Quanten computing

Quantencomputing

Sommersemester 2016

Steffen Reith

User ^: 1

genau^ten PW ^:

fws

Vorlesung

iodising .

1.cn#itungLiteradw..

Matthias

^Homeister _, ^Quantum

_Computing verstehen

_,

_Springer

_Verlag, 2013

(

^3.

_Auflage )

. Michael

Sipsa

^, Introduction to the

Theory

of Computation

^,

Thompson

^{, 2006}

.

Sanjeev

^{Arora , Boaz}

Barak

_,

computational Complexity

^{- A modern}

approach

^,

Cambridge

200g

2¥

"

In dieser

Vorlesung

^{sollen die}

Grundlagen der Funktionsweise

^von

Quantencomputern

erarbeitet werden

^.

Die alisalen Grundlagen

^{werden als "}

gpyhehibiehä

angenommen

⇒

keine Hardware

2

Die mathematischen Grundlagen ^werden

^,

wenn

notwendig

^{, in den}

^jeweiligen Abschnitten erarbeitet

.

Einrotofadenmn

^:

-

Grundlagen

^der

Berechenbarkeit ₍

_Churchs

_de

_These

)

-

Einführung ⁱⁿ

^{die Welt der Quanten}

computer

(

^Qubits _,

^Rechnen

_,

mathematische Grundlagen

^, erste

Anwendungen)

- Quanten

schaltkreise

-

Mehr Theoretische Informatik ⁽ Komplexität

^.

Klassen _,

randomisiote Algorithmen

^{, NP -}

Vollständigkeit ⁾

-

Teleportation

- Suchen ^- Grows

Algorithms

- Quanten

hrypto graphic

-

Grundlagen

^der klassischen

asymmetrischen Krypta graphic

-

Primfahtor ^zerlegung

^-

^Shoos Algorithms

3

begrudge

Untersucht ^man die

mechanischen Rechenmaschinen

von Charles

Babbage

^{, die}

elektromechanischen

Geräte ^zu

Zuse und

^{die modernen}

Maschinen

,

dann fällt ^auf

^{, dass sich die}

lgeumudprinzmipieun

^kaum

^{geändert haben !}

Fragen

^{: Muss das so sein}

?

Wir

werden sehen

_,

daß ^Quanten computer

^"

_ganz

"

anders funktionieren

^{. So Kann ein} klassisches

Bit

^nur

^entweder

^{O oder 1 sein} _, ^aber ein

Quanten bit kann beide ^Werte gleichzeitig

annehmen

.

Damit

^{kann ein}

klassischer Computer

in ^u

Bits

genau

^{eine von}

²

"

Zahlen speichern

^,

aber

^ein

Quanten computer ²

"

gleichzeitig ^darstellen

^.

Weiterhin _kann

man

Quanten bits verschränken

_, ^so

dass die Manipulation

^eines

^{Bits die}

^{Werte der}

anderen beeinflusst ! Mit Hilfe

^dieser

Eigenschaft

kann

^man

^portionen Inferno

^,

Diese Eigenschaften ^kann

^man

z.B.

^{dazu aus -}

4

nutzen _schneller

ⁱⁿ

Datenbanken

zu suchen

(

Own

)

vs

04 ) ^{oder Zahlen}

^{in ihre}

Prim faktoren

^zu

Zerlegen

^.

Allerdings

^haben

Qnantencomputo

^auch Grenzen, denn

(

^vermutlich

)

können keine NP

vollständigen Probleme mit

ihnen

effizient gelöst ^{werden (}

^{# später mehr}

)

^.

Interessant

^: _Es

gibt

^{weitere . Nicht}

^standard

^{- Computer " ,}

die sogar

^solche

Probleme lösen

^{können ,}

Diese

rechnen

mit

DNA ^-

Molekülen

, Aber ^{: Sie haben} _größere technische

Nachteile

^{⇒ Quanten}_computer scheinen ^im Moment die

einzige Alternative für

^eine

signifikante Beschleunigung

Zu sein ^,

2.lt#chenbarhei-

Intuitive Vorstellung

^{: Es}

gibt

^eine

^{Eingabe und}

ein _"

Berechnungs _gerät

^"

führt

^Übergänge

^zwischen

Zuständen

^aus . Der nächste

Zustand hängt

^{nur von}

der

Eingabe

und dem aktuellen

Zustand

ab

( deterministische Berechnung )

⇒ Wie

kann

man das

formalisieren ^?

