Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
2. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Dienstag 16-18 Uhr, 2. November
Aufgabe 1: (Standardformen von Lineare Programmen) 3 Punkte Bringen Sie die folgenden Linearen Programme in die Standardform
maxcTx Ax ≤b x≥0 aus der Vorlesung:
a) mincTx Ax≤b x≥0
b) mincTx Ax≤b
c) maxcTx Ax=b x≥0
Aufgabe 2: (Fourier–Motzkin Elimination) 4 Punkte
Sei Ax ≤ b ein lineares Ungleichungssystem in n Variablen, f¨ur das wir eine L¨osung suchen.
Betrachten Sie die Fourier–Motzkin Elimination, die in der Vorlesung vorgestellt wurde.
(i) Zeigen Sie, daß Ax ≤ b genau dann eine L¨osung besitzt, wenn das folgende System eine L¨osung besitzt:
a0ix0−bi ≤ bj−a0jx0 (j = 1, . . . , m1, i=m1+ 1, . . . , m2) a0ix0 ≤ bi (i=m2+ 1, . . . , m)
(ii) Wenden Sie die Fourier–Motzkin Elimination auf das folgende Problem an, bis Sie nur noch ein Problem in einer Variablen l¨osen m¨ussen. Bestimmen Sie schließlich r¨uckw¨arts eine L¨osung.
x1 + 2x2 − x3 ≤ 6
− 2x1 − 2x2 + 2x3 ≤ 0 3x1 − 3x2 + 15x3 ≤36
Aufgabe 3: (graphische L¨osung eines Linearen Programms) 5 Punkte Ein Kaugummifabrikant stellt zwei Sorten her, eine No–Fat und eine No–Carbs Variante. Er ben¨otigt drei AusgangsstoffeA, B undC. VonAstehen 1500 Tonnen zur Verf¨ugung, vonB 1200 Tonnen und vonC 500 Tonnen. Zur Produktion einer Tonne
”No–Fat Gum“ werden 2 TonnenA und jeweils eine TonneBundCben¨otigt, f¨ur
”No–Carbs Gum“ jeweils eine TonneAundB. Der Gewinn pro Tonne
”No–Fat Gum“ betr¨agt 30e, pro Tonne
”No–Carbs Gum“ 20e.
Stellen Sie das zugeh¨orige Lineare Programm in Standardform auf und l¨osen Sie es graphisch.
K¨onnen Sie die Optimalit¨at Ihrer L¨osung durch Aufstellen des Dualen Problems und Einsetzen der Werte(10,10,0)f¨ur die Dualvariablen beweisen?
Aufgabe 4: (Dualit¨at) 2 Punkte
Beweisen Sie: Das duale Lineare Programm zu einem dualen Linearen Programm ist das primale Lineare Programm.
