Prof. Dr. R. Schrader WS 2004/2005 D. R¨abiger
6. ¨ Ubung zur Kombinatorischen Optimierung
Abgabe in der ¨Ubungsgruppe, Montag, 29. November
Aufgabe 1: Matroideigenschaften 3 Punkte
Zeigen Sie, daß die folgenden Probleme zwar Unabh¨angigkeitssysteme, aber keine Matroide defi- nieren:
(i) Maximale stabile Menge: Gegeben ein GraphG= (V, E), bestimme eine maximale Menge X ⊆V, so daß keine zwei Knoten ausXadjazent sind.
(ii) Knapsack Problem: Gegeben nat¨urliche Zahlenci, wi mit1≤ i≤ nundk. Bestimme eine TeilmengeS ⊆ {1, . . . , n}, so daßP
j∈Swj ≤k undP
j∈Scj maximal ist.
(iii) Maximales Matching: Gegeben ein Graph G = (V, E), bestimme eine maximales Menge X ⊆E, so daß kein Knoten ausV inzident zu mehr als einer Kante ausXist.
Aufgabe 2: Duales Matroid 2 Punkte
Zu einem Matroid(E,F)bezeichnen wir mit(E,F∗)das duale Matroid.
Zeigen Sie:(E,F) = (E,F∗∗).
Aufgabe 3: Transversalmatroid 3 Punkte
Zeigen Sie, daß das Transversalmatroid ein Matroid ist.
Aufgabe 4: Orakel 5 Punkte
In Anwendungen ist die Menge der unabh¨angigen MengenF zu einem Matroid(E,F)oft nicht direkt gegeben. Z.B. ist bei graphischen Matroiden meist die Eingabe der GraphG= (V, E). Ob E0 ⊆ E ein Baum ist, ist jedoch nur indirekt durch die Graphenstruktur zu ermitteln. Damit z.B.
der Greedy–Algorithmus funktioniert, ben¨otigt man eine Funktion, die zu einer MengeX ⊆E in polynomieller Zeit Aussagen ¨uberF macht. Eine solche Funktion nennt man Orakel. Dabei sind verschiedene Typen von Orakel denkbar:
• Unabh¨angigkeitsorakelI(X): IstX unabh¨angig in(E,F)?
• KreisorakelK(X): IstXein Kreis in(E,F)?
• RangorakelR(X)liefert den Rang vonX.
Uberlegen Sie, ob alle Orakel gleich m¨achtig sind, d.h. ob sie die gleichen Probleme in polyno-¨ mieller Zeit l¨osen k¨onnen. Gehen Sie dabei so vor, daß Sie jeweilsK und R mit I in der Form vergleichen: Kann man mittelsI(X)in polynomieller Zeit entscheiden, obXein Kreis ist? Kann man mitK(X)polynomiell entscheiden, obX unabh¨angig ist? (. . .)