Defy^{: Sei Z ein}

Alphajet

^{. d.h. eine}

^endliche

Menge

5

von

Buchstabe

^{, E *}

^bezeichnet

^die _Menge aller Wörter über Z

inkl

^dem

kwenwortm

^{c .}

Eine

Teilmenge

^{LEZ *}

heißt

^Sprachen

^lieber

^Z

⁾

^,

Ein Probleme ist

^{eine Relation}

PE

_Ix 9

, wobei I ^die _Menge ^d.

Probkminstauzeumn

^{C ±}

mögliche Eingaben )

^{und S die} _Menge ^der Prombkmlösuegeun

ist

^.

Ist Peine

^Fht

^{Lalso rechts} _eindeutig

⁾ _,

dann heißt P Feen

^probleme

Ist

P

^ein Funktionen

problem

^und

Sholes

_, ^so

heißt ^P lutschen

gs.pro#g.Bsp_:

_Sei

_P

_ein

Entscheidungs

^problem , dann ^ist

Laugh ^{XEII P}

^{6) = 1}

^}

⁼

^LXEII

^(x,

^{1) EJ }}

eine

Sprache

^und

P _heißt Wmortprombkm

^{von L .}

Bsg

^:

^{Sei I}

⁼

² HI ^Hist

^eine _aussagenlogische Formel

}

und 9=20,13

^.

^Wir

_definieren

Bat ^EI

^x

^S

vermöge

(

^H_, 1) Essen

gdw

^{H ist}

erfüllbar

^.

Der

Einfachheit

^{halber verwendet man bei}

6

Wort problemen

_ist

_SAT

einfach

⁼

Deshalb

^die

dazugehörige Sprache

^.

ag

2

_HI ^{Hist eine}

erfüllbare

_aussagen ^-

logische

^Formel

}

^{auch als}

^problemen Erfüllen ^bekannt

^.

Fragen ^Welches

^"

Berechnungs gerät

"

soll

verwendet

werden ^?

• Es soll n alles können ^"

•

Einfach ^analysiert

^{werden können}

. Soll ^sehr

flexibel

^sein

Reale

Software

Systeme ^{müssen damit nicht}

entwickelt

^{werden können !}

⇒

verwenden

^die

Turing ^maschine

Defy

^!

Turning nun

ⁱⁱⁱ

^Ein

^{7-, ,}

^Tvpel

^Q

^Blanket

^{2 -- Menge}

^Eingabe

^{M = ( Qder,}

^alphabet

^{E ,C kurz TMZuständeR , 5, ,wobeiqo}

⁾

^{, 9Maccept}

^{# ist -2}

^{, 9 reject}

⁽

^einw

^{) heißt}

^{, wobei}

Symbol ) )

iii.

^{f- Band .}

/

^Arbeits

alphabet

_, ^wobei utf ^und

-2 Er

7

vi,

S

^: Qxr ^→ Qxrx 2L _, ^N _, RJ ^-

Überführung fuuhtiou

Y

got

^{Q - Start}

zustande

iy _9accept ^{EQ -}

akzeptierender

^Zustand

viel

_9reject ^{EQ -} ablehnender ^Zustand

Bild

^:

FF.tl

- _aauturius

Quelle ^: Wikipedia^,

~

^{Public Domain}

÷

lüften

hrübkesekopf :

Die Berechnung

^{einer TM}

funktioniert ^mit Eingabe

w ⁼ Wsi ^{, ,} wn ^{EZ * wie}

folgt

^:

i, Start in Zustand

qo

^{ii , W}dann wechsle

^und

^{wenn, derwi}

^die

^{Eingabegelesen}

^Maschine

in

^{wird und} Zustand

^{, inder Lese}

g. ^{Zustand flqwdalg}

_,

schreibe ^hopf

^q

^{ist ist} wi ^{! auf wit und}

^{, r}

⁾

^,

7

bewege

^den

Kopf

^{nach links C o =L}

)

, rechts lo ⁼ R

)

oder nicht

Lon

^N

⁾

^,

Die _Eingabe

^wird

akzeptiert ( ^bzw

^.

