Reith Logik

(1)

Logik ^& Berechenbarkeit

6. Vorlesung

22.11.19

steffen ^Reith

(2)

Bsp

^Im

^obigen ^Bsp

^wurden ^Xe^, ^Xs ^und ^xc^, ^eliminiert ^.

^①

Ilxelztlxs

⁾ ^-^_

ICH

^> ^l ^und

Ilxz

⁾ ⁼

_Ilxs )

⁼

Ilxs

⁾ ⁼ ⁰

erfüllt

^H^. ^Es

gibt

^weitere

erfüllende Belegungen

^:

I 1 0 1 1 ⁰ 0

Satz

^Der

Algorithmus

^HORN ^ist ^korrekt ^und

_benötigt

^OCIHI ^"

⁾

Schritte .

Beweis

.

Korrektheit folgt

^aus

^letztem ^Lemma

• Sei Hexe_,^. ^.^. _. ×

)

^die

Eingabe

^von ^HORN

- Da in

jedem Durchlauf _genau

^eine ^Variable ^eliminiert ^wird

( in d. while^-

Schleife ⁾

^haben ^wir ^maximal ⁿ^-

^Durchläufe

(3)

• Bei ^einen

Durchlauf wyß ^jede Klausel betrachtet werden ②

(

Sachen

)

^und ^evtl^.

geändert

^werden ^.

^Laufzeit

⁰

⁽

^an^Ikk

⁾

^Schritte

Laufzeit

^:

^g

^. ^mm ^. ⁰

⁽ ^I ^Kf ⁾ ^Länge

^einer ^Klausel

Schleifen

^- ^Anzahl

durchläufe

^d. ^Klauseln

= n^.

Htt

^.

^OLIHI

^'

)

⁼

^Htt

^.

^Htt

^.

^OCIHI

^'

⁾

=

OLIHI

^"

) #

t.1.4Resolutiwic.se

n : Wir

können

nicht

hoffen

^, ^dass ^ein

Algorithmus ^A ^für

SAT ^und KNF ^-^SAT

existiert

^.

Hoffnung

^! ^Wir ^können ^das

Erfüllbarkeit problem wenigstens ^für

^einen

( möglichst großen ⁾

^Teil ^von ^Formeln ^schnell ^lösen^.

Resolution algorithmus ^für

^KNF ^-^SAT

(4)

Wir

legen fest

^:

^Klauseln ^enthalten

^wie ^eine ^Variable

^negiert

^und

^③

uuuegiot

^.

(_solche Klauseln können _wir sowieso

streichen ) Def

^: ^Sind ^(Knx⁾ ^und ^lkzvzx

⁾

^Klauseln ^und ^kommt ⁱⁿ

( kev

kz )

^keine ^Variable

negiert

^und

unanegiert

^vor^, ^so

^heißt

( Kav Kz ) Residuen

^von ⁽

^{Kevx )}

^und

^Ckzv

⁾^x⁾^.

Bspw

^: ^Sei ^H ⁼ ^{( xvy}

⁾

ⁿ

kg

⁾ ⁿ

⁽

^sxvz

⁾

ⁿ

^{( xvnyvz )}

ⁿ

lyvzz ⁾

⇐ _÷ -

⁼

up

^-⁼ ^kj

Die Re_solventen der Klauseln ^von H ^sind

KG

⁼ ⁽^×⁾ ^ist ^Re^solvent ^von ^ke ^und^Kz ^Ku ⁼

fexvy ⁾

^{ist Re}^solvent ^v.

^kg

^und ^ks

Kz

⁼

(

_yvz

)

^- ^K ^- _kn und Us Kg ⁼ ⁽^Xvz

)

^- ^K^- ^K, und Ky

% ! I

^yvz

^" _, ^und

^K^} ^und ^Kuⁿ

)

ⁿ

^Res ^LH ⁾

^"

(5)

3¥ ^Der

^Re

^solvent

^von ⁽^x⁾ ^und ^Gx

⁾

^ist ^die

leere Klausel

^C) ^.

④

Es

gilt ^{für jede} Interpretation ^I ^ICH

^-^- ^o

Def

^: ^Sei ^H êine ^KNF ^- ^Formel ûnd ^Re^,^. ^. ^. ^, ^Rm âllen Resolventen

von Klauseln von H_, ^die nicht schon Klauseln in H ^sind_,

dann ist

Res ^LH) ⁼ _ag An Red^. ^.^- ^e Rm

Bspw

^: ^Für ^H ^aus ^dem

^letzten Bsp gilt ^RESCH

⁾ ^>

^Hakan

^. ^.^. ^ehe

Def

^Wir

definieren für

^eine ^KNF ^- ^Formel ^H ^induktiv

(A)

^Res^.

