Steffen Reith

(1)

Vorlesung

Steffen Reith

16.6.17

(2)

Wege^, Kreise _und

Zusammenhangs

komponenten

Def

^: ^Ein nngerichteto

Graph

^G-^- ^{( V.} ^E.

g)

^ist ^ein

Tripel

^,

wobei ^V

#¢

^und ^Vn ^E ⁼

0

^und

_gr

^: ^Er ^{ ^× ^ER ^v ⁾ ¹

1 ^ktxtt ²

}

^. ^Die ^Funktion

geordnet

^einer ^{Kante EEE}

die Eindecken

glel

^zu ^,

3 lee_,ezs ^✓

BSF-ijf.gl#...glu.zD=ui

^"

{

⁽^2,3 ⁾ , Kß ⁾ I

. g

( g)

⁼

22,33

↳

,

(3)

Benn

^Alle _Begriffe ^die

für

^gerichtete Graphen

definiert

^wurden ^,

werden

analog für

^den

ungewohnten

^Fall ^verwendet ^.

Defi

^Sei ^G ^ein gerichteter

Graph

^. ^Eine

Folge

^Pzloo , er _, n _, ...

i. . en.vn ) ^mit ^ks ^, ⁰ ^und _vor ^.^. _, _vn EVCG

)

^bzw ^,

er _, ^. ^. .eu ^EECG

) heißt

Weg

/ Pfad

^von ^vo ^nach vn

(

ⁱⁿ

G)

_,

wenn alei ) ⁼ vi. _, und wlei ) ⁼ vi

für

¹ ^Eis ^K ^.

Ganz

analog ^auch ^im

huge

^richtet ^Fall

Sei

P

ein Weg ^, ^dann îst ÂLP⁾ ^die Anufanugseckne ûnd WLP

)

die Endecheloon

P )

.

Gilt XP ) ⁼ wcp ) , dann

heißt ^{P Kreis}

^.

(4)

Ein _Weg

heißt

einfache _, ^wenn ^kein

Pfeil

^/ ^Kante ^mehr ^als

einmal

durchlaufen ^wird

^und

^elementare

, ^wenn ^er

einfach

^ist

und keine

Ecke

mehr ^als einmal

berührt

, Ausnahme ^:

Anfangs

^.

und

Eudecke

dürfen

übereinstimmen .

Bspn

^:

VL fz VZ _Ez

v ~

7 • ⁰ ↳

er ^> ^p ^>_g ↳

↳

t 5 ^t₄ l

5 Eng

✓1 vn

µ M

V A

4 ^W4

✓5

(

Vs _, re _, Vz

, Vz _, ^V ₃ _, ty _, Vy _, ^{t 5} , Vz

)

⁽ ⁴ ^,

es

^ln ^, ^Vz, ^, ^Vy , l ₅

, Vz )

,,

einfach

âber ^nicht êlementar ^" ^,^, ^nicht einfach ûnd ^nicht elementar ^"

(5)

lemmaI_e.su

^G ein

gerichteter Graph gtlv

⁾ ⁷¹

für

^alle

VE VCG

)

_, ^dann

^besitzt

^G ^einen elementaren Kreis .

Ist G

einfach

^, ^d.h. ênthält êr ^keine Schlingen ôder Parallelen und ist

gtloh

^, g

für

^alle ^VEKG ⁾ ^und

geht

^, ^dann ^ex ^. ^ein

elementarer

Kreis der Länge ^mindestens

gtt

^.

Beweisen ^Sei P ⁼

(

v. _, re _, ^... _, rn.vn ) ^ein

längster

elementarer Weg ^. ^Dieser ^exe _, ^da

jeder Pfeile

^ein elementarer Weg ^ist ^.

Da ja gtlv

^{) 71}

für

^alle ^vevca ⁾

gibt

^es ^einen

Pfeil

^r ^mit

dlr ) ⁼ _vn .

Dann

_muß wcrl ^E

hvo

_, _vi. ^... _,

_vnb

_gelten, da sonst

(6)

( _van

, ^. ^e. _, tn _, vk _, ^r _, ^wcrl

)

^ein

_längerer

elementarer Weg ^wäre ^.

r

Also wcr ) ⁼ vi. _, ^VO ⁿ

II

vi. ^ vk

Dann

^ist ^aber

(

_vi. _^ _, ri _, vi. tritt ,^. ^. ^e. , rn , vk.hr , vi.

e)

ein elementarer Kreis in G.

Steffen Reith

Vorlesung

Steffen Reith

Zusammenhangs

Def

Graph

g)

Tripel

#¢

0

gr

}

geordnet

glel

BSF-ijf.gl#...glu.zD=ui

{

( g)

22,33

Benn

für

definiert

analog für

ungewohnten

Defi

Graph

Folge

)

) heißt

/ Pfad

(

G)

für

Ganz

huge

P

)

P )

heißt P Kreis

heißt

Pfeil

durchlaufen wird

elementare

einfach

Ecke

berührt

Anfangs

und

dürfen

Bspn

(

)

es

einfach

lemmaI_e.su

gerichteter Graph gtlv

für

)

besitzt

einfach

gtloh

für

geht

elementarer

gtt

(

längster

jeder Pfeile

Da ja gtlv

für

gibt

Pfeil

Dann

hvo

vnb

)

längerer

II

Dann

(

e)

_gr

heißt ^{P Kreis}

durchlaufen ^wird

^elementare

^besitzt

_vnb

_längerer