Steffen Reith

(1)

3. Übung

Steffen Reith

10.5.17

(2)

Aufgaben

^:

pcz ,

Defy

^: ^Sei ^E ^ein

_beliebige Komplexität

^klasse^,

4,01µg

da " " col ⁼

aef2LEZ.IE

^e ^E

^}

e. .

e-

,

a) Zeige

AEDTIMELTGD

gdw ÄEDTIME

(

tun ⁾

1

Ext

%

sprachen ^die ^mit ^einer ^det ^. ^TM

1,610

^ü ⁱⁿ ^Zeit ^fcu⁾ entschieden werden können L

!

PARITY =L wehd.net/ ^Anzahl

^der ¹ ^ist

gerade }

PARITIEDTIMELN )

DTIMIEDZPARITT

⁼

^LWE

^20,19 ^* Î Ânz ^. ^d. ¹ îst ûngerade}

(3)

2

Für eine det^.

Berechnung gilt

^, ^dass ^es

genau

^einen

Pfad

^von

der ^Start

konfiguration

^zu ^einer

Eudhonfiguratiou

Start

O 0 0 ^- ^- ^- ^- ^- ⁰ O

Ende

Wenn _AEDTIMECT

)

_, ^dann ^ex ^eine TM M ^mit

Laufzeit

^{tcn )}

und XEA

gdw ^Maschine

^M ^mit

Eingabe

^x

liefert

¹ , d.h. ersetzt

man in M

akzeptieren

^durch ^ablehnen ^und

_umgekehrt

^und

erhält

_so M ^'

, dann

gilt ^xcf

^A

^gdw

^XEÄ

^gdu

^M ^'

^liefert

^mit

Eingabe

^x ^eine ¹

Klar ^:

Laufzeit

^von ^M ^ist ^tcn ⁾ ^⇒

ÄTDTIM

_Elten

₎

Analog ^: ^AEDSPACELT ⁾

gdw ÄEDSPACECT )

(4)

p

,,

^5 _Wissen

_DTIMEC

poly) ⁼ 2L ¹ es ex . eine det ^. TMM die L entscheidet ⁱⁿ _Zeit nc

, c konstant

}

NTIME

lpoly) ⁼ 2L ¹ es ex . eine nicht det ^. TMM die

o 0 y

! oh

_. _NP L entscheidet in Zeit nc_, c konstant

}

1_o

Glob !

! ^i. :

: Wissen : DTIME ⁽poly⁾ ^ENTIME ⁽

poly

⁾

10

Aber ^: NTIME L

poly

⁾ ^ER ^DTIME ^l

poly

⁾

:-)

_schwierig ^. ^. ^. ^-

Chomsky Typ¹

PACE ( ⁿ )

←

⁼ ^co ^NSPACECU)

Satz : NSPACE ( logn⁾ ⁼ ^co ^NSPACEC

logu

⁾

(5)

Anp

^: ^Sei ^Bzhbinlolo ^bin Û ⁾ ô ^... ô ^bin În ⁾

^}

^, ^wobei

4

binli )

^die

Binär

darstellung ^von ⁱ ^ohne

führende

^Nullen ^ist ^.

Idee :

vergleiche

benachbarte

Binärzahleu

Frage

^. ^Wann

gilt

^binlx ^' ⁾ ⁼ ^bin ^Lxtt ⁾

^für

^x. ^x ^' ^EIN

Sei binlx ) ⁼ _an _an ., ^. ^. ^. a

, und i EIN _, sodass

ttj

^Ei

gilt ^aj.nl

^und ^aiu

÷

⁼

OM

^°

Ajet ^-

¹

Bild

^:

an.am

_, ^. ^. ^. aitz

0pm

^. ^. ^. ¹ ^, ^dann ^ist

im

bin (

xtr

)

⁼ _an _any ^. . . aitz

10¥

oi

(6)

Sonderfall

^: ^binlx

⁾

⁼ ¹¹ ^. ^. ^. ¹ , dann bin hat ) ⁼ ¹⁰⁰ ^. ^. ^. ⁰

- m

k ^- mal k ^- mal

Algorithm

1. Teste

, ob alle Zahlen ohne

führende

Nullen _, wenn nein

, dann ablehnen

2. Für alle

aufeinanderfolgenden ^Binär

^zahlen

biulx

)

^und ^bin ^lx ^'

)

_, ^wobei

für

^das ^erste

Paar

x ⁼ 0 und _x ^' -1

gilt

^teste

an ^. ^- ^. a. ⁼ bin ^lx ) und be ^...

b.

