Übungen zur Physik I (Mechanik) WS 04/05

Übungen zur Physik I (Mechanik) WS 04/05

3. Übungsblatt 04.11.2004

Bearbeitung bis Mi. 10.11.2004

1/3

1) Kugelkoordinaten (1 + 2)

a)

( ^{sin cos , sin sin , cos} ) ^, = ¹

∂

= ∂

∂

∂

r r r

r r r

ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ

( ) ^{r r}

r r

∂ =

− ∂

∂ =

∂

ϑ ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϑ

r r

, sin , sin cos , cos cos

( ^{ϑ ϕ ϑ ϕ} ) _ϕ ^ϑ

ϕ sin sin , cos sin , 0 , r r sin r r

∂ =

− ∂

∂ =

∂ r r

( sin ϑ cos ϕ , sin ϑ sin ϕ , cos ϑ )

=

⇒ e r

r

( ^{ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ} )

ϑ

= cos cos , cos sin , − sin e r

(

^{sinϕ,cosϕ,0}

)

ϕ = − er Orthogonal?

(

^{sin cos cos2 +sin cos sin2 −sin cos}

)

⁼⁰

=

⋅e_ϑ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ

ev_r r

(

^{−sin cos sin +sin cos sin +0}

)

⁼⁰

=

⋅e_ϕ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ

ev_r r

(

^{−cos cos sin +cos cos sin +0}

)

⁼⁰

=

⋅ _ϕ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϑ e ev r

b) Parameterdarstellung der Einheitsvektoren:

3 2

1

sin sin cos

cos

sin e e e

e r

_r

r r r

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ + +

=

3 2

1

cos sin sin

cos

cos e e e

e r r r r

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

= ϑ + −

3 2

1 cos 0

sin e e e

er r r r

⋅ + +

−

= ϕ ϕ

ϕ

Lässt sich mit der Cramerschen Regel z.B. nach

e r

₁

auflösen:

( )

ϕ ϑ

ϕ ϕ ϑ

ϑ

ϕ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϑ ϕ

ϑ

e e

e

e e

e e e e

e

r

r r

r r

r

r r

r r r r

r

sin cos

cos cos

sin

sin cos

cos cos

sin

sin cos

cos cos

sin

0 cos

sin

sin sin

cos cos

cos

cos sin

sin cos

sin

0 cos

sin sin

cos

cos sin

sin

2 2

2 2

1 2

− +

=

+ +

− +

= +

−

−

−

=

und analog

ϕ

ϑ ϕ

ϕ ϑ ϕ

ϑ e e e

er r_r r r

cos sin

cos sin

2 =sin + +

ϑ

ϑ

ϑ e e

e r r

_r

r

sin

3

= cos −

Zwischenrechnung:

( ) ( )

ϕ

ϑ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ

ϑ ϕ

ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ

ϑ ϑ

e e

e e

_r

e

^{r r}

& r

& r

&

&

&

r

&

r

&r

sin

0 , cos sin , sin sin sin

, sin cos , cos cos +

=

− +

−

∂ = + ∂

∂

= ∂

und analog

ϕ

ϑ

ϑ e ϑ ϕ e

e

_r

r

&

& r

&r = − + cos

ϑ

ϕ

ϑ ϕ e ϑ ϕ e

e

_r

r

&

& r

&r = − sin − cos

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3. Übungsblatt 04.11.2004

Bearbeitung bis Mi. 10.11.2004

2/3

Jetzt Geschwindigkeit und Beschleunigung in Kugelkoordinaten:

e

r

r r r r

=

ϕ

ϑ

ϑ ϕ

ϑ e r e r

e r e r e r

r

_{r r r}

r

&

& r

& r

&r

& r

&r = + = + + sin

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ

ϑ e r e r e r e r e r e r e

r e r e r

r

_{r r}

r & &r

&

&

& r

&

& r

&

&r

&

& r

&

& r

&

&r

&

& r

&

&

&r = + + + + + sin + cos + sin + sin

( ) ( )