_abgelehnt )

_, wenn

9 ^accept l

^bzw

_qreject ) ^{erreicht wird}

^,

Defy

^:

^Sei

^{M eine}

_Turing

^{maschine , dann}

LLM

)

⁼ _aeg

2W ^EZ

^{. /}

^M akzeptiert

^w

}

Detni ^Eine _Sprache

^L

_heißt entscheiden

_, ^wenn

eine

Turing

^{maschine M ex .}

^{mit L}

^{=L LM}

⁾

Beuc Dieses Konzept

^{kann man auch}

auf

^Fkteu

ausweiten

_, ^wenn

^die Turing

masehie das Funktions _ergebnis

auf

^das

^{Band schreibt} ( ^statt

ⁱⁿ

_qaceqt ^{l bzw}

^.

_{q reject} ) ^anzuhalten

schreibt man 1

(

^{bzw . 0}

⁾ auf

^das

^Band )

Defm

^:

Eine

Fht

f

^{: 2 * → Z *}

^heißt lerchenberg

_,

wenn eine TM M

existiert

,

die für ^alle

^{xe Er}

mit

fcx

⁾

^{auf dem Band anhält oder}

^{in ein}

Endlos schlafe gerät

^{, wenn}

faß

^nicht

definiert

ist

^.

8

Beuc ^Das _Konzept

^{der TM kann}

_auf vielfältige

Weise

modifiziert

^{werden ( ZB , mehrere}

Bände

_, mehrere

Nachfolge zustände gleichzeitig

oder man

bestimmt

den

Nachfolge

^zustand

mit

einem

Münzwurf )

Alonso ^{Church ( 1903-1995} ) Quelle^: Princeton Uuvertiy

=p Thesevonckurehlnaamhttuschvrch

.IS#i./?=LuintLI:isyi:a.eE.ie.b=hI.a./

>

Es

gilt ^sogar

^,

^{dass alles}

^was

^{mit Quanten computern}

berechenbar ^{ist auch}

^mit

Turing

^maschinen

erledigt

werden kann

⇒

Quantencomputer ^{sind nutzlos !} Nein

^!

Wahrscheinlich gibt

^es

( _praktisch ^{relevante )} Probleme

,

die mit Quantencomputern ^schneller

gelöst ^werden können

^!

=

22.13g ^eunuch

⁹

Ziel ^: Es ^soll

nichte

^{versucht werden die}

Physik

zu

erklären

, sondern ^wir

beobachten einige Dinge

^{der u} Quanten welt ^" _,

die für

uns

wichtig

^{sind .}

Folgendes Gedankenexperiment

^von

^Erwin Schrödingo

(1887-1961) dient ^dazu die

Begriffe

^"

Superposition

U ^und

"

Messes

^{" zu}

veranschaulichen

,

Wir ^{nehmen das} _a

als

_gegeben ^" hin

,

denn

^{diese "}

unbegreiflichen

^"

Dinge

wurden / ^werden millionenfach

^von

äüüiühüiöhäar undurchsichtigen ^Eine

^(gemeinfrei

^Katze

⁾

^{Kiste sitzt Physikern}

^.

^Die

^{in einer}

^{Kiste bestätigt enthält}

^.

einen

Mechanismus

^der die

Katze mit Wahrscheinlichkeit 1k sofort

tötet

^.

⇒

tkatze ist entehrt ^{ot oder} _lebendig

.ie?uZgrazaHvcbI1teaching/qc/QC-ttuk.html

fighting :B

Nun

wird

der Mechanismus mit einem

1

quantenmechanischen Prozess

^{verbunden Cz . B.}

Zerfall

eines radioaktiven Atoms

)

Die

Quantenmechanik

sagt

^:

^Das

^Atom

^ist gleichzeitig

unverändert / _zerfallen

_, ^{dh , die Katze ist}

gleichzeitig

tot ^und

lebendig ( Superposition)

^.

Öffnet

^{man die}

^Kiste

, so

ist

die

Katze entweder

tot ^oder

lebendig ^{( Messen} )

^.

In unserer

Anschauung

^{ist das}

^absurd

^{, aber in den}

Quanten

wett

^{normal .}

Bspm

^:

Elementarteilchen haben

einen

Spinn (

"

Dreh

^.

Sinn ^-

^also

^im

Uhrzeigersinn

^oder

"

^{gegen den}

⁾

So ein Teilchen dreht sich mit Anteil _hin

und Anteil

ß

_gegen ^den

Uhrzeigersinn

⁽

Super

^-

position )

Wissen

^:

Ein klassisches Bit ist entweder

⁰

oder 1

,

Aber

^: i. ^.