⁼ ^bin ⁶ ^'

)

2.1

Für

alle 1

sjsk prüfe

(7)

i, Wenn _ar ⁼ ¹

für

^alle

tkrsj

^, ^dann

^prüfe

^, ^ob

bjzo

^, ⁶

Sonst lehne ^ab ^,

ii , Wenn

aj

⁼ ⁰ ^und ^ar ⁼ ¹

für

^alle ¹

trkj

^-1 ^, ^dann

prüfe

^, ^ob

bj

^-1 ^. ^Sonst ^lehne ^ab

iii , Wenn _ar ⁼ ⁰

für

êin ¹ Êr ê-

^j

^- ¹ ^, ^dann

^teste

^ob

_aj

⁼

bj

sonst lehne

ab

2.2 ^. Wenn 4- ¹¹ ^. ^.ee _, dann

prüfe

^ob ^la ^KH ^und

^be

⁼ ¹

sonst ablehnen

2.3 . Wenn Xf ¹¹ ^. ^-1 _, dann

überprüfe

^ob ^b- ^h ^. ^Sonst ^lehne

ab

_.

(8)

Speicher

bedarf

^:

Schleife

²

braucht gar

^keinen

^Platz

^, ^da ^sie

bis zum Ende

durchlaufen

^wird ^.

21 ^. ^Es

gilt

¹

^Ejsk

^, ^d. ^h ^.

^KEI ^bincxsl

±

Ibinlnll

, d. h. max Speicher

bedarf

ist

Ollogllbincnsl ⁾ ⁾

⁼

Olloglogn ⁾

2.1 ^. ^i. iii

,

Die

^zu

vergleichenden Positionen können

^mit

Hilfe

^eines ^Zählen

realisiert werden

, der _max

bis

k zählt

→

Steffen Reith

3. Übung

Steffen Reith

Aufgaben

Defy

beliebige Komplexität

4,01µg

aef2LEZ.IE

}

e-

a) Zeige

AEDTIMELTGD

gdw ÄEDTIME

tun )

%

1,610

PARITY =L wehd.net/ Anzahl

gerade }

PARITIEDTIMELN )

DTIMIEDZPARITT

LWE

Berechnung gilt

genau

Pfad

konfiguration

Eudhonfiguratiou

)

Laufzeit

gdw Maschine

Eingabe

liefert

akzeptieren

umgekehrt

erhält

gilt xcf

gdw

gdu

liefert

Eingabe

Laufzeit

ÄTDTIM

)

gdw ÄEDSPACECT )

^5 Wissen

}

NTIME

! oh

}

Glob !

poly

poly

poly

:-)

←

logu

Anp

}

binli )

Binär

führende

vergleiche

Binärzahleu

Frage

gilt

für

ttj

gilt aj.nl

÷

OM

Ajet -

Bild

an.am

0pm

bin (

)

10¥

Sonderfall

)

Algorithm

führende

_beliebige Komplexität

^}

tun ⁾

PARITY =L wehd.net/ ^Anzahl

^LWE

gdw ^Maschine

_umgekehrt

gilt ^xcf

^gdw

^gdu

^liefert

₎

^5 _Wissen

^}

^für

gilt ^aj.nl

Ajet ^-

⁾

aufeinanderfolgenden ^Binär

^prüfe

^j

^teste

_aj

^be

^Platz

^Ejsk

^KEI ^bincxsl

Ollogllbincnsl ⁾ ⁾

Olloglogn ⁾

Speicher bedarf Olloglogn ⁾