(

ϑ

)

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϑ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ

ϕ ϑ ϑ ϕ

ϑ ϕ

ϑ ϑ

ϑ ϑ

ϑ ϕ

ϑ ϑ

e e

r e r

e r

e r

e e

r e r e r e e

r e r

r

r

r

r

&

& r

&

& r

&

& r

&

& r

&

& r

& r

&

& r

&

& r

&

& r

& r

&

& r

&

cos sin

sin sin

cos sin

cos sin

−

− +

+

+ +

+

− + +

+ +

+

=

( ) ( )

ϑ

( ϑ ϕ )

ϕ

ϕ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ

ϑ r e

dt d e r

r dt r

d e r

r r

r

_r

r

&

& r

&

& r

&

& 



 

 + 

 

 



 −

+

−

−

=

^{2 2 2 2 2}

sin

²

sin cos 1

1 sin sin

2) Drehimpuls und Drehmoment (2)

Drehimpuls ^{Lr=rr×pr =rr×mvr =m}

(

^rr×vr

)

^=m

( )

^rr×r&r

(

^{acos t,bsin t,0}

) (

^{a sin t,b cos t,0}

)

dt

r&r= d ω ω = − ω ω ω ω

( ) ( )

[

^{acosωt,bsinωt,0 aωsinωt,bωcosωt,0}

]

^abmω

(

^0,0,1

)

m

Lr = × − =

Drehmoment = L=L =0 dt

Dr d r &r

falls

a , b , m

zeitunabhängig.

3) Impuls und Kraft am Rammpfahl (1 + 1)

a) Nach dem Ausklinken fällt die Last unter Einwirkung der Gravitation:

gt

v= aus Betrachtungen zum freien Fall folgt

g t s gt

s 2

2 1 ₂

=

⇔

=

s 9 m , s 12 9,81 m m 5 , 8 2

2 = ⋅ ⋅

₂

=

=

⇒ v sg

und daraus folgt der Impuls

s m 10 kg

29 , s 1 12,9m kg

1000 ⋅ = ⋅ ⁴ ⋅

=

=mv p

b) Da der Impuls (nahezu) vollständig innerhalb von 0,01s auf den Pfahl übertragen wird folgt unter der Annahme, dass die Kraft in dieser Zeit konstant ist:

N 10 29 , s 1

01 , 0

s m 10 kg

29 , 1

6 4

0

= ⋅

⋅ ⋅

∆ =

= t F p

4) Rakete (2)

Die Schubkraft ergibt sich aus der Zeitableitung des Impulses der Verbrennungsgase:

( )

^{0 300kN}

s 125kg s

2400m⋅ + =

= +

=

=

= dt

mdv dt vdm dt mv

d dt F_s dp

Die Anfangs- und Endbeschleunigung der Rakete

( a

a

, a

e

)

ergeben sich im Schwerefeld der Erde zu:

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Bearbeitung bis Mi. 10.11.2004

3/3

kg 12800 mit

kN 4 , s 174 9,81 m 12800kg -

kN

300

₂

,

 = =



 



 ⋅

=

−

=

S a a

a

R

F m g m

F

kg 4050 mit

kN 3 , s 260 9,81 m 4050kg -

kN

300

₂

,

 = =



 



 ⋅

=

−

=

S e e

e

R

F m g m

F

s

2

63 m , 12800kg 13

kN 4 ,

174 =

=

=

⇒

a a

a

m

a F

und ₂

s 27 m , 4050kg 64

kN 3 ,

260 =

=

=

e e

e

m

a F

5) Federkräfte (1) Federkraft: F =D⋅l Lösungsbedingung:

2 2 1

1

D

l F D l F

l = + = +

N 100 6

m 4 , 40 0 m 31 , 0

m N m

N

= + ⇔ =

+

⇒ F F F

m 46 , 40 0 m 6N 31 , 0

m N

= +

=

⇒ l