→ Konvexit¨atsbereiche)Asymptoten → Monotoniebereiche)Wendepunkte( → Vorzeichen)Extrema( ZurBeurteilungdesqualitativenVerhaltenseinerFunktionk¨onnenfolgendeMerkmaleherangezogenwerden:SymmetrienPeriodizit¨atUnstetigkeitsstellen,insbesonderePolstellenNullst

Kurvendiskussion

Zur Beurteilung des qualitativen Verhaltens einer Funktion k¨ onnen folgende Merkmale herangezogen werden:

Symmetrien Periodizit¨ at

Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen Nullstellen ( → Vorzeichen)

Extrema ( → Monotoniebereiche)

Wendepunkte ( → Konvexit¨ atsbereiche)

Asymptoten

x y

Polstelle Nullstelle Nullstelle Extremum Extremum

Sprungstelle

Sprungstelle Wendepunkt

Wendepunkt

Eine entsprechende Analyse der Funktion wird als Funktionsuntersuchung bezeichnet.

Kurvendiskussion 1-2

x y

Polstelle Nullstelle Nullstelle Extremum Extremum

Sprungstelle

Sprungstelle Wendepunkt

Wendepunkt

Eine entsprechende Analyse der Funktion wird als Funktionsuntersuchung

bezeichnet.

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x)

(i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π] (iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen: keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Kurvendiskussion 2-1

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π] (iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen: keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x)

(ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π] (iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen: keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Kurvendiskussion 2-3

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π] (iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen: keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π]

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen: keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Kurvendiskussion 2-5

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π]

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π]

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Kurvendiskussion 2-7

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π]

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion f (x) = sin x + 1

3 sin(3x) (i) Symmetrie:

ungrade, da sin x = − sin( − x) (ii) Periodizit¨ at:

Periode 2π betrachte nur das Intervall [ − π, π]

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

keine

(iv) Nullstellen:

Additionstheorem sin(3x) = 3 sin x − 4 sin

x f (x) = 2 sin x − 4

3 sin

x = sin x

2 − 4 3 sin

x

| {z }

6=0

= ⇒ Nullstellen bei 0 und ± π

Kurvendiskussion 2-9

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 2 cos x − 4 sin

x cos x = − 2 cos x + 4 cos

x

= 2 cos x (2 cos

x − 1) (sin

x = 1 − cos

x)

Null f¨ ur cos x = 0 oder cos x = ± 1/ √

2 m¨ ogliche Extrema bei x = ± π/2 ∨ x = ± π/4 ∨ x = ± 3π/4

Periodizit¨ at keine Randwerte zu untersuchen zweite Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x

= 2 sin x (1 − 6 cos

x)

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 2 cos x − 4 sin

x cos x = − 2 cos x + 4 cos

x

= 2 cos x (2 cos

x − 1) (sin

x = 1 − cos

x)

Null f¨ ur cos x = 0 oder cos x = ± 1/ √

2 m¨ ogliche Extrema bei x = ± π/2 ∨ x = ± π/4 ∨ x = ± 3π/4

Periodizit¨ at keine Randwerte zu untersuchen zweite Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x

= 2 sin x (1 − 6 cos

x)

Kurvendiskussion 2-11

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 2 cos x − 4 sin

x cos x = − 2 cos x + 4 cos

x

= 2 cos x (2 cos

x − 1) (sin

x = 1 − cos

x)

Null f¨ ur cos x = 0 oder cos x = ± 1/ √

2 m¨ ogliche Extrema bei x = ± π/2 ∨ x = ± π/4 ∨ x = ± 3π/4

Periodizit¨ at keine Randwerte zu untersuchen zweite Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x

= 2 sin x (1 − 6 cos

x)

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 2 cos x − 4 sin

x cos x = − 2 cos x + 4 cos

x

= 2 cos x (2 cos

x − 1) (sin

x = 1 − cos

x)

Null f¨ ur cos x = 0 oder cos x = ± 1/ √

2 m¨ ogliche Extrema bei x = ± π/2 ∨ x = ± π/4 ∨ x = ± 3π/4

Periodizit¨ at keine Randwerte zu untersuchen

zweite Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x

= 2 sin x (1 − 6 cos

x)

Kurvendiskussion 2-13

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 2 cos x − 4 sin

x cos x = − 2 cos x + 4 cos

x

= 2 cos x (2 cos

x − 1) (sin

x = 1 − cos

x)

Null f¨ ur cos x = 0 oder cos x = ± 1/ √

2 m¨ ogliche Extrema bei x = ± π/2 ∨ x = ± π/4 ∨ x = ± 3π/4

Periodizit¨ at keine Randwerte zu untersuchen zweite Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x

= 2 sin x (1 − 6 cos

x)