11

Für quantenmechanische

^{Zustände verwendet man}

die

kneten

von

Paul Dirac

Klassische Bits ^: 10 ₎ ^und 117

Allgemein

^{: 1 Zustand )}

Paul_Quelle Dirac usoz -1984 )

Später Zeigt ^sich

^{, dass}

^diese

: Nobel Foundation

lagen^ein teil

Notation technische Vorteile ^{hat !}

Defa

Ein Laur ^{( kurz Qubit )}

nimmt

Zustände

der Form

xlo ₎

^t

ßID

an .

Dabei heißen

^{a ,}

ßee _Amplituden

und

es

gilt _gap

,

IßP ^-1

^.

1 Betrag

D.

h . ein

Qubit befindet

^{sich in}

Superposition

^der

Zustände 107

^{und 117 !}

←

nicht überlagerte Zustände

Beispiele für zulässige Zustände

^{: 107117 ,}

Ez

107

tfz ¹¹⁷

- klassisch

oder €107

^"

^Fhh

^,

^da # ^{'t (f) ? It !}

⁼

¹

Messern

^{wir ein Qubit} _, ^{so tritt der Zustand}

120

10 ) mit

laehmt

kl ^? und _{In ) mit}

Wahrscheinlich

IßP auf

^.

Beg

^Die

Wahrscheinlichkeiten _bei

^der

Messung

hängen

nur vom Betrage ^der

Amplituden

^{ab !}

107

tritt bei der Messung

^von

fz ⁽

^{107 t IN}

⁾

genauso oft ^auf

^wie

^bei fz ⁽

^{107 - ↳}

^{) !}

Berg ^Jede komplexe

^{Zahl zee kann als}

⇐ atib

dargestellt ^werden

^,

^{wobei a.be}

^IR

und

^{i =} Ft ^.

Dann heißt

^{F- a- ib die}

kmonjegiokm

Von Z ,

Der Belag ^{ist durch Haus TAE definiert}

Im

Die

POLENS

% ^{}b ¢}

lautet

Z ⁼ il

re

^{1 n}

wobei

^{r wieder} u

'

-

^a Re^o

der

Betrag ^ist

^.

Der Winkel f ^heißt

^{Phasen .} _{← ,}

Ante

Haben z.IE

¹ _, ^{ztz ' den} gleichen

Betrag

^{, so}

¹³⁰

unterscheidet ^{sich nur}

die

Phase

^.

Wenn

ein

Qnbit

eine

Überlagerung

¹

Superposition

^der

klassischen

Zustände

10 ) bzo In eines Bits ist

,

dann kann man sich diese

Zustände

^als u

Richtung

^"

vorstellen .

⇒

Stelle

¹⁰₎ ^und _In ^als

unabhängige ^Vehtooen

dar

KRTIßI

^{?_ 1}

(g)

^.

IHI ^{D.h. Also ist}

^{ein .}

^{die Qnbit} Superposition ^{Längen kehrt ist $}

^ein

^{ß (G) eine}

^.

^alert

^aus

^{ßn )}

^der

Linearkombinatioum

der

nicht

überlagerten Zustände ₁₀₇

und ¹¹⁷

Achtung

^{: d ,}

ßee

on

^-

Beachtet ^regeln

^sich

zweidimensionale

^allesvonman

÷ ^analog

^{e die Rechen}

^verhält !

^zu

Vehtorraum

^einen.

¹ -1 ⁽

^{s ae 1a log>}

über

^{IR . Amplituden}

Während ^einer

Berechnung

^{wird ein Qubit}

10

manipuliert

^{/ verändert . Wie}

funktioniert

^{das ?}

⇒ Ein

Technik

wird durch _{eine 2×2} Matrix beschrieben . Die

Physik

verlangt

^{, dass diese Matrix}

unitär ist

:

÷

^{. . . e- . am}

Def

^{" Sei}

µ =\

:

"

iii. in ^÷

^g

:

^{- .i..- .}

^{

^{. n}

⁾

^{.Ums eine}

^Matrix

^{, dann}

heißt

Means µ ;?, ^:D

^"

teaspoonful

:

:

Ist M ⁼

(

_mij

)

^{E Clm "} _, ^dann

heißt

Ä

_aef

( _mit ) ^EÜ

^"

konjugioterlahüxm

Die ^Matrix

Mt

⁼

( MIT heißt adjudged

^{Matrix .}

Kurz

spricht

^{man oou}

Transponder

,

koujugivher

^oder

Adjungioto

^.

