Kostenminimalenr–Arboreszenzpro- blems in eine Instanz des Maximalen Branching Problems ¨uberf¨uhrt werden kann.
Aufgabe 4: Maximaler Fluß 2 Punkte Betrachten Sie das folgende NetzwerkD= (V, A).
00 11
00 11
00 11 00 11
00 11 00
11 00
11
8 6
7 10
4
5 7
3
s t
Bestimmen Sie einen maximalen Fluß mittels des Algorithmus von Edmonds/Karp. Geben Sie dazu f¨ur jeden Schritt das reduzierte Netzwerk an. Kennzeichnen Sie außerdem farblich den darin verwendeten Fluß. Geben Sie in jedem Schritt die Distanzdf(s, v)f¨ur alle Knotenv ∈V \ {s, t}
an.