Vorzeichen der zweiten Ableitung und Vergleich der Funktionswerte Typ der Extrema

x f (x) f

(x ) Typ

− 3π/4 − √

8/3 2 √

2 > 0 globales Minimum

− π/2 − 2/3 − 2 < 0 lokales Maximum

− π/4 − √

8/3 2 √

2 > 0 globales Minimum

π/4 √

8/3 − 2 √

2 < 0 globales Maximum π/2 2/3 2 > 0 lokales Minimum

3π/4 √

8/3 − 2 √

2 < 0 globales Maximum

Kurvendiskussion 2-15

Vorzeichen der zweiten Ableitung und Vergleich der Funktionswerte Typ der Extrema

x f (x) f

(x) Typ

− 3π/4 − √

8/3 2 √

2 > 0 globales Minimum

− π/2 − 2/3 − 2 < 0 lokales Maximum

− π/4 − √

8/3 2 √

2 > 0 globales Minimum

π/4 √

8/3 − 2 √

2 < 0 globales Maximum π/2 2/3 2 > 0 lokales Minimum

3π/4 √

8/3 − 2 √

2 < 0 globales Maximum

(vi) Wendepunkte:

Umformung der zweiten Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x = − 10 sin x + 12 sin

x

= 2 sin x (6 sin

x − 5)

(cos

x = 1 − sin

x) Null f¨ ur sin x = 0 oder sin x = ± p

5/6, d.h. x = 0 ∨ x = ± π ∨ x ≈ ± 1.15 ∨ x ≈ ± 1.99 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei

(0, 0), ( ± π, 0), ( − 1.99, − 0.81), ( − 1.15, − 0.81), (1.15, 0.81), (1.99, 0.81) (vii) Asymptoten:

keine, da f periodisch und nicht konstant

Kurvendiskussion 2-17

(vi) Wendepunkte:

Umformung der zweiten Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x = − 10 sin x + 12 sin

x

= 2 sin x (6 sin

x − 5) (cos

x = 1 − sin

x)

Null f¨ ur sin x = 0 oder sin x = ± p

5/6, d.h. x = 0 ∨ x = ± π ∨ x ≈ ± 1.15 ∨ x ≈ ± 1.99 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei

(0, 0), ( ± π, 0), ( − 1.99, − 0.81), ( − 1.15, − 0.81), (1.15, 0.81), (1.99, 0.81) (vii) Asymptoten:

keine, da f periodisch und nicht konstant

(vi) Wendepunkte:

Umformung der zweiten Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x = − 10 sin x + 12 sin

x

= 2 sin x (6 sin

x − 5)

(cos

x = 1 − sin

x) Null f¨ ur sin x = 0 oder sin x = ± p

5/6, d.h.

x = 0 ∨ x = ± π ∨ x ≈ ± 1.15 ∨ x ≈ ± 1.99

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei

(0, 0), ( ± π, 0), ( − 1.99, − 0.81), ( − 1.15, − 0.81), (1.15, 0.81), (1.99, 0.81) (vii) Asymptoten:

keine, da f periodisch und nicht konstant

Kurvendiskussion 2-19

(vi) Wendepunkte:

Umformung der zweiten Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x = − 10 sin x + 12 sin

x

= 2 sin x (6 sin

x − 5)

(cos

x = 1 − sin

x) Null f¨ ur sin x = 0 oder sin x = ± p

5/6, d.h.

x = 0 ∨ x = ± π ∨ x ≈ ± 1.15 ∨ x ≈ ± 1.99 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei

(0, 0), ( ± π, 0), ( − 1.99, − 0.81), ( − 1.15, − 0.81), (1.15, 0.81), (1.99, 0.81)

(vii) Asymptoten:

keine, da f periodisch und nicht konstant

(vi) Wendepunkte:

Umformung der zweiten Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x = − 10 sin x + 12 sin

x

= 2 sin x (6 sin

x − 5)

(cos

x = 1 − sin

x) Null f¨ ur sin x = 0 oder sin x = ± p

5/6, d.h.

x = 0 ∨ x = ± π ∨ x ≈ ± 1.15 ∨ x ≈ ± 1.99 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei

(0, 0), ( ± π, 0), ( − 1.99, − 0.81), ( − 1.15, − 0.81), (1.15, 0.81), (1.99, 0.81) (vii) Asymptoten:

keine, da f periodisch und nicht konstant

Kurvendiskussion 2-21

(vi) Wendepunkte:

Umformung der zweiten Ableitung

f

(x) = 2 sin x − 12 cos

x sin x = − 10 sin x + 12 sin

x

= 2 sin x (6 sin

x − 5)

(cos

x = 1 − sin

x) Null f¨ ur sin x = 0 oder sin x = ± p

5/6, d.h.

x = 0 ∨ x = ± π ∨ x ≈ ± 1.15 ∨ x ≈ ± 1.99 Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung ungleich Null Wendepunkte bei

