Funktionsuntersuchung
Zur Beurteilung des qualitativen Verhaltens einer Funktion k¨onnen folgende Merkmale herangezogen werden:
Symmetrien Periodizit¨at
Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen Nullstellen (→ Vorzeichen)
Extrema (→ Monotoniebereiche) Wendepunkte (→ Konvexit¨atsbereiche) Asymptoten
Eine entsprechende Analyse der Funktion wird als Funktionsuntersuchung bezeichnet.
1 / 12
Beispiel
Funktionsuntersuchung der Funktion f(x) = sinx+1
3 sin(3x) (i) Symmetrie:
ungrade, da sinx=−sin(−x) (ii) Periodizit¨at:
Periode 2π betrachte nur das Intervall [−π, π]
(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:
keine
(iv) Nullstellen:
Additionstheorem sin(3x) = 3 sinx−4 sin3x f(x) = 2 sinx−4
3 sin3x= sinx
2− 4 3sin2x
| {z }
6=0
=⇒ Nullstellen bei 0 und±π
3 / 12
(v) Extrema:
sin2x= 1−cos2x
f0(x) = 2 cosx−4 sin2x cosx=−2 cosx+ 4 cos3x = 2 cosx(2 cos2x−1) Null f¨ur cosx= 0 oder cosx =±1/√
2 m¨ogliche Extrema bei x =±π/2 ∨ x =±π/4 ∨ x=±3π/4
Periodizit¨at keine Randwerte zu untersuchen Vorzeichen der zweiten Ableitung
f00(x) = 2 sinx−12 cos2x sinx = 2 sinx(1−6 cos2x) und Vergleich der Funktionswerte Typ der Extrema
x f(x) f00(x) Typ
−3π/4 −√
8/3 2√
2>0 globales Minimum
−π/2 −2/3 −2<0 lokales Maximum
−π/4 −√
8/3 2√
2>0 globales Minimum
π/4 √
8/3 −2√
2<0 globales Maximum π/2 2/3 2>0 lokales Minimum
3π/4 √
8/3 −2√
2<0 globales Maximum
(vi) Wendepunkte:
Umformung der zweiten Ableitung, cos2x = 1−sin2x
f00(x) = 2 sinx−12 cos2x sinx =−10 sinx+ 12 sin3x
= 2 sinx(6 sin2x−5) Null f¨ur sinx= 0 oder sinx=±p
5/6, d.h.
x= 0 ∨ x=±π ∨ x ≈ ±1.15 ∨ x≈ ±1.99 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei
(0,0),(±π,0),(−1.99,−0.81),(−1.15,−0.81),(1.15,0.81),(1.99,0.81) (vii) Asymptoten:
keine, da f periodisch und nicht konstant
5 / 12
Beispiel
Funktionsuntersuchung der Funktion
f(x) = 5x3+ 4x x2−1 (i) Symmetrie:
ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨at:
nicht periodisch
(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen
einfache Polstellen bei±1 (Nenner Null, Z¨ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:
Z¨ahler x(5x2+ 4) Null bei x= 0
7 / 12
(v) Extrema:
erste Ableitung
f0(x) = 5x4−19x2−4
(x2−1)2 = (x2−4)(5x2+ 1) (x2−1)2
= 0!
m¨ogliche Extrema beix =±2
einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f(x)→ −∞ f¨urx → −∞und x → −1
=⇒ lokales Maximum in (−∞,−1)
analoges Argument lokales Minimum in (1,∞) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: (−2,16), lokales Minimum: (2,16) (vi) Wendepunkte:
zweite Ableitung
f00(x) = 18x(x2+ 3) (x2−1)3
= 0!
Wendepunkt (0,0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist
(vii) Asymptoten:
Polynomdivision
f(x) = 5x3−5x+ 9x
x2−1 = 5x+ 9x x2−1 Asymptote: p(x) = 5x
-5 0 5
-20 -10 0 10 20
9 / 12
Beispiel
Funktionsuntersuchung der Funktion
f(x) =|x2−1|e−4x/3
(i) Qualitatives Verhalten:
keine Symmetrien und nicht periodisch
Unstetigkeitsstellen der Ableitung (Knicke) bei x =±1 aufgrund des Knicks der Betragsfunktion bei dem Argument 0
limx→∞xrexp(−sx) = 0 f¨ur alle r,s >0 =⇒ p(x) = 0 ist Asymptote f¨ur x→ ∞
keine Asymptote f¨ur x→ −∞, da limx→−∞|f(x)/x|=∞ (ii) Nullstellen:
Positivit¨at der Exponentialfunktion Nullstellen bei x1,2=±1 globale Minima an diesen Punkten, da f ≥0
kein globales Maximum wegen limx→−∞f(x) =∞
(iii) Extrema:
f(−1) =f(1) =f(∞) = 0 =⇒ mindestens jeweils ein lokales Maximum in den Intervallen (−1,1) und (1,∞)
Ableiten von
f(x) =σ(x2−1)e−4x/3, x 6=±1,
mit σ=−1 f¨urx ∈(−1,1) und σ= 1 f¨ur x∈(−∞,−1)∪(1,∞) f0(x) =σ
−4x2/3 + 4/3 + 2x e−4x/3 [. . .] = 0 kritische Punktex3 =−1/2 undx4= 2
lokale Maxima wegen der Existenz von mindestens zwei solcher Extrema Funktionswerte
y3 = 3
4e−2/3≈1.4608, y4 = 3e−8/3 ≈0.2085
11 / 12
(iv) Wendepunkte:
f00(x) =σ
16x2/9−16x/3 + 2/9 e−4x/3 Wendepunkte an den Nullstellen
x5 = 3/2−√
34/4≈0.0423, x6 = 3/2 +
√
34/4≈2.9577 von [. . .], daf00 dort das Vorzeichen wechselt
Funktionswerte: y5 ≈0.9435,y6 ≈0.1501
-1 0 1 2 3 4
-1 0 1 2 3