⁽

^H⁾ ⁼

, ^H

Ks

⁾

_Rescue

⁽^H

⁾

⁼ _aeg

^{Res (} _Resnltt

⁾

)

(6)

Bsf

^: ^Aus ^dem

^letzten Bsp

^:

^⑤

• Res_. LH)^> H

hi Kz Kzs Kg ^Kö

÷ : : ÷ ^: ^:* : : : : : : _:

.

Key

⁼ ^Lz ⁾ ^- ^" ^-

^Kz

^u^.

^Kz

Key

⁼ ⁽^IX

)

^-^k ^-

Kz

^u^. ^Km

Kis

⁼

⁽

^x _ng

)

^-^T _kn ^u^.

kg

^Resolution^bauen

•

Resg

^LH⁾ ⁼ ^Res^,^CH⁾ ⁿ

kranker

Ken ⁼ (

)

^ist ^Resdveut ^von

^Kz

^u^.

Kez

⁼

⁽

^Xvzz

)

^-^" ^-

_Ks

^u^. _Kis

° Res_, CH

)

⁼

Ress

^CH

⁾

•

Ress

⁽^H⁾ ⁼ ^Res_, ^(A) ⁼

Ress

^CH

⁾

:

Resn

^CH) ⁼

Ress

^CH

⁾

, n )

(7)

LE

^: ^Für

jede

^KNF ^-^Formel ^H

gilt ⑥

i, Es

gibt

^ein ^k ^>^, ⁰ ^mit ^Res^,^CH

⁾

⁼

^Resa

^CH

⁾

⁽ ⁿ

Fixpunkt

^"

⁾

ii, Aus

Regel

^H

⁾

⁼ ^Res_, ^LH

) folgt ^Reste .mil#I--ResalH ⁾

für

ⁱ²⁰

Bewegen

^In

jedem

^Schritt ^von

^Reswltt

⁾ ^nach

^Rescue

⁽^H

⁾

kommen höchstens Klauseln

duzen

^.

Bei

^u ^Variablen

gibt

^es ³^" verschiedene

Klauseln

, denn

jede

^Variable ^kann ⁱⁿ ^einer ^Klausel ^nicht ^,

negiert

^oder

uunegiut

^vorkommen ^.

Reith Logik

Logik & Berechenbarkeit

6. Vorlesung

steffen Reith

Bsp

obigen Bsp

①

Ilxelztlxs

ICH

Ilxz

Ilxs )

Ilxs

erfüllt

gibt

erfüllende Belegungen

Satz

Algorithmus

benötigt

)

Beweis

Korrektheit folgt

letztem Lemma

)

Eingabe

jedem Durchlauf genau

Schleife )

Durchläufe

Durchlauf wyß jede Klausel betrachtet werden ②

(

)

geändert

Laufzeit

(

)

Laufzeit

g

( I Kf ) Länge

Schleifen

durchläufe

Htt

OLIHI

)

Htt

Htt

OCIHI

)

OLIHI

) #

t.1.4Resolutiwic.se

können

hoffen

Algorithmus A für

existiert

Hoffnung

Erfüllbarkeit problem wenigstens für

( möglichst großen )

Resolution algorithmus für

legen fest

Klauseln enthalten

negiert

③

uuuegiot

streichen ) Def

)

kz )

negiert

unanegiert

heißt

( Kav Kz ) Residuen

Kevx )

Ckzv

Bspw

)

kg

(

)

( xvnyvz )

lyvzz )

⇐ ÷ -

up

Logik ^& Berechenbarkeit

steffen ^Reith

^obigen ^Bsp

^①

_Ilxs )

_benötigt

⁾

^letztem ^Lemma

jedem Durchlauf _genau

Schleife ⁾

^Durchläufe

Durchlauf wyß ^jede Klausel betrachtet werden ②

^Laufzeit

⁽

⁾

^g

⁽ ^I ^Kf ⁾ ^Länge

^OLIHI

^Htt

^Htt

^OCIHI

⁾

Algorithmus ^A ^für

Erfüllbarkeit problem wenigstens ^für

( möglichst großen ⁾

Resolution algorithmus ^für

^Klauseln ^enthalten

^negiert

^③

⁾

^heißt

^{Kevx )}

^Ckzv

⁾

⁽

⁾

^{( xvnyvz )}

lyvzz ⁾

⇐ _÷ -

fexvy ⁾

^kg

^" _, ^und

^Res ^LH ⁾

3¥ ^Der

^solvent

⁾

gilt ^{für jede} Interpretation ^I ^ICH

^letzten Bsp gilt ^RESCH

^Hakan

⁽

_Rescue

⁾

^{Res (} _Resnltt

^letzten Bsp

^⑤

÷ : : ÷ ^: ^:* : : : : : : _:

^Kz

^Kz

⁽

^Kz

⁽

_Ks

⁾

⁾

⁾

⁾

^Resa

⁾