computing Reith

(1)

Quantencomputing ^- Lesung ⁸

Steffen

Reith

23.6.16

(2)

Eu ^: Die Periode

p

^ist ^gerade ^, ^dann

1

AP ^- ₁ = (

äk

^.

1)

( APK ⁺¹

)

= K ^. n

Angenommen ^es

gilt ggtlak.hn ⁾

^-1 ^.

^ggtlapkihu ⁾

^,

dann steckt an^?_

1mL äktt

in k (

Eindeutigkeit

der

Primfahtor

^Zerlegung

)

D.h.

⁽

ä

^" ^-

1)

⁽

^{anti )}

⁼ ^k ^" ⁽^APK ^.

^e)

⁽^AP^" ⁺¹

⁾

ⁱⁿ

⇒ 1 ⁼ k "

n und nst ^⇒

Widerspruch

Also

^:

ggtlapk.hn ⁾

⁾ ¹ ^oder

ggtläktt

^, ⁿ

⁾

^st

(3)

2

Unschön ^: Ist

aPK.it

ein Vielfaches ^von ⁿ ^, ^dann

liefert ggTLAPktt.nl

ⁱⁿ ^keine

Information

Übung

^: ^ä^" ^?_ ¹ ^kann ^kein ^Vielfaches ^von ⁿ ^sein

⇒ Im

ggtla

^" ^? ¹ ^, ^u

⁾

^oder

ggtlai

^"

^{+1in )}

^steht ^ein

Teito ^von ⁿ _,

außer

i,

ggtla

^{" ?_}

^t.nl

^. ¹

nndii

,

äktt

_ist _Vielfaches von n

(4)

Proposition ⁽

^Zahlen

^theorie ⁾

^:

6.8 ³⁰

Sein ungerade ^und ^keine

Primzahlpoteuz

⁽

nntph

,

PEIP

⁾ , dann

gilt ^für

^mindestens ^die ^Hälfte âller ⁰ Êa Êu ^. ¹ ^mit

ggtla.nl

^-1

i , die Periode der Funktion

fcx

⁾ ⁼ ^ämodu ^ist gerade

ii, uk AP^" +1 _, d.h. a " ?

¥-1

^modn

Die

führt

^zu

^folgenden ^Algorithm

^us ^: ^das ^RSA ^- ^Verfahren

a- ^gilt ^für

Eingabe

^: ^ungerade

Zahl

ⁿ und n ist keine

Primzahlpotenz

Ausgabe ^: ^ein ^echter ^Teile ^von ⁿ

E-

(5)

Ollogn ⁾

¹, wähle zufällig ^und gleicher^teilt ^aetz _, ^... , n -1 }

4

→ ⁱⁿ

Länge ^di 2_,

zenggtlan

⁾ ^;

}

^klassisch

Eingaben _gut

^?

₎ _iflzsr

₎ then gebe ^zaus ; breche ab _;

eudif

^;

g- ^Quanten ^berechnung

TBD ³_, ermittle Periode P

oonämodp

^worst ^case

_ggt

nur OU

)

⁴,

iflp

ungerade ) then ^GOTO ¹_; ^GGTLFN ^, ^Fuer

)

5_, ^ermittle

ggtla

^" ^{?_ 1}^, ⁿ⁾ ^und

ggtlaPK.hn

⁾ ;

Ä

^.sn

^" :# _igtkfua _;

.ua??wsetndeithenGIIi#z.yX?zazpnpz..pnmodn

Ahd

.FI#sieix2zy2modnlx?ngY-=Lx-y)lxtg

^.it

_,

)

(6)

PK

^. ^Ist ⁿ _ungerade ^und _http ^" _,

_PEP

_, ^dann ⁵

führt

^der ^klassische ^Teil ^mit ^W^' ^keit ⁷⁹² ^im ^ersten

Durchlauf

^zum ^Ziel

⇒ nach k

Durchlaufen

^hat ^man ^mit ^Whuit

dk

₎ ^"

keinen Teter gefunden ⁽ ^"

Amplification

^"⁾

7

. Für den Test _, ob ⁿ _=p ^" _,

PER gilt

^es ^einen

effizienten

klassischen

Algorithms

. Die

Ehgabetmänye beträgt Ollogn ⁾

.

