Gitter und Kryptographie

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Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2007/08 Gitter und Kryptographie

Blatt 8, 07.12.2007, Abgabe 14.12.2007 Aufgabe 1. Beweise

Q

n

i=1

λ

i

(L) ≤ γ

n^n/2

det L für Gitter L der Dimension n . Sei L = L(B) und R = GNF(B), arbeite mit R = (r

i,j

).

Hinweis: Beweis von Satz 2.3.1, Skript.

Aufgabe 2. Sind die Gitter L(B) mit GramMatrizen

B

^t

B =



 2 1 1 2 1

1 2 1 1 2



 ,





2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2





kritisch? Berechne R = GNF(B).

Aufgabe 3. Sei R

8

die GNF des Gitters Λ

8

und y = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)

^t

. Zeige: min{ky − xk, x ∈ L(R

₈

)} = 1 .

Hinweis: (R

₈

|y)

^t

(R

₈

|y) ∈

¹₂

Z

^9×9

, kyk = 1 . Argumentiere wie in Lemma 2.2.3, Skript.

Aufgabe 4. Angenommen y in Aufgabe 3 ist tiefes Loch von Λ

₈

= L(R

₈

) . Konstruiere die GNF R

9

und die GramMatrix R

^t₉

R

9

des geschichteten Gitters Λ

₉

, dabei habe R

^t₉

R

₉

die Diagonale (2, . . . , 2) ∈ Z

⁹

.

Vegleiche mit den Angaben zu Λ

₉

in Table 6.1, Conway, Sloane.