(0, 0), ( ± π, 0), ( − 1.99, − 0.81), ( − 1.15, − 0.81), (1.15, 0.81), (1.99, 0.81) (vii) Asymptoten:

keine, da f periodisch und nicht konstant

Nullstellen Extrema Wendepunkte

− 3 − 2 − 1 0 1 2 3

− 1

− 0.5 0 0.5 1

Kurvendiskussion 2-23

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1

(i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Kurvendiskussion 3-2

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner

(ii) Periodizit¨ at: nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Kurvendiskussion 3-4

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen

einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Kurvendiskussion 3-6

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null)

(iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

Kurvendiskussion 3-8

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = 5x

+ 4x x

− 1 (i) Symmetrie:

ungerade, da Quotient aus ungeradem Z¨ ahler und geradem Nenner (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen einfache Polstellen bei ± 1 (Z¨ ahler ungleich Null) (iv) Nullstellen:

Z¨ ahler x(5x

+ 4) Null bei x = 0

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

Kurvendiskussion 3-10

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt

bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

Kurvendiskussion 3-12

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema

f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt

bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

Kurvendiskussion 3-14

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ )

lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt

bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung

lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

Kurvendiskussion 3-16

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16)

(vi) Wendepunkte: zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt

bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

Kurvendiskussion 3-18

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt

bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = 5x

− 19x

− 4

(x

− 1)

= (x

− 4)(5x

+ 1) (x

− 1)

= 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2

einfache Pole (Vorzeichenwechsel) keine globalen Extrema f (x) → −∞ f¨ ur x → −∞ und x → − 1

= ⇒ lokales Maximum in ( −∞ , − 1)

analoges Argument lokales Minimum in (1, ∞ ) lokale Extrema an den beiden Nullstellen der Ableitung lokales Maximum: ( − 2, 16), lokales Minimum: (2, 16) (vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = 18x(x

+ 3) (x

− 1)

= 0

Wendepunkt (0, 0), da die zweite Ableitung das Vorzeichen wechselt bzw. die dritte Ableitung nicht Null ist

Kurvendiskussion 3-20

(vii) Asymptoten:

Polynomdivision

f (x) = 5 x + 0 + 9x x

− 1 Asymptote: p(x) = 5 x

Nullstellen Extrema Wendepunkte

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1 0 1 2 3

(vii) Asymptoten:

Polynomdivision

f (x) = 5 x + 0 + 9x x

− 1

Asymptote: p(x) = 5 x

Nullstellen Extrema Wendepunkte

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1 0 1 2 3

Kurvendiskussion 3-22

(vii) Asymptoten:

Polynomdivision

f (x) = 5 x + 0 + 9x x

− 1 Asymptote: p(x) = 5 x

Nullstellen Extrema Wendepunkte

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1 0 1 2 3

(vii) Asymptoten:

Polynomdivision

f (x) = 5 x + 0 + 9x x

− 1 Asymptote: p(x) = 5 x

Nullstellen Extrema Wendepunkte

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1 0 1 2 3

Kurvendiskussion 3-24

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Kurvendiskussion 4-2

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade

(ii) Periodizit¨ at: nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Kurvendiskussion 4-4

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Kurvendiskussion 4-6

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion

(iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

Kurvendiskussion 4-8

Beispiel:

Funktionsuntersuchung der Funktion

f (x) = e

+ 4 | x | e

(i) Symmetrie:

gerade, da x

und | x | gerade (ii) Periodizit¨ at:

nicht periodisch

(iii) Unstetigkeitsstellen, insbesondere Polstellen:

stetig auf R , unstetige Ableitung bei Null wegen der Betragsfunktion (iv) Nullstellen:

keine wegen der Positivit¨ at der Exponential- und Betragsfunktion

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = − 2x e

+ 4

e

sign(x) = 0,

x 6 = 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2 und bei der Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei x = 0

f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

= ⇒ kein globales Maximum, mindestens ein globales Minimum Vergleich der Funktionswerte der m¨ oglichen Extrema

(x, y ) : ( − 2, 9/e

), (0, 1), (2, 9/e

) Symmetrie globale Minima bei x = ± 2

lokales Maximum bei x = 0 wegen der Existenz eines Maximums in [ − 2, 2]

Kurvendiskussion 4-10

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = − 2xe

+ 4

e

sign(x) = 0,

x 6 = 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2 und bei der Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei x = 0

f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

= ⇒ kein globales Maximum, mindestens ein globales Minimum Vergleich der Funktionswerte der m¨ oglichen Extrema

(x, y ) : ( − 2, 9/e

), (0, 1), (2, 9/e

) Symmetrie globale Minima bei x = ± 2

lokales Maximum bei x = 0 wegen der Existenz eines Maximums in [ − 2, 2]