150 Defy

^{: Sei nxtu . Eine}

quadratische

^{Matrix MEE " " "}

heißt ^unitärm

^{, wenn Mt =}

^Mit

^.

Bu

^{Für eine}

unitäre

_{Matrix M}

gilt

^{. M}

^{Mt Merkt}

^{= ,}

d.h.

^uuitäre Mahnten sind in uativbar .

Eine

quadratische

^{Matrix Me C " "}

transformiert

^einen

vehtor

vermöge

^der

Abbildung

^:

g.

^Matrix

multiplikation

M

:[

^{→ e "}

, on Mr

Dk die Einheits matrix entspricht

^einem

" NOP ^" _.

Bei Quanten berechnungen

^ist

Mining ^unitär

^!

Defy

^{Die Matrix}

#

erzk ?)

heißt ^Hadamard

^-

^Matrix

^.

hui ^{H ist nuitär}

_{Jacques Hadamard}

Bex Übung

^#

öblpeäa GIGI

( Autor mehr als 70 Jahre ^tot)

Ein Rechen

schritt

eines Quanten

computers

^ist

8

die

Anwendung

^{einer umitären Matrix}

auf

^{einen Zustands .}

vektor :

RF

los

^{fz 107T}

^trz

¹¹⁷

^,

^da

"

÷ :*

^"

¥

_.

:# ^tot

.tt#erzAttzfi

)

Analog

^:

Mit ^{Fz (}

^{107 - In}

⁾

Da Hatt ^"

gilt sogar

^:

tz (

^b)

thß ^Ntt

^{ID und}

^Kz (107-117) ^th

¹¹⁷

Übungen Geben _Sie

alle

¹⁰⁾

^{NM IIO} generatoren ^Emanates

⁾

^E÷

⁺

^{uuitäreu Mahnten M}

^{an ,}

^sodaß

Quanten schaltkreis ( ^{verwendet ein Qubit In}

)

^:

Algorithms

^{1 ;}

khf ¥1

^-

it

^{Ih ← 107 # Initial isive lxy *}

/

ii , 1×7 ^← Htx ) #

führ

Matrix

multiplikation

^/

^{/ Hadamard}

^{- -Trans -}

iii.

^{messe In}

7

klar ^: Da ^{in ii} _{, IH} ⁼

Fz

^{107 +}

Ezln _ergibt

die

_Messung in ⁱⁱⁱ _, eine

Wahrscheinlichkeit

von

Krz )

^?

^tz für

¹⁰⁷

bzw

^.

± ogkichvotülto Mänzwurf

Übungen

Ersetze

^im

Algorithms

^{1 die}

^Zeile

^i,

durch Ix )

^← 117 bzo

lx )

^{← al 07}

tß

¹¹⁷

mit

KIIßP

^{-1 .}

Welches

verhalten ergibt

^{sich dann}

^?

Beuc

^Solche

^{Zufalls zahlen} generatoren

^verwenden

ein Teilchen mit

bekannten Spün

^{, wenden die Hada -}

march ^-

Transformation

^{an und messen} das Ergebnis^.

Die

^{Firma ich}

guandique verkauft

^solche Geräte ^:

-9

^-

Quelle^:

http://www.idguantigue.com

klar ^: Ein

Bit

^{reicht nicht}

für ^komplexe

Anwendungen

10

⇒

Wir

^brauchen

Quanten register

Der

^{Inhalt eines u -} Bit Registers ist ^{ein n - Bit}

string

^{, die}

es

gibt

^{2 "}

^mögliche

^Inhalte

Ein ^{n -} Qubit

Register befindet

^{sich in}

Superposition

aller dieser Zustände ^.