Die

^erwartete

_Laufzeit

ist

Oclognla )

^t ^Quanten^berechnung

Frage

^:

Wie bestimmt

man

die Periode ^?

(7)

Olnlogn 1*4

^3.4 ^. Die lschnelle

)

^Fourier

transformation

⁷

Defm^: ^Sei ^Acxt

III. ^aixi

^, ^die ^¢ ^ein ^Polynomm ^von ^Grad ^u ^-1 ^,

dann

heißt ^lao

^, ^... , an ^.

e)

^ECI ^" Koeffizienten

darstellung

( ^von

A)

^.

Proposition

^Seien ^AND ⁼

II. ^aixi

^, ^aiec ^und

^BCD

⁼

II ^bixi

^, ^biete

44×+1

⁾ ^.

⁽ ^ihzaß

^POY ^none ^, ^dann

^gilt

]Fi $

⁼

^± ^:c ixiiuosieitt .it?Ih:i.*.... :L

der

Koeffizient

^von

.it?ieh.Iyti..zi9iob:m.. Bist :# ÷

Die

_Berechnung oonc

benötigt ^Oki ⁾

( ^Schulbuch

^method

)

(8)

8

Bekannt ^: Zwei unterschiedliche Punkt _legen eine Gerade

eindeutig

fest ^und ^drei

Punkt für

^eine ^Parabel

Proposition

^: ^Seien ^Lxo^,

g.)

^, ^. ^- ^e ^, ^lxu ^. ^. ^, yuu ) ⁿ

paarweise

verschiedene Punkte

, dann

gibt

^es _genau ^ein

^Pdynom

^A ^vom

Grad _und mit

Acxi⁾ ⁼ _yi _, ^OE ^it ^NI

Die

Punkte

_lxi

, yi )

hißten ^Stützte ⁽

^von

^A)

^und

(

Xoiso ) _, ... _

, lxuu _, _gu ^. .) heißt Stütz stellen darstellung ⁽ ^von A) ^.

Benin

^.

^Das _Polynom

^A

_heißt

^auch

^fdguomm Ergün

^der

Stütz stellen

(9)

•

Das

_Polynom kann ^mit ^der

elagrange

^-

Interpolations formel

⁹

computing Reith

Reith

p

äk

1)

)

gilt ggtlak.hn )

ggtlapkihu )

1mL äktt

Eindeutigkeit

Primfahtor

)

D.h.

ä

1)

anti )

e)

)

Widerspruch

Also

ggtlapk.hn )

ggtläktt

)

2

aPK.it

liefert ggTLAPktt.nl

Information

Übung

ggtla

)

ggtlai

+1in )

außer

ggtla

t.nl

nndii

äktt

Proposition (

theorie )

6.8 30

Primzahlpoteuz

nntph

PEIP

gilt für

ggtla.nl

fcx

¥-1

führt

folgenden Algorithm

a- gilt für

Eingabe

Zahl

Primzahlpotenz

Ollogn )

4

zenggtlan

}

Eingaben gut

) iflzsr

eudif

oonämodp

ggt

)

iflp

)

ggtla

ggtlaPK.hn

Ä

" :# igtkfua ;

.ua??wsetndeithenGIIi#z.yX?zazpnpz..pnmodn

Ahd

.it

PK

PEP

führt

Durchlauf

Durchlaufen

dk

Amplification

PER gilt

gilt ggtlak.hn ⁾

^ggtlapkihu ⁾

^{anti )}

^e)

⁾

ggtlapk.hn ⁾

⁾

⁾

^{+1in )}

^t.nl

Proposition ⁽

^theorie ⁾

6.8 ³⁰

gilt ^für

^folgenden ^Algorithm

a- ^gilt ^für

Ollogn ⁾

Eingaben _gut

₎ _iflzsr

_ggt

^" :# _igtkfua _;

^.it

_PEP

Ehgabetmänye beträgt Ollogn ⁾

_Laufzeit

die Periode ^?

III. ^aixi

heißt ^lao

II. ^aixi

^BCD

II ^bixi

⁽ ^ihzaß

^gilt

^± ^:c ixiiuosieitt .it?Ih:i.*.... :L

benötigt ^Oki ⁾

( ^Schulbuch

^Pdynom

hißten ^Stützte ⁽

^A)

^Das _Polynom

_heißt

^fdguomm Ergün