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = − 2xe

+ 4

e

sign(x) = 0,

x 6 = 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2 und bei der Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei x = 0

f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

= ⇒ kein globales Maximum, mindestens ein globales Minimum

Vergleich der Funktionswerte der m¨ oglichen Extrema (x, y ) : ( − 2, 9/e

), (0, 1), (2, 9/e

) Symmetrie globale Minima bei x = ± 2

lokales Maximum bei x = 0 wegen der Existenz eines Maximums in [ − 2, 2]

Kurvendiskussion 4-12

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = − 2xe

+ 4

e

sign(x) = 0,

x 6 = 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2 und bei der Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei x = 0

f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

= ⇒ kein globales Maximum, mindestens ein globales Minimum Vergleich der Funktionswerte der m¨ oglichen Extrema

(x, y) : ( − 2, 9/e

), (0, 1), (2, 9/e

)

Symmetrie globale Minima bei x = ± 2

lokales Maximum bei x = 0 wegen der Existenz eines Maximums in [ − 2, 2]

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = − 2xe

+ 4

e

sign(x) = 0,

x 6 = 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2 und bei der Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei x = 0

f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

= ⇒ kein globales Maximum, mindestens ein globales Minimum Vergleich der Funktionswerte der m¨ oglichen Extrema

(x, y) : ( − 2, 9/e

), (0, 1), (2, 9/e

) Symmetrie globale Minima bei x = ± 2

lokales Maximum bei x = 0 wegen der Existenz eines Maximums in [ − 2, 2]

Kurvendiskussion 4-14

(v) Extrema:

Ableitung

f

(x) = − 2xe

+ 4

e

sign(x) = 0,

x 6 = 0

m¨ ogliche Extrema bei x = ± 2 und bei der Unstetigkeitsstelle der Ableitung bei x = 0

f (x) → ∞ f¨ ur x → ±∞

= ⇒ kein globales Maximum, mindestens ein globales Minimum Vergleich der Funktionswerte der m¨ oglichen Extrema

(x, y) : ( − 2, 9/e

), (0, 1), (2, 9/e

) Symmetrie globale Minima bei x = ± 2

lokales Maximum bei x = 0 wegen der Existenz eines Maximums in [ − 2, 2]

(vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x) = − 2e

+ 4x

e

= 0,

x 6 = 0

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung an den Nullstellen x = ± 1/ √

2 nicht Null Wendepunkte

± 1/ √

2, e

+ 4

√ 2 e

(vii) Asymptoten:

e

strebt schneller gegen Null als | x | f¨ ur x → ∞ Asymptoten

p

(x) = 4x

e

, p

(x) = − 4x e

f¨ ur x → ±∞

Kurvendiskussion 4-16

(vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x ) = − 2e

+ 4x

e

= 0,

x 6 = 0

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung an den Nullstellen x = ± 1/ √

2 nicht Null Wendepunkte

± 1/ √

2, e

+ 4

√ 2 e

(vii) Asymptoten:

e

strebt schneller gegen Null als | x | f¨ ur x → ∞ Asymptoten

p

(x) = 4x

e

, p

(x) = − 4x

e

f¨ ur x → ±∞

(vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x ) = − 2e

+ 4x

e

= 0,

x 6 = 0

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung an den Nullstellen x = ± 1/ √

2 nicht Null Wendepunkte

± 1/ √

2, e

+ 4

√ 2 e

(vii) Asymptoten:

e

strebt schneller gegen Null als | x | f¨ ur x → ∞ Asymptoten

p

(x) = 4x

e

, p

(x) = − 4x e

f¨ ur x → ±∞

Kurvendiskussion 4-18

(vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x ) = − 2e

+ 4x

e

= 0,

x 6 = 0

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung an den Nullstellen x = ± 1/ √

2 nicht Null Wendepunkte

± 1/ √

2, e

+ 4

√ 2 e

(vii) Asymptoten:

e

strebt schneller gegen Null als | x | f¨ ur x → ∞ Asymptoten

p

(x) = 4x

e

, p

(x) = − 4x

e

f¨ ur x → ±∞

(vi) Wendepunkte:

zweite Ableitung

f

(x ) = − 2e

+ 4x

e

= 0,

x 6 = 0

Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bzw. dritte Ableitung an den Nullstellen x = ± 1/ √

2 nicht Null Wendepunkte

± 1/ √

2, e

+ 4

√ 2 e

(vii) Asymptoten:

e

strebt schneller gegen Null als | x | f¨ ur x → ∞ Asymptoten

p

(x) = 4x

e

, p

(x) = − 4x e

f¨ ur x → ±∞

Kurvendiskussion 4-20

Nullstellen Extrema Wendepunkte

− 4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 0

0.25

0.5

0.75

1