Bsg

^{: Zwei Qubit -}

^Register

R ^. lx . ) ^lx , ) mit lxo ) ⁼

8.1

^{07 +}

felt

⁾

und lx

, ) ⁼ So ^{107 +}

eh

^{11 )}

Dann gilt

R ⁼ lxo ) ^. lxn )

= geo So 10710 ^{) +}

Joch

^{10711 ) t 8 .}

^So

117.107T

Kurz Schreibweise

^81k

^{11711: )}

fi Sj

⁼ _aij ⁽

Amplituden )

Ii )

elj

^{) .}

lij

^{) ( Zustände}

)

Den Bitching repräsentiert

^{man auch als}

^Zahl

^{, dh ,}

110 ) ± 12 ⁾ oder 1117 ^± B)

7

R

⁼ _{aoo 1007} ^t _aon ^{1 Ol} ) ^el _{a ,} 1107 ⁺ _{an 1117}

1

= aoo 10 ) ^{taon 11 ) t} aeo 127 ^t _an 137

Benin _Wir werden sehen

_,

dass

_dieses

Kalkül

mathematisch _{( und} physikalisch

^Sinn

⁾

^{macht !}

BEI

^Wir _wissen

, dass

Ifo ^Pl 18141

^und

Iroft

_Ich ^l?_ 1

, d.h.

Iaooftlao

^{. Pt Iaeo}

Pt _laut

^? ₁

Übungen

Das

^{Qubit lxo ) ist im Zustand}

^Itos

-

Iz

¹¹⁾

und lxn ^{) in}

Ilo

^{) t}

!

^{In ,}

Geben ^Sie die

Amplituden für

^{107 , 117 , 127}

und B) ^{an .}

[ ^Bibbing

^{genau der}

^Längen

Defm

^{: Sei}

binn

^von

darstellung

^{: INi}

genau

^{→ 20,1der}}

Längen

^{mit in Binär}

st

Defy

^Quanten

^register

Ein

Eugster

^{R der}

^Länge

^{ns.1 hat}

^die

Form

R

⁼ _{lxn .} ) lxn ^. z ) ^{: - :}

| :* ±÷ :*

.si#i:.si.Iinig?eI!:i:io:IeiPc7Ikil?.egtte-

Bei einer

Messung beobachtet

man Zustand

7

Ibinnliid

^mit

Wahrscheinlichkeit ldil

^?

Beg

^Die

entsprechen Zend

^{eines n . Qubit}

^Registers

K¥

^eines Vehtorraums

der

Dimension ^{2 " über Cl} _, wobei ^{100 : '} 07 _, 100 ^{: :} 17

,

i. : 111 ^{: . 17 eine}

Basis

bilden ,

Bgf

^{: Für ein 2- Qnbit}

^register

^{ist 1007 , 10h , 1107 und}

1117 _eine

Basis

_,

wobei

1007 ⁼

(

^10g

)

^{, 101) .}

%

^{, 110 ) -}

^{% und}

^{111) =}

^{( %}

13¥ ^{Jeder Rechen schritt}

^einer

Quanten maschine

entspricht ^der Anwendung

^einer

uniting ^24×2

^"

Matrix !

Defmi ^Sein

^{=L , dann}

heißt

^die

Operation

CNOT ^: lx _,

g)

^{↳ Ix ,}

_xtoy ⁾

.

"

ELY

^" _, ^wobei

\

_xop

21

mit ^{! !} _: ^{: :D}

J

÷

^{. "} 0^{. ×}xoy

Ubuncjm Zeige

^{, dass}

Mcnot ^unitär

^{ist .}

Verallgemeinern

Sie Ihr Resultat ^wie

folgt

^:

Sei M ^eine

quadratische

^{Matrix , die in}

jeder Ziele und Spalte

^nur

_genau

^{eine 1 und}

sonst nur Oeu enthält

, dann

ist M ^nuitär

,

Bay ^{Solche Mahnten} heißen

Permutating

mahnten

in St und Stn Zustände _, dann ist _Stn der

Nachfolger

von st _, ^wenn Stn ⁼

Misc

_,

^dk

^{bei CNOT}

¥ .fi ^: .eu?u:i:: :$ :b; III :# : ^'

^±

hsta ::c ^±

y

^p

nichts passiert

looksion nosh un Ist ^XH , so

werden die

Amplituden

^{von 110 ) und 111 )}

^vertauscht

, denn

7

dies pfui entsprechen

^den

Bildern

B.is#kY:c.ot(Lg4.MahDDef_..lSkalar

multiplikation )

^{: Seien Ins =}

^Koran

^.

^Ä

und

^{tv ) =}

lßor

^{. . .}

^ßADT

^{komplexe Vehtoren .}

Die

^Notation

Lulu ⁷ ( Brakettvotatioum )

bezeichnet

das Skalar produkt (

^ulv

⁾

⁼

äßote

^{: .}

tämßnn

Benoni Sei

In

) ^ein _komplexer Vektor _, dann

gilt

#

ulk KÄÜ

"

Enhlidische Norm

^"

i. Länge ^{von u}

"

Unitäre Transformation

^eu

^haben einige

^vichtmige

Eigenschaften

^,

230

- ^.

i, Eine uutäre

Transformation

^ist

langanhaltende

,

dk _ein zulässiger Zustand

( ? ^Kitt 1)

^wird

auf

^einen zulässigen Zustand

abgebildet

^.

⇒

zulässige

^{Zustände haben}

Länge ¹ !

kurz

^:

HUI HH

^{= II}

Höll

/ "

:#

: ? ? ^{? :}

.it#::i:.:i.i::i:i::iP

iii,

Unitäre Transformation

^eu

^{sind umkehrbar}

^{, dk}

jeder

Schritt

^eines

Quanten

_computers ^kann

rückgängig

gemacht werden =

^.

Btdasprobkmvontdeutschm Das folgende ^Problem ist

nach

dem Kater

^" des Quanten

computing

benannt

^{: David Deutsch , 1953 -}

Quelle^: www.daviddeutsdiorguk/

images

ZIEL

^{ImeineMünzeVersuche}

Klare

klassischen

^Fälschung

^echtheraus( Fall^istzweizulmuß^{Seitenbeidebekommendie MünzeSeitenmit}

^Kopf

^{,gleichob21x)Zahl.}

angesehen

^{eine) oder}

⁸

werden ( beide ^Seiten

)

⇒

geht

^{es mit Quantencomputern besser}

^?

Abstrakten ^{Wir wollen heraus}

bekommen

^{ob eine}

Fht

f

^vom

^Typ f

^:

^20,13

^{→ ho , 1}

^}

^konstant

ist oder ^{nicht .}

Dazu

^{können wir}

Fragen

^{der Form}

flb ⁾

^{, beten}

stellen, Man

sagt f

^{ist ein}

^Orakeln

^.

Andere

Informationen haben

^{wir nicht .}

Benin

^{In der}

Theoretischen Informatik beantwortet

ein Orakel die Frage

geuigf haute

^.

Damit _ist die Frage ^{mit zwei Orakel fragen}

fco

⁾

und

fu ^{) geklärt}

Idee

^:

^Versetze

^{ein Qnbit in}

Superposition

^über

die möglichen Eingaben ^{O und 1 von}

f.

Axing ^{f reversible}

^{⇒ istProblemertl}

,

^Version

^für

^nichteinen

^!

^{revosibelUgQuanten:}

^{lxiy ( computer}

⁾

^f

^{↳ konstantlx!,}

^{golfen )}

Übungen

Zeige

^{, dass}

Ug

^{uuitär ist .}

Antgorithmusm

(

^{Deutsch 1985}

)

^:

i, lx )

ly

^{) ← 107117 ;}

ii, # wende die Hadamard ^-

Transformation

^{an *}

^/

1×71

g)

^←

Htx ^{) Hlg}

^{) ;}

iii ,

^f ktfrage

^H

Ix )

Ig

^{) ←}

^Kg

^{Ix )}

Ig

^{iv , hr Hadamard -}

Transformation

⁾

rückgängig

^*

^/

In

Ig

^{) ←}

Htx

) HY

^{) i}

"

gefälscht

"

v , ^messe

Register

^;

•

vi ,

if

⁽

^Ergebnis

^{= = 107117}

⁾

^{then return konstant ;}

if

⁽

^Ergebnis

^{= = 117117}

)

^{then return nicht}

kgustant

;

" in Ordnung

"

Been

^Es

gibt

keine Schleifen und es wird kein weiterer Speicher verwendet ^⇒

Qnankusahaltkreism

Der

Algorithms

^von Deutsch als

Schaltkreis

^:

8

: : : :

~

, H ^{: .} : H ^:

i÷

=L

11) ^{' H '} f ^I

H÷ ^÷

Fragen

^{: oldarum}

funktioniert

^der

Algorithms ^?

. Warum kann _man Rechen

schritt

hintereinander

ausführen

^?

. Was bedeutet

Messen

?

Analyse

Nach Schritt ⁱⁱ _,

befindet

^{sich das Quanten register told im}

Zustand ( ^{Hadamard -}

Transformation ⁾

^:

Kz

) ^-

tz (

^{107N )}

)

^.

IF (107-117)

÷

1×7

Ely

⁾

=L (

^{10710 ) - 10711 ) t UIIO ) - 11711 )}

)

Schritt üii

,

Wende Kf

^an _, ^also

10274 ^tz (

¹⁰⁷¹⁰⁴

fled

^{) -}

107114401

⁾

+11 )

IOQFUD

^-

117117 fun ) 4

= tz

(

¹⁰⁷

(

⁾

Iflo

^{) - 110}

^f

^(d)

⁾

⁺ _a-

enthält beide Fht

117

( Ifw

^{) - 111}

fuh ⁾ )

=

toys j -

← wertet

unterschiedliche Werte

BEI

^{. Da ltox ± sx erhält man bei einer} Messung 10107 _, 107117 _,

UXOI

^und

11111

^{) mit W ' keit Yc},

* nichts

gewonnen

^!

•

Ifw

^{) -}

Itofa ⁾

⁼

^{(1) tc}

^"

⁽

^{107 - 117}

^{) (}

^Übung

⁾

Also Ich

^{) .}

k ( ftttd ^los

^.

⁽ ?

¹⁰

⁾

^{- 11}

⁾ )

⁺

fetten

^{.us .}

⁽

^{10 ) -}

11

⁾

⁾ )

=L ₍

^{. loyt}

^ultra Leyla

^{? In}

⁾

^.

⁽

^{los - In}

⁾

|

je

Vorzeichen ^d. Amplituden

des edu^Qnbits enthalten

f.

die Fhtswerte

Und Ix

)

^{= Fz}

( ⁽¹⁾ MIO

₎ ⁺

fr )

^{K " . 11 )}

)

Schritt iy ^{Machen eine}

Fall unterscheidung

^:

Famtf

konstante

^:

Klar :

(1) f.

^{' =}

(1)

^{H "} _,

^{d.h. entweder}

1×7=1*(107-417) ^oder

^{lx ) = -}

fz ^{( 107+11 )} )

- -

± f ^LOKO Efta ^{- 1}

Wissen ^:

fz (107+117)

^{IHN Io ) und}

8

- trz ( 107T ^U 7) ^{Ntt - Ich}

( _Hinweis : Kuitäre

Transformation

^en

sind linear

)

Für _das zweite Qubit

gilt ^{fz (b)}

^-

^HDE

¹¹⁷

Damit

^{enthält das}

Register

^{± 107117}

Eakfuuhtkoustantm

^:

Nun

gilt für

^{das erste Bit}

^{In (b)}

^{- Us}

⁾

^oder

- frz

(

^{10 ) - 117}

)

^und

^somit

enthält ^das

Register

^{nach der Hadamard}

transformation

In

^.

Damit

^{enthält das}

_Register

^{± In In}

Damit

kann man im

konstanten

Fall 10711 ) messen

oder 11h17

.

Übung

^:

Beweis

^mit

flokt

^und

ftp.0

^{bzw .}

^fcolz

FU

^{) -1} durchrechnen .

3

^.

Die kryptoanalyse

^{von RSA}

290

3.1 . Das RSA ^-

Verfahren

Schlüssel

erzeugung ^{: i,} Wähle Primzahlen

p

^und

q

ID ^{berechnet n} =p ^.q ^und

¢

⁼

lp

^{- e) Lq . e)}

iii, wähle eine mit

ggtle

^,

^d)

^at

iy

^{Suche ein d mit e.dz 1}

^modd

Nun ist

le.nl

^der

öffentliche

^{Schlüssel und}

Cdu ⁾

^der

geheime Schlüssel^.

Buy

^Für

_jeden

^{! der}

Algorithmen

^Schritte is ^- iy

gibt

^es

^effiziente

Ver ^. und Entschlüsselung

Verschlüsselung

^{einer Nachricht x : C ± xemodn} Entschlüsselung ^{- " - C :}

Xzcdmod

:

verschlüsseln^"

Benin Man

.gl#bt

^,

dass

jede b

n in P ^und q

Möglichkeit

^aus

le.nl

^den

f

^zerlegen

Schlüssel

lehnt

^zu _gewinnen

genauso schwer ^ist _, wie

n in p ^und _q ^zu

zerlegen

^.

/

httahtorisicrvugs ^problem

^"

" entschlüsseln mit der Hilfe^. ond ^"